高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解

高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解 之迟辟智美仓作亘是公差为正数的等差数列，其前n项和为 固,且回？口$ = 15 S=也,(I)求数列回的通项公式；(n)数列色1J满足1瓦=血 求数列回的通项公式是否存在正整数m.,?若存在，求由m,n的值;若不存在，请说明理由解:(I)设数列叵I的公差为d,则曰0由回EEO叵三，得沁L +L 4 ,2d) = 511 4= 10,计算得由n - 1- n=1 + 2n - 1 2nJ也符合上式.故假设存在正整数 m、EE三!使得回回回成等差数Bl _ 3；i - 2 _ 31| |即 I 2。即三1寸回=2 （舍夫）;当EEHH即EE可时,三!符合 题意.存在正整数EZOEHJ使得区因成等差数列解析（I）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首 项和公差，代入等差数列的通项公式得谜底；丁儿+】-.=（n）把数列匕U的通项公式代入吧然后裂项，累加后即可求得数列 叵0的通项公式；假设存在正整数 m、E三,使得回E0后成等差数列，则匠三叼油此列关于m的方程，求计算得由谜底叵中，已知曰，记三I三求证:数列世士归为等比数列；（2）记叵三包三，且数列叵|的前门项和为 列叵1中的最小项，求同的取值范围.解：(1)证明：“ + 2 1 |,卜/+ /1 = ：*/，小|又“ 卜 1 R + 1 _ 丫 5，+ n 0,故I =1氏亘是以3为首项，公比为3的等比数列(2)由(1)知道尸若四为数列叵”中的最小项，则对回有V U o 小弓一以.严 冲1行/一门一 1阴AL2I恒成立，即+寸回恒成立 日那时1 = 1|有卜J 臼那时二21有3（二26） +产5 +1） / （浮+驯-10）（献+吁12）因恒成阳 + 1） -解析(1)由应三王g,整理得：三三亘五.由L ，-十 I _ 31,可以知道叵亘是以3为首项，公比为3的等比数列；由(1)求得数列 回通项公式及前n项和为回,由同为数列7771厨 、(了一1)-39-6入叫J中的最小项，则对山有12：I恒成立，分类分别求得那时 =和当EE囚的取值范围,那时亘,XI12，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得一的取值范围3.在数列叵”中，已知 为叵的前n项和.求证:数列世旧J是等差数列；求 回(3)是否存在正整数p,q,卜1”“使回 区 0成等差数列？若存在，求由p,q,r的值;若不存在，说明理由.2_I(1)证明:由上一皆或,6获得叵三三三百，则3*&4】一取% = 2,首项，以-2为公差的等差数列；(2)由(1)可以推知:=1如臼,所以，“一苫 ，所以11 a 5 ”加Q 滓一承一丞一，一一在正整数p,q,EE三ZQ使叵)国目成等差数列.则iq p rI 3 - 2n I悴即七因为那时 叵,匕匕1所 以数列 吧J单调递加.又匕L所以匕且q至少为2,所pr杂一:却T3中一】印 印成立._ |4 = - I k = 1|那时心W二I所以也：所以巨 ”所以EE3,(数列叵U单调递加，解唯一确定).综上可以知道，p,q,r的值分 别是1,2,3.解析AI,.r fn_1_i ku 廿乂把给由的数列递推式- J,心变形后获得新数列BEU,该数列是以1为首项，以-2为公差的等差数列；由(1)推由叵的通项公式，利用错位相减法从而求得求Sfr；(3)根据等差数列的性质获得巴;生巴，从而推知p,q,r的值.4.已知n为正整数，数列叵0满足底。|, |九 + 1)凡设数列 求证:数列 画为等比数列； 若数列 出_良等差数列，求实数t的值；若数列 回1等差数列，前n项和为 叵,对任意的 叵 均存在 国口使得 口C匹成立，求满足条件的所 有整数巴I的彳t.(1)证明：或列叵U菌足I为等比数列淇首项为叵,公比为2；_/If“=方二礼数列回是等差数列关于n的一次函数，因此数列匕1口不是等差数列.综上可得b占二吧1I . . I一-I(3)解:由(2)得一 I 对任意的 H,均存在使得 应z引成立，即有何国上eT?化简可得任意的，符合题意；当上二巴口，那时71 = 13-二 11,对任意的，不符合题意.