高等数学极限方法总结

. .摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比拟重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法那么、英文题目Limit methods summarizeAbstract:The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,一.引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假设高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最根本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约分，三角代换等方法化成比拟好求的数列，也可以利用数列极限的 四那么运算法那么计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法那么、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比拟常用的方法，在本文中都一一列举了。二. 研究问题及成果一、 极限定义、运算法那么和一些结果1定义：各种类型的极限的严格定义参见?高等数学?函授教材，这里不一一表达。说明：1一些最简单的数列或函数的极限极限值可以观察得到都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；等等 2在后面求极限时，1中提到的简单极限作为结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法那么定理1 ，都存在，极限值分别为A，B，那么下面极限都存在，且有 123说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法那么成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限1 2 ； 说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.2一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要极限成立的条件。例如：，；等等。4洛比达法那么定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小即极限是0。定理3 当时，以下函数都是无穷小即极限是0，且相互等价，即有： 。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时，仍有上面的等价关系成立，例如：当时， ； 。定理4 如果函数都是时的无穷小，且，那么当存在时，也存在且等于，即=。5洛比达法那么定理5 假设当自变量x趋近于某一定值或无穷大时，函数和满足：1和的极限都是0或都是无穷大； 2和都可导，且的导数不为0； 3存在或是无穷大； 那么极限也一定存在，且等于，即= 。说明：定理5称为洛比达法那么，用该法那么求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法那么就不能应用。特别要注意条件1是否满足，即验证所求极限是否为“型或“型；条件2一般都满足，而条件3那么在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法那么可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，那么有 。7极限存在准那么 定理7准那么1 单调有界数列必有极限。定理8准那么2 为三个数列，且满足：1 2 ， 那么极限一定存在，且极限值也是a ，即。二、求极限方法举例1 利用函数的连续性定理6求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 。2 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 。注：此题也可以用洛比达法那么。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x0 x x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。3 利用定理2求极限例8 解：原式=0 定理2的结果。4 利用等价无穷小代换定理4求极限这种方法的理论根底主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).3设、且；那么：与是等价无穷小的充分必要条件为：常用等价无穷小：当变量时，例1 求解， 故，原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ，故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小解 而左边，故 即5.利用洛比达法那么求极限利用这一法那么的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法那么分为3种情况：10比0，无穷比无穷的时候直接用.20乘以无穷，无穷减去无穷无穷大与无穷小成倒数关系时通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成1中形式了.30的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于指数,幂函数形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法那么中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . 1求极限有很多种方法如洛必达法那么，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. 3例12 例4解：原式= 。最后一步用到了重要极限例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。连续用洛比达法那么，最后用重要极限例15 解：例18 解：错误解法：原式= 。正确解法：应该注意，洛比达法那么并不是总可以用，如下例。例19 解：易见：该极限是“型，但用洛比达法那么后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= 分子、分母同时除以x = 利用定理1和定理2注：使用罗比达法那么必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法那么分为三种情况10 比0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导； 2 0 乘以无穷，无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成 1 的形式； 3 的 0 次方， 0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于指数幂数方程，方法主要是取指数还取 对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了， 这就是为什么只有 3 种形式的原因， 6.利用极限存在准那么求极限例20 ，求解：易证：数列单调递增，且有界02，由准那么1极限存在，设 。对的递推公式 两边求极限，得：，解得：或不合题意，舍去所以 。例21 解： 易见：因为 ，所以由准那么2得： 。7.直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：1设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量点仍在该领域内时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，那么称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即 ；2在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36，求.解.例37 假设函数有连续二阶导数且，那么 .A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 解.所以，答案为D.例38 假设，求.解.8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分1例33 ,在区间上求其中将分为个小区间,，为中的最大值.解 由得: .注释：由可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：1定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，那么在上至少有一个点，使以下公式成立：；2设函数在区间上连续，取，如果极限 存在，那么称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分： 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；其次，计算的近似值 ；然后，求和，得的近似值 ；最后，求极限，得.例34 设函数连续，且，求极限 .解 =，.例35 计算反常积分:.解 =.9.用初等方法变形后，再利用极限运算法那么求极限利用如下的极限运算法那么来求极限：(1) 如果那么假设又有，那么2如果存在，而为常数，那么3如果存在，而为正整数，那么4如果，而，那么5设有数列和，如果那么，当且时，例1 解：原式= 。注：此题也可以用洛比达法那么。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。三，极限运算思维的培养极限运算考察的是一种根本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是根本概念和根本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养那么是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面那么需要在具体的运算中体会，多做题多总结。四. 完毕语上面对求极限的常用方法进展了比拟全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。参考文献1 同济大学应用数学系 高等数学 19972吉米多维奇.数学分析M.XX:XX科技文献1995.3陈纪修,等.数学分析M.:高等教育,1999.4同济大学应用数学组.高等数学M.:高等教育,1996.第3期X宏达:高等数学中求极限的常用方法41? 1994-2021 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. . .word.