江西省抚州市金溪一中高三上9月月考数学试卷理科解析版

2017-2018学年江西省抚州市金溪一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若A=2，3，4，B=x|x=m+n，m，nA，mn，则集合B中的元素个数是（）A2B3C4D53对于非零向量，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C已知不充分也不必要条件D充分必要条件4已知ABC内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a=3，b=2，A=60，则cosB=（）ABCD5已知D是ABC所在平面上任意一点，若（）（）=0，则ABC一定是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等边三角形6由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）ABCD7tan70cos10（tan201）等于（）A1B2C1D28已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）Af（x）=x22ln|x|Bf（x）=x2ln|x|Cf（x）=|x|2ln|x|Df（x）=|x|ln|x|9已知0，函数f（x）=sin（x+）在（，）上单调递减，则实数的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，210方程mx2（m1）x+1=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（）Am1Bm3+2Cm3+2或0m3D32m111若函数在区间k，k（0k1）上的值域为n，m，则m+n=（）A0B1C2D412设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（）A1B2C3D4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数f（x）=，则f（f（）= 14已知向量 与 的夹角为120，且，则= 15已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 16定义在（，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，下面是关于函数f（x）的判断：f（x）的图象关于点P（，0）对称； f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数； f（2）=f（0）其中正确的判断有 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知0，sin（+）=（1）求sin2的值；（2）求的值18（12分）设命题p：f（x）=在区间（1，+）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2ax2=0的两个实根，不等式m2+5m3|x1x2|对任意实数1，1恒成立；若pq为真，试求实数m的取值范围19（12分）已知向量=（1+cosx，1），=（1，a+sinx）（为常数且0），函数f（x）=在R上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在0，上为增函数，求的最大值20（12分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且（1）求证：ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，PAB=，用的三角函数表示三角形PAC的面积，并求PAC面积最大值21（12分）已知f（x）=axln（x），x（e，0），g（x）=，其中e是自然常数，aR（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，|f（x）|g（x）+（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由22（12分）已知函数f（x）=ln（2x）+ax在（0，1）内是增函数（1）求实数a的取值范围；（2）若b1，求证：ln（b+2）+lnb2ln（b+1）2017-2018学年江西省抚州市金溪一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限【解答】解：z=i，复数在复平面对应的点的坐标是（）它对应的点在第四象限，故选D【点评】判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果2若A=2，3，4，B=x|x=m+n，m，nA，mn，则集合B中的元素个数是（）A2B3C4D5【分析】要对于A中元素两两相乘看所得的积，由集合元素的互异性得到不相等的元素的积【解答】解：B=x|x=n+m，m，nA，mn，由题意知：当n=2，m=3或4时m+n=5或6，当n=3，m=2或4，m+n=5或7，当n=4，m=2或3时，m+n=6或7，根据集合的互异性可知集合B的元素个数为3，B=5，6，7故选：C【点评】列举题目中的几种不同情况，注意做到不重不漏，本类问题要深刻理解概念，定义，根据题目中的定义的相关信息进行分析，此类题目虽然“陌生”但难度不会太大3对于非零向量，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C已知不充分也不必要条件D充分必要条件【分析】对于两个向量，只要满足（0）就可以判断两个向量平行，从而进行判断；【解答】解：非零向量，“”，可得“”，若“”可以取=（1，2），（2，4），有“”，但是，非零向量，“”是“”的充分不必要条件，故选A；【点评】此题