综上可得,当卜|=八，对任意的，均存在niEA,使得成立.1H =解析i+i -711(1)根据题意整理可得，mJ国，再由等比数列的界说即可得证；运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，可得2a解方程可得t,对t的值，检验即可获得所求值； h= (3)由(2)可得二_0,对任意的 匡匚J,均存在巴三二_1,使得 I1111, 广 me忸正可成立，即有何?一T匕讨论巴为偶数和奇数，化简整理，即可获得所求值. 5.已知常数匚二数列叵0满口 0+1 = |p - 1| + 2an + p若求回的彳1；(2)若数列中存在三项一,一,依次5成等差数列，求E1的取值范围解:(1)1 一心| + 25十=。I 2 4 1 = 3+ 2a：( 41=2 I 6+1 = 9求数列叵可的前n项和回;=-1 卜% + 2% + 1 =制即从第二项起，数列回是以1为,E3那时亘EH!那时回,显然那时，上式也成立，首项，以3为公比的等比数列,日数列叵0的前n项和巨!,若数列叵中存在三项回回nt l i ,*.Vx. r s /)依次成等差数列，(2)因d三引，即叵及调递增.(i)那时，2x3t = ? x3ft 3t ：t + 3t.因其中上回不存在三项则有回回，叵三亘三三，口依次成等差数列.叵那时 & 1I I有尸三.此时叵卜是那日回回三.从而回13数列叵口中存在三项eieiEEH空三EZ可依次成等差数列，则有悭、=小父同可以知道：匕二u.于是有* 一 1 1 于是|一叫即|一一|.与|矛盾.故此时数列 叵中不存在三项 网，叵，叵三三三三 依次成等差数列.画那时MU,有叵二EEE三!口于是 任目*匕时数列 回中存在三项H回,应依次成等差数列.综上可得：解析%41 =) - Onl + 2a赞 + p，可得ii| + 2n1+ 1 = 2 - 2 + 1 = LQn+l = |1 1 - On| + 22T?4J，即从第二项起，数列回是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可 得生叵 因可得三引，即叵单调递增.(i)那时I；.，有 叵0,于是麻加 叫，可得叵加利用反证法即可得由不存在叵I那时-1 IL.所以EZ&,得证.证法二:设叵D的公差为d,假设存在自然数沦 iSHl，则，即fwSLDm-凯因为匹巴,所以巴土|所以l)r/ - rr = Q d l)r/T。-弓 0所以和2.=/ ,网 一 sr.由恒成立思想，判断符号即可得证；方法二、运用反证的公差为d,假设存在自然数二作差Tn-&f，推由年夜于0,即可得证；(3)运用等差数列和等比数列的求和公式，求得回三I,化简/ + 2工推由小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可获得所求值.7.已知数列都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到年夜的顺序排成一列 (相同的项视为一项，则获得 一个新数列是等差数列，求数列 叵的前n项和回；（3）设=八.是 不小于2的正整数）,1 =阮:是否存在等差数列 回,使得对 任意的E1，在园与应之间数列叵的项数总是回若 存在，请给由一个满足题意的等差数列 回;若不存在，请说 明理由.解：（1）设等差数列 回的公差为d,等比数列回的公比为（L . | M = /q,根据题意得,1”I计算得由 匹可或3,因数列叵, 回单调递增,所以EE可RED所以亘,三所以，因为=瓦=1 叱=坛 & =坛 7 5讣,二仁第=5丁 = 49. 一（2）设等差数列叵的公差为d,又回,且叵三1,所以也二“，所 以三三工可因为何三是叵中的项，所以设叵三，即，二1） = 2. |那时回，计算得出“二1 1,不满足各项为正 整数;gu那时匠三回，匹U,此时收二I,只需取叵二，而等1r-S ” _ 几（一 + 1）比数歹IJ色”的项都是等差数列 四1J,中的项，所以匚_?_那时|法= =：,匹2,此时，= U,只需取由区三三口，得匕,叵是奇数 口 11是正偶数,m有正整数解，所以等比数列 回的项都是等差数列n中的项，所以叵三O综上所述，数列叵D的前n项和存在等差数列 叵只需首项匠呵，公差EE三三)下证 口与叵L间数列 叵的项数为 回.