复变函数课后部分习题解答

1 2求下列各式的值 1 i 35 解 i 2 cos 30 isin 30 2 cos30 isin30 i 2 cos 30 5 isin 30 5 5 2 2 i 2 5 16 16i3 1 2求下列式子的值 2 1 i 6 解 令 z 1 i 则 x Re z 1 y Im z 1 r z2yx tan 1 x 0 y 0 属于第一象限角 4 1 i cos isin 24 1 i cos isin 6646 8 0 i 8i 1 2求下式的值 3 61 因为 1 cos sin 所以 cos 6 sin 6 k 0 1 2 3 4 5 6 61 k2 k2 习题一 1 2 4 求 1 i 的值 3 1 解 1 i cos isin 3 124 31 cos isin 61 8 k2 8 k k 0 1 2 1 3求方程 8 0的所有根 3z 解 所求方程的根就是 w 38 因为 8 8 cos isin 所以 cos 2k 3 isin 2k 3 k 0 1 238 其中 2 3r8 即 2 cos 3 isin 3 1 i1w 3 2 cos 2 3 isin 2 3 22 2 cos 4 3 isin 4 3 1 i3 3 习题二 1 5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域 并指明它是有界还 是无界的 单连通还是多连通的 1 Im z 0 解 设 z x iy 因为 Im z 0 即 y 0 而 x 所以 不等式所确定的区域 D为 不包括实轴的上半平面 由所确定的区域可知 不存在某一个正数 M 使得确定区域内的 每个点 z满足 所以该区域是无界的 M 在该区域 D内任意作一条简单闭曲线 该曲线的内部总是属于 D区域 所以区域 D为单连通区域 综上所述 该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域 是 无界的单连通区域 描出下列不等式的区域或闭区域 并指出它是有界还是无界的 单 连通的还是多连通的 1 5 2 1 4 解 该不等式的区域如图所示 圆 4的外部 不包括圆周 无界的 为开的多连通区域 1 2 2 1 5 描出下列不等式所确定的区域或闭区域 并指明它是有界的还 是无界的 单连通的还是多连通的 0 Re z 1 1 5 x y 由直线 X 0与 X 1所围成的带形区域 不包括两直线在内 是无界 的 开的单连通区域 1 5描述下列不等式所确定的区域或闭区域 并指明它是有界 的还是无界的 单连通的还是多连通的 4 32 z 解 即 为由圆周32 z 94 22 yx 与 所围成的环形闭区域 包括圆周 yx 22 是有界多连通闭区域 如图 已知映射 w z3 求 1 点 z1 i z 2 1 i z 3 i 在 w平面上的像 解 z r ei 则 w z3r3 于是 3 1 Z1 i e 2 i 2 z2 1 i 2 cos 4 isin 4 2 4 Z3 i 2 i 2 3 32 12 cos 6 isin 62 6 经映射后在 w平面上的像分别是 W1 i 3 3 W2 i 2 i2 2 32 3 422 12 12 W3 8i2 3 2 第 47页 3 5计算下列各题 1 10 10 zdcosz zcosz z 1 zcosz z 0 dz 10 cos1 sin1 注 因输入法问题 故特设定 z的共轭负数为 z 除号为 1 7 设 f z 1 z 2 z z z z z 0 当 z 0 时 极限不存在 解法一 首先假设 z r e i 则有 z z z z r 2 e 2 i e2 i r2 2isin2 可见是随 发生变化而变化的变量 所以根据极限必须为常数可知 当 z 0 时 极限不存在 是以此题得证 解法二 首先假设 z x iy 则 z z z z z 2 z 2 x2 y 2 4ixy x 2 y 2 所以可见 当 z 0 时 即当 x 0 y 0 时 因为有 lim x 0 y 0 xy x2 y 2 极限不存在 所以当 z 0 时 f z 1 z 2 z z z z 的极限不存在 是以此题得证 2 1 利用导数定义推出 1 z n nzn 1 n为正整数 解 0lim zz n li zzccc nnnnn 21 nz c z c 0lim z1 n2 n n1 z nz 1 n 2 1 2 1 1 2 lim 0 1 1 0 1 1 2 2 f x 2x3 3y3i 解 u 2x 3 v 3y 3 26xu 0y xv29y 上述 4个偏导处处连续 但仅当 2x2 3y2时 C R方程成立 因而函数 只在直线 0上可导 但是在复平面上不解析 x2y3 习题2 2 2的第一小题 下列函数在何处可导 何处解析 iyxzf 2 解 xvyuyvxuyvxv yuxxuyvxuiyzf 