反比例函数典型例题

1 反比例函数 知识点及考点 一 反比例函数的概念 知识要点 1 一般地 形如 y k 是常数 k 0 的函数叫做反比例函数 x 注意 1 常数 k 称为比例系数 k 是非零常数 2 解析式有三种常见的表达形式 A y k 0 B xy k k 0 C y kx 1 k 0 x 例题讲解 有关反比例函数的解析式 例一 下列函数 其中是 y 关于1 2 y xy21 xy 2 13yx x 的反比例函数的有 例二 函数 是反比例函数 则 的值是 2 axa A 1 B 2 C 2 D 2 或 2 例三 若函数 m 是常数 是反比例函数 则 m 解析式为 1 xy 例四 如果 是 的反比例函数 是 的反比例函数 那么 是 的 xyx A 反比例函数 B 正比例函数 C 一次函数 D 反比例或正比例函数 对应练习 1 如果 是 的正比例函数 是 的反比例函数 那么 是 的 y 2 如果 是 的正比例函数 是 的正比例函数 那么 是 的 mxyx 3 反比例函数 的图象经过 2 5 和 0kx 2n 求 1 的值 2 判断点 B 是否在这个函数图象上 并说明理由n4 4 已知 y 与 2x 3 成反比例 且 时 y 2 求 y 与 x 的函数关系式 41 x 2 5 已知函数 其中 与 成正比例 与 成反比例 且当 1 时 1 12y 1yx2yxxy 3 时 5 求 1 求 关于 的函数解析式 2 当 2 时 的值 x 二 反比例函数的图象和性质 知识要点 1 形状 图象是双曲线 2 位置 1 当 k 0 时 双曲线分别位于第 象限内 2 当 k0 时 y 随 x 的增大而 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而 4 变化趋势 双曲线无限接近于 x y 轴 但永远不会与坐标轴相交 5 对称性 1 对于双曲线本身来说 它的两个分支关于直角坐标系原点 2 对于 k 取互为 相反数的两个反比例函数 如 y 和 y 来说 它们是关于 x 轴 y 轴 x6 例题讲解 例题讲解 反比例函数的图象和性质 例一 写出一个反比例函数 使它的图象经过第二 四象限 例二 若反比例函数 的图象在第二 四象限 则 的值是 2 1 mxy m A 1 或 1 B 小于 的任意实数 C 1 不能确定 例三 下列函数中 当 时 随 的增大而增大的是 0 x yx A B C D 34y 123 4yx 12yx 例四 已知反比例函数 的图象上有两点 A B 且 2yx121 则 的值是 12y A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定 对应练习 1 若点 和 分别在反比例函数 的图象上 且1xy2y3xy2yx 则下列判断中正确的是 1230 x A B C D y312y 231y 321y 3 M y N xO 图 4 2 在反比例函数 的图象上有两点 和 若 时 则 的取值xky1 1 xy 2 xy x120 y12 k 范围是 3 老师给出一个函数 甲 乙 丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质 甲 函数的图象经过第二象限 乙 函数的图象经过第四象限 丙 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 请你根据 他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 4 作出反比例函数 的图象 结合图象回答 xy4 1 当 x 2 时 y 的值 2 当 1 x 4 时 y 的取值范围 3 当 1 y 4 时 x 的取值范围 三 反比例函数与面积结合题型 知识要点 1 反比例函数与矩形面积 若 P x y 为反比例函数 k 0 图像上的任意一点如图 1 所示 过xky P 作 PM x 轴于 M 作 PN y 轴于 N 求矩形 PMON 的面积 分析 S 矩形 PMON yP xy k S xky k 2 反比例函数与矩形面积 若 Q x y 为反比例函数 k 0 图像上的任意一点如图 2 所示 过 Q 作xy QA x 轴于 A 或作 QB y 轴于 B 连结 QO 则所得三角形的面积为 S QOA 或 S QOB 说明 以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关 2k2k 例题讲解 例一 如图 3 在反比例函数 x 0 的图象上任取一点 过 点分别作 轴 轴的垂线 垂足y6 Pxy 分别为 M N 那么四边形 的面积为 ON P y xOM N 图 1 O B y xA Q 图 2 P y M x0 N 3 xO A C B 图 6 4 例二 反比例函数 的图象如图 4 所示 点 M 是该函数图象上一点 MN x 轴 垂足为 N 如果 S xky MON 2 这个反比例函数的解析式为 对应练习 1 如图 5 正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 A C 两点 0 ykx 2yx 过点 A 作 AB 轴于点 B 连结 BC 则 ABC 的面积等于 x A 1 B 2 C 4 D 随 的取值改变而改变 2 如图 6 A B 是函数 2yx 的图象上关于原点对称的任意两点 BC x轴 AC y轴 ABC 的面积记为S 则 A 2 B 4S C 24S D 4S 3 如图 7 过 y 轴正半轴上的任意一点 P 作 x 轴的平行线 分别与反比例函数 的图象交于点 Axy24 和 和点 B 若点 C 是 x 轴上任意一点 连接 AC BC 则 ABC 的面积为 四 一次函数与反比例函数 例题讲解 例一 一次函数 y 2x 1 