二元一次方程组应用题大全

知识点 二元一次方程组的概念及解法 代入法和加减法 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤 1 审题 搞清已知量和待求量 分析数量关系 审题 寻找等量关系 2 考虑如何根据等量关系设元 列出方程组 设未知数 列方程组 3 列出方程组并求解 得到答案 解方程组 4 检查和反思解题过程 检验答案的正确性以及是否符合题意 检验 答 例 今有鸡兔同笼 数头 35 个 数腿 94 条 问鸡 兔各有多少只 分析 两个相等关系 鸡头 兔头 总头数 鸡腿 兔腿 总腿数 解析 设鸡有 只 兔有 只 xy 由题意可列方程组 解得 3594 xy 答 鸡有 只 兔有 只 相似题 鸡兔同笼问题 1 1 野鸡和兔子共有 39 只 它们的腿共有 100 条 求野鸡和兔子各有多少只 2 已知板凳和木马共有 33 个 腿共有 101 条 板凳和木马各有多少个 注 板凳 4 条腿 木马 3 条腿 3 某文艺团体为 希望工程 募捐组织了一场义演 其中成人票每张 8 元 学生票每张 5 元 共售出 1000 张票 共筹得票款 6950 元 问成人票与学生票各售出多少张 分析 两个相等关系 4 某校买了甲 乙两种型号的彩电共 7 台 花去人民币 15900 元 已知这两种型号的彩电的价格分别 是 3000 元和 1300 元 问该校两种彩电各买了多少台 鸡兔同笼问题 2 1 某校 150 名学生参加数学考试 平均每人 55 分 其中及格的学生人均 77 分 不及格的学生人均 47 分 及格 不及格的学生各有多少人 2 一队敌军一队狗 两队并成一队走 脑袋共有八十个 数腿却有二百条 请君仔细算一算 多少敌 军多少狗 3 现有大人 幼儿共 100 人 大人一餐吃 4 个面包 幼儿 4 人一餐吃一个面包 一餐刚好吃光 100 个 面包 问大人 幼儿各有几人 分配问题 1 例 栖树一群鸦 鸦树不知数 三只坐一棵 五只没去处 五只栖一棵 闲了一棵树 请你列式算 鸦树各几何 分析 两个等量关系 树的棵数 5 乌鸦的只数 树的棵数 1 乌鸦的只数 3 5 解 设乌鸦有 只 树有 棵 xy 由题意可列方程组 解得 x xy 答 乌鸦有 只 树有 棵 1 某单位召开会议 安排参加会议人员住宿 若每间宿舍住 12 人 便有 34 人没有住处 若每间住 14 人便多处 4 间宿舍没人住 求参加会议的人数和宿舍数 分析 两个相等关系 2 将若干只鸡放入若干个笼子中 若每个笼子放 4 只 则有 1 只鸡无笼可放 若每个笼子放 5 只鸡 则有 1 笼无鸡可放 试问有多少只鸡 多少个笼子 3 用一根绳子测水泥柱一周的尺寸 若绳子绕水泥柱 4 周 则绳子还多 3 尺 若绳子绕水泥柱 5 周 则绳子还少 2 尺 求绳子及水泥柱一周的长度 分配问题 2 1 一组学生用一条绳子测一块的长 量 12 次 还余 80 m 没有量 量 14 次 超出地段 20 m 求绳长 和地段长 2 在一条马路旁种树 每隔 3 米种一棵 到头还剩 3 棵树 每隔 2 5 米种一棵 到头还缺 77 棵树 问马路有多长 树有多少棵 3 有人在林中散步 听到几个强盗在商量怎样分抢来布匹 一名强盗说 没人分 6 匹 但剩下 5 匹 另一名强盗说 每人分 7 匹 可又少 8 匹 问有几个强盗几匹布 4 现有一批物资运往三峡工地 由铁路装运 如果每节车皮装 50 吨 则还缺 2 节车皮才能把全部物 资运走 如果每节车皮多装 5 吨 则还可再装 200 吨其它物资 问原有多少物资 共有多少节车皮 调配问题 例 甲乙隔河放牧羊 两人相互问数量 甲说得乙羊九只 我羊是你羊二倍 乙说得甲羊八只 两 人羊数正相当 请你帮忙算一算 甲乙各放多少羊 分析 两个等量关系 1 甲羊数 9 2 乙羊数 9 2 乙羊数 8 甲羊数 