单因素方差分析的计算步骤

一 单因素方差分析的计算步骤 假定实验或观察中只有一个因素 因子 且 有 个水平 分别记为 在Am 21mA 每一种水平下 做 次实验 在每一次试验后可得一实验值 记做 表示在第 j 个水平下n ijx 的第 i 个试验值 结果如下表 3 1 ji 21 表 3 1 单因素方差分析数据结构表 水平观测值 1A2A mA 1 x1x x1 2 22 m2 n1nx2nx nx 为了考察因素 对实验结果是否有显著性影响 我们把因素 的 个水平 看AAmmA 21 成是 个正态总体 而 看成是取自第 总体的第 个样品 m jnixj 21 ji 因此 可设 aNjij 2 可以认为 是因素 的第 个水平 所引起的差异 因此检验因素jj Ajj 的各水平之间是否有显著的差异 就相当于检验 A 或者maaH 210 0 具体的分析检验步骤是 一 计算水平均值 令 表示第 种水平的样本均值 jxj j nijjxj 1 式中 是第 种水平下的第 个观察值 表示第 种水平的观察值次数ijxijnj 二 计算离差平方和 在单因素方差分析中 离差平方和有三个 它们分别是总离差平方和 组内离差平 方和以及组间平方和 首先 总离差平方和 用 代表 则 ST2 xij 其中 它反映了离差平方和的总体情况 nxij 其次 组内离差平方和 用 表示 其计算公式为 SE jijjxSE2 其中 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况 即反映了随机因素带来的影响 jx 最后 组间平方和 用 表示 的计算公式为 SA 22 xnxSAjj 用各组均值减去总均值的离差的平方 乘以各组观察值个数 然后加总 即得到 可以看出 它所表现的是组间差异 其中既包括随机因素 也包括系统因素 根据证明 之间存在着一定的联系 这种联系表现在 SAET 因为 22 xxxjjijij xjijjjij 2 在各组同为正态分布 等方差的条件下 等式右边最后一项为零 故有 222 xxxjjijij 即 SAEST 三 计算平均平方 用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方 对 来说 其自由度为 ST1 n 因为它只有一个约束条件 即 对 来说 其自由度是 0 xij Am 这里 表示水平的个数 反映的是组间的差异 它也有一个约束条件 即要求 mSA nj 对 来说 其自由度为 因为对每一种水平而言 其观察值个数为 该水SEm jn 平下的自由度为 总共有 个水平 因此拥有自由度的个数为 1jn mj 1 与离差平方和一样 之间的自由度也存在着关系 即SEAT m 这样对 其平均平方 为 SAM1M 对于 平均平方 为 ESEmnS 四 方差分析表 由 F 分布知 F 值的计算公式为 MSEA 组 内 方 差组 间 方 差 为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚 通常把有关计算结果列成方差分析表如 下表 3 2 表 3 2 方差分析表 方差来源 离差平方和 S自由度 df 平均平方 MS 值F 组间 组内 总差异 AET1 mnAESEA 五 作出统计判断 对于给定的显著性水平 由 分布表查出自由度为 的临界值 如 F 1 mn F 果 则拒绝原假设 说明因素对指标起显著影响 如果 则接受原假 F 设 说明因素的不同水平对试验结果影响不显著