和反比例函数 y 的大致图象是 A B C 例二 一次函数 0 kxy和反比例函数 0 kxy在同一直角坐标系中的图象大致是 图 5 图 7 5 对应练习 1 一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 k 1 k2 0 的图象如x 图所示 若 y1 y 2 则 x 的取值范围是 A 2 x 0 或 x 1 B 2 x 1 C x 2 或 x 1 D x 2 或 0 x 1 2 正比例函数 和反比例函数 的图象有 个交点 y y 3 正比例函数 y k1x k1 0 和反比例函数 y k2 0 的一个交点为 m n 则另一个交点为 kx 4 设函数 y 与 y x 1 的图象的交点坐标为 a B 则 的值为 2 1ab 5 如图 Rt ABO 的顶点 A 是双曲线 与直线kyx ym 在第二象限的交点 AB 垂直 轴于 B 且 S ABO 32 则反比例函数的解析式 6 若反比例函数 与一次函数 y 3x b 都经过点 1 4 则 kb xky 7 如图 已知 A 4 a B 2 4 是一次函数 y kx b 的图象和反比例函数 y 的图象的交点 xm 1 求反比例函数和一次函数的解祈式 2 求 A0B 的面积 8 如图 在平面直角坐标系中 直线 与双曲线 在2kyx kyx 第一象限交于点 A 与 轴交于点 C AB 轴 垂足为 B 且 1 求 xxAOBS 1 求两个函数解析式 2 求 ABC 的面积 9 平面直角坐标系中 直线 AB 交 x 轴于点 A 交 y 轴 于点 第 7 题 6 B 且与反比例函数图象分别交于 C D 两点 过点 C 作 CM x 轴于 M AO 6 BO 3 CM 5 求直线 AB 的解析式和反比例函数解析式 五 反比例函数的应用 例题讲解 例一 一个水池装水 12 立方米 如果从水管中每小时流出 x 立方米的水 经过 y 小时可以把水放完 那么 y 与 x 的函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 例二 三角形的面积为 6cm2 如果它的一边为 ycm 这边上的高为 xcm 那么 y 与 x 之间是 函数关系 以 x 为自变量的函数解析式为 例三 长方体的体积为 40cm3 此长方体的底面积 y cm2 与其对应高 x cm 之间的函数关系用图象大致可以表示 为下面的 对应练习 1 下列各问题中两个变量之间的关系 不是反比例函数的是 A 小明完成百米赛跑时 所用时间 t s 与他的平均速度 v m s 之间的关系 B 长方形的面积为 24 它的长 y 与宽 x 之间的关系 C 压力为 600N 时 压强 p Pa 与受力面积 S m2 之间的关系 D 一个容积为 25L 的容器中 所盛水的质量 m kg 与所盛水的体积 V L 之间的关系 2 在温度不变的条件下 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体 7 对汽缸壁所产生的压强 如下表 体积 x ml 100 80 60 40 20 压强 y kpa 60 75 100 150 300 则可以反映 y 与 x 之间的关系的式子是 A y 3000 x B y 6000 x C D xy30 xy60 3 甲 乙两地间的公路长为 300km 一辆汽车从甲地去乙地 汽车在途 中的平均速度为 V km h 到达时所用的时间为 t h 那么 t 是 V 的函数 V 关于 t 的函数关系式为 4 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房 如图所示 则需要塑料布 y m2 与半径 R m 的函数 关系式是 不考虑塑料埋在土里的部分 5 有一面积为 60 的梯形 其上底是下底长的三分之一 若下底长为 x 高为 y 则 y 关于 x 的函数关系式是 A B C D 0 4 xy 0 3 xy 0 9 xy 0 15 xy 6 一个长方体的体积是 100cm3 它的长是 y cm 宽是 5cm 高是 x cm 1 写出长 y cm 关于高 x cm 的函数关系式 以及自变量 x 的取值范围 2 画出 1 中函数的图象 3 当高是 3cm 时 求长 7 一个气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 气球内气体的气压 p kPa 是气体体积 V m3 的反比 例函数 其图象如图所示 1 写出这一函数的解析式 2 当气体体积为 1m3 时 气压是多少 3 当气球内的气压大于 140kPa 时 气球将爆炸 为了安 全起见 气 体的体积应不小于多少 8 8 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时 室内每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时 间 x 分钟 成正比例 药物燃烧完后 y 与 x 成反比例 如图所示 现测得药物 8 分钟燃毕 此时室内空 气中每立方米的含药量为 6 毫克 请根据题图中所提供的信息解答下列问题 1 药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 自变量 x 的取值范围是 药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为 2 研究表明 当空气中每立方米的含药量小于 1 6 毫克时学生方可进教室 那么从消毒开始 至少需要 经过 分钟后 学生才能回到教室 3 研究表明 当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时 才能有效杀灭空 