第二章-导数与微分教案

第二章导数与微分知识点： 教学目的要求：（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。（2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。（3）理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。教学重点：1导数的概念2导数的几何意义3导数的基本公式4四则运算求导法则5复合函数求导法则6隐函数的求导法则7一阶微分的形式不变性教学难点：1导数的概念2复合函数的求导法则3隐函数的求导法则4微分的形式不变性第一节导数的概念【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。【教学重点】1导数的定义；2用导数的定义求函数在某点的导数；3导数的几何意义。【教学难点】1导数的定义；2函数可导与连续的关系。【教学时数】2学时【教学进程】一、两个引例引例1 自由落体运动的瞬时速度。提问：1自由落体运动的位移公式；2自由落体运动的瞬时速度公式；3自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）。 由学生回答可知自由落体运动的位移公式为，由于物体的位移是随时间连续变化的，因此在很短的时间间隔内（从到）内，速度变化不大，可以用平均速度作为时的瞬时速度的近似值，即=显然，越小，与越接近，当无限变小时，平均速度就无限接近时的瞬时速度由此，令，如果平均速度的极限存在，就把它定义为物体在时刻的瞬时速度，即=总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得：引例2 平面曲线的切线斜率 提问：1什么叫做圆的切线？2一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论）定义 设点是曲线上的一个定点，在曲线上另取一点，作割线，当动点沿曲线向点移动时，割线绕点旋转，设其极限位置为，则直线称为曲线在点的切线如右图所示设曲线的方程是，记点的横坐标为，点的横坐标为（可正可负），平行轴，设的倾角为，则的斜率为显然当点沿曲线无限趋近于点时（这时，也趋近于的倾角，这时切线的斜率综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。二、导数的定义1导数的定义。定义 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处有增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数有增量如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数记作，也可记作， 或 即=这时就称函数在点的导数存在，或称函数在点可导；如果极限不存在，则称函数在点不可导。2由导数的定义求函数的导数。设函数，求该函数在处的导数的步骤：l 在处给定l 求增量l 算比值 l 取极限例1 已知函数，求。解 在处给定（1）求增量（2）算比值（3）取极限因此，=23几点说明。1）函数在点处的导数也称为函数在点处对自变量的变化率。2）当极限与存在时，分别称它们为的左导数与右导数，记为与。且存在当且仅当与都存在且相等。（利用极限存在的充要条件理解）3）函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即=。（通过例1中改变值的改变进行说明）4）如果函数在，内每一点处可导，则称函数在区间，内可导显然导数值也是的函数，我们称它为函数的导函数，今后在不会发生混淆的情况下，也简称导数记作，或，即=讨论：函数的导数是什么？（结论：）思考：函数的导数是什么？（结论：）拓展：函数的导数是什么？（结论：）如，等。5）如果函数在，内可导，且在点右导数存在，在点右导数存在，则称函数在闭区间，上可导。三、导数的几何意义由引例2的分析可知导数的几何意义为：函数在点的导数 表示曲线在点，的切线的斜率。因此有l 当函数在点处可导时，曲线在点，的切线方程为l 曲线在点，的法线方程为l 如果在点连续且导数为无穷大，则曲线在点，的切线方程为；法线方程为例2 求曲线在点(1，1)处的切线和法线方程。解 因为，所以于是曲线在点(1，1)处的切线方程为即曲线在点(1，1)处的法线方程为即四、可导与连续的关系定理如果函数在点处可导，则在点处必连续注：如果函数在点处连续，在点处未必可导。*例3 证明函数|在点连续，但不可导。证明在处，|-|，因此|=0所以函数 |在点连续。又xyo而因此 不存在，所以函数|在点不可导。注：出现尖点不可导。 本堂课小结：主要内容：两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。重点：1导数的定义；2用导数的定义求函数在某点的导数；3导数的几何意义。难点：1导数的定义；2函数可导与连续的关系。第二节 导数的基本公式与运算法则【教学内容】导数的基本公式；四则运算求导法则；求导法则应用举例。【教学目的】使学生熟记与理解导数的基本公式与四则运算求导法则并能熟练应用。【教学重点】1导数的基本公式；2四则运算求导法则。 【教学难点】公式的应用。 【教学时数】2学时【教学进程】 一、导数的基本公式提问：1导数可以由哪一个极限式子表示？ 2根据导数的定义求函数的导数有哪几步？ 3导函数与函数在某点导数之间有什么关系？例1 求函数且的导数。解 由此得到特别1罗列导数基本公式。 （为任意常数）； （为实数）；，特别：；，特别：； ； ； ； ； 。注：要求学生默记约5分钟。2分析部分基本公式特征。课堂练习：在下列空格处填上适当的函数使等式成立：1）= ； （答案：0）2）= ； （答案：）3）= ； （答案：0）4）= ； （答案：）5）= ； （答案：0）6）= ； （答案：）7）= 。 （答案：）二、导数的四则运算法则定理 设函数与在点处可导，则它们的和（差）函数在处也可导，且也就是说：两个可导函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和。