8 解 设甲放羊 只 乙放羊 只 xy 由题意可列方程组 解得 928x xy 答 甲放羊 只 乙放羊 只 1 甲 乙两盒中各放着一些球 一共有 9 个 如果从甲盒中拿出 5 个放入乙盒 乙盒的球数是甲盒的 2 倍 问甲 乙两盒中原来各放着多少个球 2 某工厂第一车间人数比第二车间人数的 少 30 人 若从第二车间调 10 人到第一车间 则第一车45 间的人数是第二车间人数 求各车间的人数 34 3 有一大群羊 其中一部分已上山 另一部分还在山下 如果山下的羊中有 3 只上了山 则山下的羊 是整个羊群的 如果从山上下来 3 只羊 则山上 山下的羊就一样多了 问原来山上 山下各有羊1 多少只 配套问题 例 某车间有 28 名工人 加工生产一种螺栓和螺母 每人每天生产螺栓 12 个或螺母 18 个 应分配 多少人生产螺栓 多少人生产螺母 才能使生产的螺栓和螺母刚好配套 1 个螺栓要配 2 个螺母 分析 两个等量关系 1 加工螺栓的人数 加工螺母的人数 28 2 螺母数 2 倍的螺栓 数 解 设加工螺栓的有 人 生产螺母的有 人 xy 由题意可列方程组 解得 xy 答 加工螺栓的有 人 生产螺母的有 人 1 一个工人一天能生产 100 值螺栓或 150 只螺帽 一只螺栓要与 2 只螺帽配套 若有工人 42 名 问 怎样分配 才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套 2 八年级 A 班同学 50 人 为参加学校举办的迎国庆文艺活动 做一批道具 每人每天平均做花 18 朵 面具 16 个 如果一个面具配两朵花 应分配多少学生做面具 多少学生做花 才能使面具和花刚 好配套 3 某车间有 62 名工人 生产甲 乙两种零件 每人每天平均能生产甲零件 12 个或乙零件 23 个 应 分配多少人生产甲零件 多少人生产乙零件 才能使每天生产的甲零件和乙零件刚好配套 每 3 个 甲零件和 2 个乙零件配成一套 年龄问题 例 学生问老师 您今年多大 老师风趣地说 我像你这样大时 你才满周岁 你到我这样 大时 我已经 37 岁了 老师和学生的年龄各是多少 分析 两个等量关系 1 老师的年龄 两人的年龄差 1 2 学生的年龄 两人的年龄差 37 解 设老师的年龄为 岁 学生的年龄为 岁 xy 由题意可列方程组 解得 xy 答 老师的年龄为 岁 学生的年龄为 岁 1 甲对乙说 当我的岁数是你现在的岁数时 你才 4 岁 乙对甲说 当我的岁数是你现在的岁 数时 你将 61 岁 问甲 乙各多少岁 2 10 年前 小兰妈妈的年龄是小兰年龄的 3 倍 10 年后 妈妈的年龄是小兰年龄的 2 倍 问小兰和 妈妈现在的年龄各是多少岁 3 已知仙鹤和乌龟是动物中的长寿星 一天鹤父 鹤女与龟祖 龟孙在聊天 它们发现鹤父的年龄是 鹤女的 2 倍 龟祖的年龄是龟孙的 5 倍 它们四位的年龄和的 3 倍恰好是 900 岁 十年后 鹤父和鹤 女之和的 5 倍 加上龟祖 龟孙的年龄也是 900 岁 试求它们分别是多少岁 销售问题 1 例 某书店向学校推销甲 乙两种素质教育用书 如果原价买这两种书共需 1760 元 书店推销时甲 种书打了 8 折 乙种书打了 7 5 折 结果两种书共少要了 400 元 问甲 乙两种书原价各需多少钱 分析 两个等量关系 1 甲种书原价 乙种书原价 1760 2 甲种书折后价 乙种书折后价 1760 400 解 设甲种书原价为 元 乙种书原价为 元 xy 由题意可列出方程组 解得 1760 4 xy 答 甲种书原价为 元 乙种书原价为 元 1 新华书店向某校推销甲 乙两种科普书 如以原价买这两种书共需 880 元 甲种书书店按 8 折销售 乙种书书店按 7 5 折销售 结果这两种书共少要了 200 元 问原来买这两种书各需要多少元 2 五一 黄金周 人民商场女装部推出 