100222 在 z 平面上处处连续 且当且仅当 2x 1 时 u v 才满足C R 条件 故 f z u i v x i y 仅在 直线 2 1 x 上可导 在z 平面上处处不解析 7 6 2 求下列函数的傅里叶变换 f t costsint 解 F 12 2 12 12 2 2 14 2 2 14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 以下函数何处可导 何处解析 f z sinxchy icosxshy 解 u sinxchy v cosxshy xchyuos xchyvos xshyuin xshyvin 可得 yvxu xvyu 并且上述四个一阶偏导数均连续 所以 f z 在复平面内处处 可导 从而在复平面内处处解析 25页 习题二 2 3指出函数的解析性区域并求其导数 1 z 1 5 解 由题可知 z 1 5 处处解析 其导数 f z 5 z 1 4 25页 习题二 2 3指出函数的解析性区域并求其导数 2 iz3 解 设 f2 iyxz 则 xxyyx 233 32 令 vu32 则 6 2 xyuy 236yxvy 又令 xv xyu 即 2233 6 xy 所以 在复平面内处处解析 即 在复平面内处处解析 其导 zf iz23 数为 i23 题 指出下列函数的解析性区域 并求其导数 解 令 得 和 所以该函数除 和 外在复平面上处处解析 该函数的导数为 25页 习题二 2 3指出下列函数的解析性区域 并求其倒数 4 c d中至少有一个不为 0 解 当 c 0时 函数在复平面处处解析 的倒数为 当 c 0 时 函数除 z 外在复平面处处可导 处处解析 的倒数为 2 2 第二章 2 4求下列函数的奇点 1 1 2 1 解 因为 当 z 0 2 1 所以 z 0 1 2 由 Z 1 计 m 1 cos i sin Z cos i sin n 0 1 2 2 2 2 当 n 0时 z i 当 n 1时 z i 所以本题奇点分别为 0 i i 2 4 求下列函数的奇点 2 1 2 z 解 令原函数分母 10 1 2izz 即 原函数在 处不解析 i 故原函数的奇点为 2 10求 Ln i Ln 3 4i 和他们的主值 解 Ln i Ln i i arg i 2k i 2k 2 i 2k k 0 1 2 12 ln i ln i i arg i 2 Ln 3 4i ln 3 4i i arg 3 4i 2k ln5 i arctan 2k 43 ln5 i arctan 2k 1 k 0 1 2 43 ln 3 4i ln 3 4i i arg 3 4i ln5 i arctan 43 习题 2 12 21 ie2 ie 2sin co ie 4 i 4 i 4i 2i 2e i1 i33Ln 3liArgi ke2 3ln 3lnsilco2ek i ie1 iiArglmi 1 412 1 l kii 412 ke 2nsilco 习题三 46页 3 1沿下列路线计算积分 3 0 2 1 自原点至 3 i 的直线段 解 此直线的参数方程可写成 x 3t y t 0 t 1 或 z 3t it 0 t 1 z 3t it 3 i 于是 3 0 2 1 0 3 3 2 13 3 3 33222 19191 iidzzdccc 3313310 iiiy书 46页3 1沿下列路线计算积分 dzi 302 2 自原点沿实轴至 再由 铅直向上至 3i 解 设 原点到 iyxz 1c3 xy 9310302222 111 xdididccc到 到3 2 i 0 3 yx dyiiydiidixdzcc 210210222 3 2 试用积分 的值 其中 C为正向圆周 cdz 2 z 解 正向圆周 的参数方程为 2 0 2 tezit 由公式得 idtidtiedzititc 422020 复变函数期中作业 习题三 3 4 沿指定曲线的正向计算下列各积分 1 2 2 1 解 由柯西积分公式得 2 2 2 2 2 3 4 4 C z 2 3 解 因为 C z 2 被积函数奇点 z 3 所以 f z 在 D内解析 3 所以 0 3 习题三 3 4 8 dz C z 1 5 解 取 0在 C内 f z 在 C内解析 0 所以 原式 f z dz z i 5 2 4 4 2 4 4 0 12 习题三 3 4 5 dz C 为包围 Z 0的闭曲线 3cos 解 因为 解析函数 也为解析函数 两个解析函数相乘的 3 cos 积还是解析函数 所以由柯西积分定理得 dz 0 3cos c z 4 12 zdc 23 该区域内 z i 为奇点 则 c ccccc dzzizidzzdzzd 41 1 6 41 31 41 3 4 1 222222 的奇点不在 z 的范围内 c2 则 0 cdz412 原式 cc iidziiz 0 2 6 1 6