气中的病菌 那么此次消毒是否有效 为什么 备用练习 1 反比例函数的概念 1 下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是 A y 3x B C 3xy 1 D 2 下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是 A B C D 2 图象和性质 1 已知函数 是反比例函数 若它的图象在第二 四象限内 那么 k 若 y 随 x 的增大而减小 那么 k 9 2 已知一次函数 y ax b 的图象经过第一 二 四象限 则函数 的图象位于第 象 限 3 若反比例函数 经过点 2 则一次函数 的图象一定不经过第 象限 4 已知 a b 0 点 P a b 在反比例函数 的图象上 则直线 不经过的象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 若 P 2 2 和 Q m 是反比例函数 图象上的两点 则一次函数 y kx m 的图象经 过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限 D 第二 三 四象限 6 已知函数 和 k 0 它们在同一坐标系内的图象大致是 A B C D 3 函数的增减性 1 在反比例函数 的图象上有两点 且 则 的值为 A 正数 B 负数 C 非正数 D 非负数 2 在函数 a 为常数 的图象上有三个点 则函数 值 的大小关系是 A B C D 10 3 下列四个函数中 y 随 x 的增大而减小的函数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 4 已知反比例函数 的图象与直线 y 2x 和 y x 1 的图象过同一点 则当 x 0 时 这个反比 例函数的函数值 y 随 x 的增大而 填 增大 或 减小 4 解析式的确定 1 若 与 成反比例 与 成正比例 则 y 是 z 的 A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 不能确定 2 若正比例函数 y 2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 2 m 则 m k 它们的另一个交点为 3 已知反比例函数 的图象经过点 反比例函数 的图象在第二 四象限 求 的值 4 已知一次函数 y x m 与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为 P x 0 3 求 x 0 的值 求一次函数和反比例函数的解析式 5 面积计算 1 如图 在函数 的图象上有三个点 A B C 过这三个点分别向 x 轴 y 轴作垂线 过每一点 所作的两条垂线段与 x 轴 y 轴围成的矩形的面积分别为 则 A B C D 11 第 1 题图 第 2 题图 2 如图 A B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点 AC y 轴 BC x 轴 ABC 的面 积 S 则 A S 1 B 1 S 2 C S 2 D S 2 3 如图 Rt AOB 的顶点 A 在双曲线 上 且 S AOB 3 求 m 的值 第 3 题图 第 4 题图 4 已知函数 的图象和两条直线 y x y 2x 在第一象限内分别相交于 P1 和 P2 两点 过 P1 分别 作 x 轴 y 轴的垂线 P1Q1 P1R1 垂足分别为 Q1 R1 过 P2 分别作 x 轴 y 轴的垂线 P2 Q 2 P2 R 2 垂足分别为 Q 2 R 2 求矩形 O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长 并比较它们的大小 5 如图 正比例函数 y kx k 0 和反比例函数 的图象相交于 A C 两点 过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B 连接 BC 若 ABC 面积为 S 则 S 第 5 题图 第 6 题图 12 6 如图在 Rt ABO 中 顶点 A 是双曲线 与直线 在第四象限的交点 AB x 轴于 B 且 S ABO 求这两个函数的解析式 求直线与双曲线的两个交点 A C 的坐标和 AOC 的面积 7 如图 已知正方形 OABC 的面积为 9 点 O 为坐标原点 点 A C 分别在 x 轴 y 轴上 点 B 在函数 k 0 x 0 的图象上 点 P m n 是函数 k 0 x 0 的 图象上任意 一点 过 P 分别作 x 轴 y 轴的垂线 垂足为 E F 设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外 的部分的面积为 S 求 B 点坐标和 k 的值 当 时 求点 P 的坐标 写出 S 关于 m 的函数关系式 6 综合应用 1 若函数 y k1x k1 0 和函数 k2 0 在同一坐标系内的图象没有公共点 则 k1 和 k2 A 互为倒数 B 符号相同 C 绝对值相等 D 符号相反 2 如图 一次函数 的图象与反比例数 的图象交于 A B 两点 A 1 B 1 n 求反比例函数和一次函数的解析式 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 3 如图所示 已知一次函数 k 0 的图象与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 1 且与反比例函数 m 0 的图象在第一象限交于 C 点 CD 垂直于 x 轴 垂足为 D 若 OA OB OD 1 求点 A B D 的坐标 求一次函数和反比例函数的解析式