全部服装八折 男装部推出 全部服装八五折 的优惠 活动 某顾客买了一套女装和一套男装 优惠前需付 700 元 而她实际付款 580 元 问男装 女装原 价各是多少元 3 某商场搞优惠促销 决定由顾客抽奖确定折扣 某顾客购买甲 乙两种商品 分别抽到七折和九折 共付款 386 元 这两种商品原销售价之和为 500 元 问这两种商品的原销售价分别为多少元 销售问题 2 例 甲 乙两件服装的成本共 500 元 老板为获取利润 决定将甲服装按 50 的利润定价 乙服装 按 40 的利润定价 在销售时 应顾客要求 两件服装均按 9 折出售 这样商店共获利 157 元 求甲 乙两件服装的成本各是多少元 分析 两个变量关系 1 甲服装的成本 乙服装的成本 500 2 甲服装的售价 乙服装的售价 500 157 解 设甲服装的成本为 元 乙服装的成本为 元 xy 由题意可列方程组 解得 50 157 xy 答 甲服装的成本为 元 乙服装的成本为 元 1 华联商场购进甲 乙两种商品后 甲商品加价 50 乙商品加价 40 作为标价 后适逢元旦商场 搞促销活动 甲商品打八折销售 乙商品打八五折销售 某顾客购买甲 乙商品各一件 共付款 538 元 已知商场共盈利 88 元 求甲 乙两种商品的进价 2 某商场购进甲 乙两种服装后 都加价 40 标价出售 春节 期间商场搞优惠促销 决定将甲 乙两种服装分别把标价的八折和九折出售 某顾客购买甲 乙两种服装共付 182 元 两种服装的标价 之和为 210 元 求这两种服装的进价和标价各是多少元 3 某商场欲购甲 乙两种商品共 50 件 甲种商品每件进价为 35 元 利润率为 20 乙种商品进价 为 20 元 利润率为 15 共获利 278 元 问甲 乙两种商品各购进多少件 增长率问题 1 销售利润 总产值 总支出 10 总 产 值 总 支 出销 售 利 润 率 总 产 值 例 某工厂去年的利润为 200 万 今年总产值比去年增加了 20 总支出比去年减少了 10 今年 的利润为 780 万元 去年的总产值 总支出各是多少万元 解 设去年的总产值为 万元 总支出 万元 则有xy 根据上表可列方程组 解得 xy 答 去年的总产值为 万元 总支出 万元 1 某企业去年的总收入比总支出多 500 万元 今年的总收入比去年增加 10 总支出节约 15 因 此总收入比总支出多 800 万元 求去年的总收入和总支出 2 某工厂第一季度生产甲 乙两种机器共 480 台 改进生产技术后 计划第二季度生产两种机器共 544 台 其中甲种机器产量要比第一季度增产 10 乙种机器产量要比第一季度增产 20 该厂第一 季度生产甲 乙两种机器各多少台 3 革命老区百色的某个芒果种植基地 去年结余为 500 万元 估计今年可结余 960 万元 并且今年的 收入比去年高 15 支出比去年低 10 求去年的收入和支出各是多少万元 增长率问题 2 1 某校计划向灾区捐赠图书 3500 册 实际共捐了 4125 册 其中初中生比原计划多捐了 20 高中 生捐了原计划的 115 问该校初 高中生实际各捐赠图书多少册 解 设初中生实际捐了 册 高中生实际捐了 册 则有xy 根据上表可列方程组 解得 xy 答 设初中生实际捐了 册 高中生实际捐了 册 2 某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元 而今年计划的总产值比总支出多 950 万元 已知今年计 划总产值比去年增加 15 而计划总支出比去年减少 10 求今年计划的总产值和总支出各为多少元 储蓄问题 例 小明以两种方式储蓄了压岁钱 2000 元 其中一种是年利率为 2 25 的教育储蓄 另一种是年利 率为 3 06 的一年期定期存款 一年后共得利息 45 99 元 求这两种储蓄各存了多少钱 分析 