勾股定理及其逆定理的应用常见题型

勾股定理及其逆定理的应用常见题型 利用勾股定理求线段长 1 如图 在等腰直角三角形 ABC 中 ABC 90 D 为 AC 边的中点 过 D 点作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 的长 注 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 利用勾股定理求面积 2 如图 长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠 设点 D 落在 D 处 BC 交 AD 于点 E AB 6 cm BC 8 cm 求阴影部分的面积 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 3 在 ABC 中 D 为 BC 的中点 AB 5 AD 6 AC 13 判断 ABD 的形状 利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题 4 中考 青岛 如图 圆柱形玻璃杯的高为 12 cm 底面周长为 18 cm 在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有 一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处 则蚂蚁到达蜂蜜的 最短距离为 利用勾股定理解决实际问题 65 如图 某港口位于东西方向的海岸线上 A B 两军舰同时离开港口 O 各自沿一固定方向 航行 A 舰每小时航行 32 n mile B 舰每小时航行 24 n mile 它们离开港口一个小时后 相距 40 n mile 已知 A 舰沿东北方向航行 则 B 舰沿哪个方向航行 第 6 题 几种常见的热门考点 勾股定理及其应用 1 直角三角形两直角边长分别为 6 和 8 则连接这两条直角边中点的线段长为 A 3 B 4 C 5 D 10 第 2 题 2 如图 长方形 ABCD 沿着直线 BD 折叠 使点 C 落在点 C 处 BC 交 AD 于点 E AD 8 AB 4 则 DE 的长为 3 如图 已知 C 90 BC 3 cm BD 12 cm AD 13 cm ABC 的面积是 6 cm2 求 1 AB 的长度 2 ABD 的面积 第 3 题 勾股定理的验证 4 如图 对任意符合条件的直角三角形 BAC 绕其锐角顶点逆时针旋转 90 得 DAE 所以 BAE 90 且四边形 ACFD 是一个正方形 它的面积和四边形 ABFE 的面积相等 而四边形 ABFE 的面积等于 Rt BAE 和 Rt BFE 的面积之和 根据图形写出一种证明勾股定理的方法 第 4 题 直角三角形的判别 5 在 ABC 中 AB 12 cm AC 9 cm BC 15 cm 下列关系式成立的是 A B C A B B C A C B C A D 以上都不对 6 已知 x 12 z 13 和 y 5 2 互为相反数 则以 x y z 为边长的三角形为 三角 形 7 在 4 4 的正方形网格中 每个小正方形的边长都是 1 线段 AB EA 分别是图中 1 3 的两 个长方形的对角线 请你说明 AB EA 利用勾股定理求最短距离 8 如图 圆柱形无盖玻璃容器高 18 cm 底面周长为 60 cm 在外侧距下底 1 cm 的点 C 处有一 蜘蛛 与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口 1 cm 的 F 处有一苍蝇 试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛 所走的最短路线的长度 利用勾股定理解决实际问题 9 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 鸟儿捕鱼 的问题 小溪边长着两棵棕榈 恰好 隔岸相望 一棵树高是 30 肘尺 肘尺是古代的长度单位 另外一棵高 20 肘尺 两棵棕榈树的树干 间的距离是 50 肘尺 每棵树的树顶上都停着一只鸟 忽然 两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出 一条鱼 它们立刻以相同的速度飞去抓鱼 并且同时到达目标 问这条鱼出现的地方离比较高的棕 榈树的树根有多远 思想方法 a 方程思想 10 如图 四边形 ABCD 是长方形 把 ACD 沿 AC 折叠得到 ACD AD 与 BC 交于点 E 若 AD 4 DC 3 求 BE 的长 b 分类讨论思想 11 在 ABC 中 若 AB 20 AC 15 AD 是 BC 边上的高 AD 12 试求 ABC 的面 积 c 转化思想 12 如图 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 AE CF 若 BE 14 CF 2 求线段 DF 的长 注 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第 12 题