主要考查向量平行的条件极其判断，还考查充分必要条件的定义，是一道基础题；4已知ABC内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a=3，b=2，A=60，则cosB=（）ABCD【分析】利用正弦定理表示出sinB，将已知的a，b及sinA的值代入求出sinB的值，再由a大于b，得到A大于B，可得出cosB大于0，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosB的值【解答】解：a=3，b=2，A=60，由正弦定理=得：sinB=，又ab，AB，cosB=故选C【点评】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5已知D是ABC所在平面上任意一点，若（）（）=0，则ABC一定是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等边三角形【分析】利用向量的加法与减法的几何意义及平面向量数量积的运算即可判断该ABC的形状【解答】解：（）（）=0，（+）=0，取AC的中点为E，则2=0，BEAC，E为AC的中点，ABC为等腰三角形故选C【点评】本题考查向量的加法与减法的几何意义及平面向量数量积的运算，考查三角形的形状判断，将已知条件适当变形是关键，属于中档题6由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）ABCD【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx即可【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选A【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积7tan70cos10（tan201）等于（）A1B2C1D2【分析】将原函数式中的“切”化“弦”后，通分整理，用辅助角公式整理即可【解答】解：tan70cos10（tan201）=cos10（1）=2sin（2030）=1故选C【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，“切”化“弦”后通分整理是关键，考查化简与运算能力，属于中档题8已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）Af（x）=x22ln|x|Bf（x）=x2ln|x|Cf（x）=|x|2ln|x|Df（x）=|x|ln|x|【分析】根据函数f（x）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）是偶函数再根据函数在（ 0，+）上的单调性，判断各个选项的正确性，从而得到答案【解答】解：由函数f（x）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）是偶函数当 x0 时，根据函数图象可知函数在（0，1）上单调递减，在（1，+）上是增函数对选项A：f（x）=x2 2ln|x|=x2 2lnx，f（x）=2x2，在（0，1）上小于零恒成立，在（1，+）上大于零恒成立，故函数在（0，1）上单调递减，在（1，+）上是增函数，符合要求，故A正确对选项B：f（x）=x2ln|x|=x2 lnx，f（x）=2x在（0，1）上可以为正数，也可能为负数，故函数在（0，1）上没有单调性，不符合要求，故B不正确对于现象C：f（x）=|x|2ln|x|=x2lnx，f（x）=1，在（1，+）上可以为正数，也可能为负数，故函数在（1，+）上没有单调性，不符合要求，故C不正确对选项D：f（x）=|x|ln|x|=xlnx，f（x）=1，在（0，1）上小于零恒成立，在（1，+）上大于零恒成立，故函数在（0，1）上单调递减，在（1，+）上是增函数，符合要求但当x1时，它的增长速度应小于函数y=x的增长速度，这与所给的图象不相符合，故D不正确故选：A【点评】本题主要考查了识图能力，以及函数的对称性和单调性，数形结合的思想，属于基础题9已知0，函数f（x）=sin（x+）在（，）上单调递减，则实数的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，2【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得 ，由此求得实数的取值范围【解答】解：0，函数f（x）=sin（x+）在（，）上单调递减，则，求得，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题10方程mx2（m1）x+1=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（）Am1Bm3+2Cm3+2或0m3D32m1【分析】构造函数f（x）=mx2（m1）x+1，图象恒过点（0，1），根据方程mx2（m1）x+1=0在区间（0，1）内有两个不同的根，建立不等式组，即可求得m的取值范围【解答】解：构造函数f（x）=mx2（m1）x+1，图象恒过点（0，1）方程mx2（m1）x+1=0在区间（0，1）内有两个不同的根，故选B【点评】本题考查方程根的研究，考查函数与方程的联系，解题的关键是构造函数，建立不等式组求解11若函数在区间k，k（0k1）上的值域为n，m，则m+n=（）A0B1C2D4【分析】利用函数的单调性求解f（x）的值域即可求解m+n的值【解答】解：函数y=2，可知在R上是递增函数，函数y=sinx，xk，k（0k1），可知k，则函数在xk，k是递增函数，故得函数在区间k，k（0k1）上递增函数那么f（k）=n，即1sink+2=nf（k）=m，即1+sink+2=m则m+n=6（+）=62=4故选：D【点评】本题考查了函数值域的求法高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