两个等量关系 1 两种储蓄共有 2000 元 2 教育储蓄的利息 定期存款的税后利息 42 75 元 初 中 生 捐 书 册 高 中 生 捐 书 册 共 捐 书 册 实 际 捐 书 5125 计 划 捐 书 350 解 设存一年教育储蓄的钱为 元 存一年定期存款的钱为 元 xy 由题意可列方程组 解得 20 53 612045 9y A x 答 存一年教育储蓄的钱为 元 存一年定期存款的钱为 元 1 某储户存入银行甲 乙两种利息的存款 共计 2 万元 甲种存款的年利率是 3 乙种存款的年利 率是 1 5 不计利息税 该储户一年共得利息 525 元 求甲 乙两种存款各是多少万元 2 小明以两种方式共储蓄了 3000 元教育储蓄 一种的年利率为 2 25 另一种的年利率为 3 06 一年后本息和为 3079 65 元 求每种存款各为多少元 3 王凯以两种方式分别储蓄了 2000 元和 1000 元 一年后全部取出 扣除利息税后 可得利息 43 9 元 已知这两种储蓄年利率的和为 3 24 问这两种储蓄的年利率各是百分之几 数字问题 1 例 一个两位数 十位上的数字比个位上的数字小 1 十位与个位上的数字之和是这个两位数的 15 求这个两位数 分析 两个等量关系 1 十位数字 个位数字 1 2 十位数字 个位数字 这个两位数的 5 解 设十位数字为 个位数字为 xy 由题意可列方程组 解得 105yx xy 答 这个两位数为 1 一个两位数 十位上的数字是个位上的数字的 3 倍 将个位上的数字与十位上的数字对调后所得的 两位数比原来的两位数小 18 求这个两位数 2 有一个两位数 个位上的数比十位上的数大 5 如果把两个数字的位置对换 那么所得的新数与原 数的和是 143 求这个两位数 3 一个两位数的十位数字与个位数字的和为 7 如果这个两位数加 45 那么恰好成为个位数字与十位 数字对调后所成的两位数 求这个两位数 4 有一个两位数 其值等于十位数字与个位数字之和的 4 倍 其十位数字比个位数字小 2 求这个两 位数 数字问题 2 例 两个两位数的和是 68 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数 得到一个四位数 在较大 的两位数的左边写上较小的两位数 也得到一个四位数 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178 求这两个两位数 分析 设较大的两位数为 较小的两位数为 xy 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数 得到一个四位可表示为 在较大的两位数的左边写上较小的两位数 得到一个四位数可表示为 解 设较大的两位数为 较小的两位数为 由题意可列方程组 解得 xy 答 较大的两位数为 较小的两位数为 1 两个两位数的和是 85 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数 得到一个四位数 在较大的 两位数的左边写上较小的两位数 也得到一个四位数 已知前一个四位数比后一个四位数大 1287 求 这两个两位数 2 一个三位数和一个两位数的差为 225 在三位数的左边写这个两位数 得到一个五位数 在三位数 的右边写上这个两位数 也得到一个五位数 已知前面的五位数比后面的五位数大 225 求这个三位 数和两位数 3 有一个三位数 现将最左边的数字移到最右边 则比原来的数小 45 又已知百位数字的 9 倍比由 十位数字和个位数字组成的两位数小 3 试求原来的三位数 相遇问题 我们经常会遇到 甲 乙相向而行 途中相遇的行程问题 这类应用题中存在下面的等量关系 例 甲 乙两人分别从 A B 两地相向而行 甲的速度是乙的速度的 2 倍 如果 A B 