印证对任意正整数 n,都&n 门k十几十3.+ tjiI 瞧 -+1,即U2成立.由% 口i+#+炉-+1 =封一1 一 1一(1 + q + * + q - 1) = 1 仆所以首项 国“口公差EE口的等差数列 叵符合题意EH 解析设等差数列叵的公差为d,等比数列回的公比为q,根据f 1 d = q-题意得,l1 I,计算得出匹可或3,因数列叵I叵单调递增，匹DEZ/可得辰2胆=* I,利用通项公式即 可得生.设等差数列的公差为d,又回，且叵三，所以叵三U,所 以三”口匚Q因为匠习是回中的项，所以设三口即三三3.那时回，计算得由 LllLJ,不满足各项为正 整数那时回三三口那时WZ三号,即可得由.存在等差数列叵口只需首项EE正，公差EEH.下证 R与叵还间数列 回的项数为 同.印证对任意正整数 n,都J 6rltUL4frz+ . .-kb, i4-l有止I,作差利用通项公式即可得出. ： ； . ; ： -1. ,： h中 ,一 11亘0为数列 回的前k项摆荡均值”若对任意的 叵0,叵, 都有叵正画，则称数列 回为 趋稳数列，.若数列1,x,2为 趋稳数列”求x的取值范围；若各项均为正数的等比数列回的公比 叵口，求证:回是趋稳数列”；已知数列叵的首项为1,各项均为整数，前k项的和为国. 且对任意巨，叵,都有叵EE1恒，试计算：。汨 + 2C；：只由十一+ m 1)C：只可)522, N) .，_ 4 口-I + 吁 2|解：(i)根据题意可得 三即w ,心|工 叫，两F2ci ll i1T 3 -边平方可得 匕士匚之上士J,计算得由；、十, r r 分、rr M =瓦中(l ,_,加 )(/- (2 - it. - 1) = 5 (3n - 2n+1 + 1) .解析|1-| 1工1 + I1-2|(1)由新界说可得I2I,解不等式可得X的范围；运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新界说，运用不等式的性质即可得证；由任意 巨，叵),都有EE巫，可得(I)* TDRS一)=回由等比数列的通项公式，可得 上二！2匕,结合新界说和二项式定理，化简整理即可获得所 求值.9.已知首项为1的正项数列an满足F0+上cUan+lan, n CN*T(1)若a2=bd, a3=x, a4=4,求x的取值范围；(2)设数列an是公比为q的等比数列，Sn为数列an前n项的和，若 巴SnvSn+1v2Sn, n 6 N* ,求q的取值范围； (3)若a15 a2,，ak (k3)成等差数列，且 a1+a2+ak=120,求正整数k的最小值，以及 k取最小值时相应数列a1, a2,，ak (k3)的公差.解：(1)由题意，Barx an+1 2an, T_Ux3,T9-LJ x 2x,xS (2, 3).(2) / LUan an+1 2an,且数列an是公比为q的等比数列，a1=1 51 LrJqn-1 qn0, qn-1(q-2) 0,Vq (H, 1).,. EsnSn+1 i 猥Q-l)Vl，q6 （口，1）I,无当qS (1, 2)时,解,，q6 (已，1).(3)设数列a1, a2,，ak (k3)的公差为d.LiJanan+1 2an,且数列 a1, a2,，an成等差数列,a1=1,U1+(n-1)d v 1+ndv21+(n-1)d , n=1 , 2,，k-1 ,f 1d2 h)Vl ,T二.ds(B, 1)/a1+a2+- +ak=120 ,Sk=LUk2+(a1-巴)k=巴 k2+(1-)k=120 ,，kS (15, 239) , kS N* ,，k的最小值为16,此时公差d=Ll.解析【解题方法提示】分析题意，对(1),由已知结合完全平方公式可得Uanan+1v2an,由此可获得关于 a2, a3, a4的年夜小关系，据此 列式可解得x的取值范围；根据Uanan+12an,以及等比数列的通项公式可得q(巴，1),再结合白SnvSn+1v2Sn以及等比数歹U的前 n 项和公式分类讨论可得 q的取值范围；设公差为d,根据口an an+12an,以及等差数列的通项公 丁式可得dS (-3,1),然后根据等差数列的前n项和公式I 1结合题意可得d=，由此可解得k的取值范围，进而 获得k的最小值和d的值.