法要根据题意选择12设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（）A1B2C3D4【分析】利用函数总为“凸函数”，即f（x）0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可【解答】解：当|m|2时，f（x）=x2mx30恒成立等价于当|m|2时，mxx23恒成立当x=0时，f（x）=30显然成立当x0，xmm的最小值是2，x2，从而解得0x1；当x0，xmm的最大值是2，x2，从而解得1x0综上可得1x1，从而（ba）max=1（1）=2故选B【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数f（x）=，则f（f（）=2【分析】先求出f（）=2+4=4，从而f（f（）=f（4），由此能求出结果【解答】解：函数f（x）=，f（）=2+4=4，f（f（）=f（4）=log24=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用14已知向量 与 的夹角为120，且，则=2【分析】利用数量积运算性质即可得出【解答】解：向量 与 的夹角为120，且，=21cos120=1则=2故答案为：2【点评】本题查克拉数量积运算性质，属于基础题15已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）【分析】通过函数的图象，求出A，T的值，利用周期公式求出的值，再根据函数图象上的点求出的值即可【解答】解：由函数f（x）的图象知A=2，T=2（+）=4，=，又函数f（x）的图象经过（，0），0=2sin（+），=k，kZ；又，=；函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+）故答案为：f（x）=2sin（x+）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题16定义在（，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，下面是关于函数f（x）的判断：f（x）的图象关于点P（，0）对称； f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数； f（2）=f（0）其中正确的判断有、（把你认为正确的判断都填上）【分析】由f（x）=f（x），f（x+1）=f（x）可得f（1+x）=f（x），则可求f（x）图象关于点对称；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可判断；由f（x）为偶函数且在1，0上单增可得f（x）在0，1上是减函数；由f（x+1）=f（x）可得f（2+x）=f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）【解答】解：由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x），由f（x+1）=f（x）可得f（1+x）=f（x），则f（x）图象关于点对称，即正确；由f（x+1）=f（x）可得f（1+x）+1=f（x+1）=f（x），故偶函数f（x）是以2为周期的函数，故f（2x）=f（x）=f（x），故x=1也是图象的一条对称轴，故正确；由f（x）为偶函数且在1，0上单增可得f（x）在0，1上是减函数，即错；由f（x+1）=f（x）可得f（2+x）=f（x+1）=f（x），f（2）=f（0），即正确故答案为：【点评】本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知0，sin（+）=（1）求sin2的值；（2）求的值【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦，求得的值【解答】解：（1）=（2），sin（+）=，cos（+）=，sin（）=，=cos（+）（）=cos（+）cos（）+sin（+）sin（）=+=【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式、两角和的余弦的应用，属于基础题18（12分）设命题p：f（x）=在区间（1，+）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2ax2=0的两个实根，不等式m2+5m3|x1x2|对任意实数1，1恒成立；若pq为真，试求实数m的取值范围【分析】先根据分式函数的单调性求出命题p为真时m的取值范围，然后根据题意求出|x1x2|的最大值，再解不等式，若pq为真则命题p假q真，从而可求出m的取值范围【解答】解：f（x）=在区间（，m），（m，+）上是减函数，而已知在区间（1，+）上是减函数，m1，即命题p为真命题时m1，命题p为假命题时m1，x1，x2是方程x2ax2=0的两个实根|x1x2|=当a1，1时，|x1x2|max=3，由不等式m2+5m3|x1x2|对任意实数a1，1恒成立可得：m2+5m33，m1或m6，命题q为真命题时m1或m6，pq为真，命题p假q真，即，实数m的取值范围是m1【点评】本题主要考查了命题真假的判断的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时考查了运算求解的能力，属于中档题19（12分）已知向量=（1+cosx，1），=（1，a+sinx）（为常数且0），函数f（x）=在R上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在0，上为增函数，求的最大值【分析】（1）把向量=（1+cosx，1），=（1，a+sinx）（为常数且0），代入函数f（x）=整