两地相距 90 千米 同时出发经过 2 小时两人相遇 求甲 乙两人的速度 分析 两个等量关系 1 甲的速度 2 乙的速度 2 甲走的路程 乙走的路程 90 千米 解 设甲的速度为 千米 小时 乙的速度为 千米 小时xy 由题意可列方程组 解得 xy 答 甲的速度为 千米 小时 乙的速度为 千米 小时 1 甲 乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步 甲的速度是 6 米 秒 乙的速度是 4 米 秒 两人同 时同地反向跑步 经过 后两人第一次相遇 2 甲的速度是 5 km h 乙的速度是 6 km h 甲 乙两人同时出发相向而行 7 h 后相遇 则两地的距 离为 km 3 甲 乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行 2 小时后相遇 若甲比乙每小时多骑 2 5 千米 求甲 乙两人的速度 4 A B 两城相距 720 km 普快列车从 A 城出发 120 km 后 特快列车从 B 城开往 A 城 6 h 后两车 相遇 若普快列车的速度是特快列车速度的 求普快列车和特快列车的速度 3 追击问题 我们还会遇到另一类行程应用题 即同时不同地的追击问题 这类问题存在下面的等量关系 两两两两两两两两两两两两两两两 两两两 两两两两两两两两两两 BA 两两两两两两 两两两两两两两 两两两两两两两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两 例 甲 乙两人相距 8 km 二人同时出发 同向而行 甲 2 5 h 可追上乙 相向而行 1 h 相遇 二 人的速度各是多少 分析 两个等量关系 1 同向而行时 甲走的路程 乙走的路程 8 km 2 相向而行时 甲走的路程 乙走的路程 8 km 解 设甲的速度为 km h 乙的速度为 km h xy 由题意可列方程组 解得 xy 答 甲的速度为 km h 乙的速度为 km h 1 小明每秒跑 6 米 小彬每秒跑 5 米 小彬站在小明前 10 米处 两人同时起跑 小明 秒能 追上小彬 2 甲以 5 千米 小时的速度先走 16 分钟 乙以 13 千米 小时的速度追甲 则乙追到甲需要 小 时 3 甲 乙两人同时同地同向出发沿 400 米的环形跑道跑步 当甲第二次追上乙时 甲跑的路程比乙跑 的路程多 米 4 甲 乙两人在一条长 400 m 的环形跑道上跑步 若同向跑步 则每隔 200 s 相遇一次 若反向跑步 则每隔 40 s 相遇一次 已知甲比乙跑得快 求甲 乙两人的速度 5 甲 乙两人同时绕 400 米的环形跑道行走 如果他们同时从同一起点背向而行 2 5 分钟相遇 如 果他们同时从同一起点同向而行 12 5 分钟甲能追上乙 求甲 乙每分钟各走多少米 航行问题 顺水速度 静水速度 水速 逆水速度 静水速度 水速 例 两地相距 280 km 一艘轮船在其间航行 顺流用了 14 h 逆流用了 20 h 求船在静水中的速度 和水流的速度 分析 两个等量关系 1 顺水速度 顺流用的时间 280 km 2 逆流速度 逆流用的时间 280 km 解 设船在静水中的速度为 km h 水流速度为 km h xy 由题意可列方程组 解得 xy 答 船在静水中的速度为 km h 水流速度为 km h 1 一艘船航行于甲 乙两地之间 顺水需 3 h 逆水要比顺水多走 h 若水流速度为 km h 求船122 在静水中的速度和甲 乙两地间的路程 2 一艘船航行于 A B 两个码头之间 顺水航行需要 3 小时 逆水航行需要 5 小时 已知水流速度是 4 千米 小时 求这两个码头间的距离和船在静水中的速度 3 轮船顺水行驶 36 千米 用了 3 小时 逆水行 24 千米 也用了 3 小时 求船在静水中的速度和水流 的速度