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（x+）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在0，上为增函数，就是周期，然后求的最大值【解答】解：（1）f（x）=1+cosx+a+sinx=2sin（x+）+a+1因为函数f（x）在R上的最大值为2，所以3+a=2，故a=1（2）由（1）知：f（x）=2sin（x+），把函数f（x）=2sin（x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）=2sinx又y=g（x）在0，上为增函数，g（x）的周期T=，即2，的最大值为2【点评】本题是基础题，以向量的数量积为载体，三角函数的化简求值为主线，三角函数的性质为考查目的一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力20（12分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且（1）求证：ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，PAB=，用的三角函数表示三角形PAC的面积，并求PAC面积最大值【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，再利用正弦函数的图象与性质得到A与B相等或A与B互余，由b与a的比值不相等，得到A不等于B，故A与B互余，可得出C为直角，则此三角形为直角三角形，得证；（2）由三角形ABC为直角三角形，根据a与b的比值，以及c的值，利用勾股定理求出a与b的值，再由一条直角边等于斜边的一半，可得出此直角边所对的角为30，即BAC为30，又PAB=，用PABBAC表示出PAC，同时在直角三角形PAB中，由AB的长及PAB=，利用锐角三角函数定义表示出PA，由AC，PA及sinPAC，利用三角形的面积公式表示出三角形APC的面积，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质可得出正弦函数的值域，进而确定出面积的最大值【解答】解：（1）由正弦定理得：=得：=，又，整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=，A=B舍去，由A+B=可知：C=，则ABC是直角三角形；（6分）（2）由ABC是直角三角形，设a=k，则b=k，又c=2，根据勾股定理得：k2+3k2=4，即k2=1，解得：k=1，则a=1，b=，（7分）直角三角形ABC中，a=c，BAC=，由圆周角定理得到PAB为直角三角形，又PAB=，PA=ABcos=2cos，SPAC=PAACsin（）=2cossin（）=cossin（）（9分）=cos（sincos）=（sin2cos2）=sin（2），（12分），当，即时，SPAC最大值等于（14分）【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，三角形的面积公式，正弦函数的定义域与值域，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21（12分）已知f（x）=axln（x），x（e，0），g（x）=，其中e是自然常数，aR（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，|f（x）|g（x）+（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由【分析】（1）把a=1代入f（x）=axln（x），求导，分析导函数的符号，可得f（x）的单调性、极值；（2）由（1）知f（x）在e，0）的最小值为1，要证，只需证的最大值小于1即可，利用导数求函数的最大值；（3）假设存在实数a，使f（x）=axln（x）有最小值3，xe，0），求导，令导数等于零，解方程得到的方程的根是否在定义域（e，0）内进行讨论，从而求得结果【解答】解：（1）f（x）=xln（x）当ex1时，f（x）0，此时f（x）为单调递减当1x0时，f（x）0，此时f（x）为单调递增f（x）的极小值为f（1）=1（2）f（x）的极小值，即f（x）在e，0）的最小值为1|f（x）|min=1令又当ex0时h（x）0，h（x）在e，0）上单调递减当xe，0）时，（3）假设存在实数a，使f（x）=axln（x）有最小值3，xe，0）当时，由于xe，0），则函数f（x）=axln（x）是e，0）上的增函数f（x）min=f（e）=ae1=3解得（舍去）当时，则当时，此时f（x）=axln（x）是减函数当时，此时f（x）=axln（x）是增函数解得a=e2【点评】此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题对方程f（x）=0根是否在定义域内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，和转化思想，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力22（12分）已知函数f（x）=ln（2x）+ax在（0，1）内是增函数（1）求实数a的取值范围；（2）若b1，求证：ln（b+2）+lnb2ln（b+1）【分析】（1）由已知得f（x）0 在（0，1）内恒成立，即a在（0，1）内恒成立，由此求得a的取值范围（2）由f（x）=1n（2x）+x在（0，1）内为增函数，可得，化简变形可得所证的结论【解答】解：（1）由已知得在（0，1）内恒成立，即在（0，1）内恒成立，a1；（2）证明：b1，又由（1）得当a=1时，f（x）=ln（2x）+x在（0，1）内为增函数，则，即，【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，函数的单调性的应用，是一道中档题