推广 有限个可导函数代数和的导数等于和个函数导数的代数和，即例2 已知，求。解 例3 已知，求及。解 定理 设函数与在点处可导，则它们的积函数在处也可导，且。此结论也可以推广到有限个函数的积的情形如推广到三个函数乘积的情况为推论 （为常数）例4 已知，求。解 。例5 已知，求解 例6 已知，求。解 定理 设函数与在点处可导，且，则它们的商函数在处也可导，且推论 。例7 已知，求。解 例8 设，求。解 。即 例9 设，求。解 即 例10求的导数。解例11求的导数。解例12求的导数。解因为，所以例13求的导数。解因为，所以说明：四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达适当变形后再应用公式。课堂练习：1推导公式与。2求下列函数的导数： （答案：） （答案：） （答案：） （答案：） （答案：）本堂课小结：主要内容：导数的基本公式；四则运算的求导法则。重点：1导数的基本公式；2四则运算的求导法则及其应用。难点：1四则运算求法则的应用作业：第三节 复合函数与隐函数的求导法则【教学内容】复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；对数法求导。【教学目的】使学生掌握复合函数与隐函数的求导法则，会熟练地求复合函数与隐函数的导数，会用对数法求导。【教学重点】1复合函数的求导法则；2隐函数求导法则。【教学难点】1复合函数的求导法则；2隐函数求导法则。【教学时数】3学时【教学进程】一、复合函数的求导法则引入：引例1 设，求。解法一 =解法二 可看作是由与构成的复合函数。（通过提问写出复合函数的分解）因此引例2 设，求。解法一 解法二 可看作是由与构成的复合函数。（通过提问写出复合函数的分解）因此=分析：上面两个引例虽然所求导数的函数不同，但他们具有共同点。解法一是应用我们已学的四则运算求导法则，而解法二是通过复合函数分解以后进行求导，并且两个解法的结果是相同的，由此我们联想是否复合函数都可以用解法二的方法进行求导。我们的回答是肯定的，下面给出复合函数求导法则。定理设函数由与复合而成，如果函数在点处可导，函数在对应点处可导，则复合函数点处可导，且或 即：复合函数关于自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，该法则可以推广到有多个中间变量的情形例如：,均是可导函数，则复合函数可导，且例1 设，求。解 可看作是由与构成的复合函数。因此 例2 设，求。解 可看作是由与构成的复合函数。因此 注：如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数，如例2的另一种解法，以后复合函数求导我们常用下面的方法。另解 课堂练习：1 （答案：）2 （答案：）3 （答案：）4 （答案：）例3 求函数的导数。解 = 。例4 设，求。解 课堂练习： 1 （答案：） 2 （答案：） 3 （答案：）二、隐函数的导数1隐函数的概念。通过图象分析表达式与中与的对应关系，可以看出都是关于的相同函数，但表现的形式不同。把因变量写成自变量的显式表达式，这样的函数称作显函数。把一个由二元方程所确定的函数称为隐函数。2介绍隐函数的求导法则的原因l 不是任何隐函数都可以转化为显函数l 有些隐函数转化为显函数后求导反而更复杂l 有些显函数转化为隐函数后求导更简捷3隐函数的求导法则把由所确定的隐函数代入原方程，得到恒等式在等式两端对求导，把其中的看作中间变量，运用复合函数求导法，得到一个含的方程，解出，即为所求隐函数的导数。例5 求由方程所确定的隐函数的导数。解 对方程两端同时关于求导，得于是得例6 求由方程所确定的隐函数的导数。解 对方程两端同时关于求导，得于是得例7 求曲线在点处的切线方程。解 对方程两端同时关于求导，得于是得因而切线的斜率为所以切线方程为 即 课堂练习： 求下列隐函数的导数： 1 （答案：） 2 （答案：） 3 （答案：）三、取对数求导法由于有些显函数直接求导比较复杂甚至无法用显函数的求导方法，我们可以对其两边取对数转化为隐函数后再求导。为了求导方便一般采用自然对数。例8 设，求。解先对两端同时取自然对数，得两端同时对求导，得于是得例9 设，求。解 对两端取自然对数，得 两端同时对求导，得即 思考：具有什么特征的显函数用取对数法求导较方便？本堂课小结：主要内容：复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；对数法求导。重点：1复合函数的求导法则；2隐函数求导法则。难点：1复合函数的求导法则；2隐函数求导法则。作业：第四节高阶导数【教学内容】高阶导数的概念、表示符号及其求法。【教学目的】使学生理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的表示符号及其求法。【教学重点】高阶导数的求法。 【教学难点】1阶导数的求法；隐函数的高阶导数。【教学时数】0.5学时【教学进程】一、高阶导数的概念讨论：在变速直线运动中已知物体的位移函数，怎样求物体的加速度？经讨论后得出结论求加速度可以对求两次导数得到。象这样的问题在实际中会经常遇到，需要多次对一个函数求导数，我们把连续两次或两次以上对某一个函数求导数，所得的结果，称为这个函数的高阶导数。如果函数的导数仍是的可导函数，则称的导数为的二阶导数，记作：，或类似地，可以定义函数的三阶，四阶，阶导数，它们分别记作：，或 ，等等。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二、高阶导数的求法对函数求高阶导数，只需用前面学过的求导方法，对函数多次接连地求导，即得所求高阶导数。例1 设函数，求。解 ； 例2 设函数，求。解 ； ； ；所以，。例3 设，求(为正整数)解 ；由此推得，。*例4 设，求。解 ； ； ； 由此推得，*例5 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数。解 对方程两边同时求导，得于是得对上式的两端同时关于求导，得将代入，得因为，将代入，得。说明：求隐函数的二阶导数，只需要在用隐函数求导方法求出隐函数的一阶导数后，继续用隐函数求导方法对求导即可，此时需注意与都是的函数 本堂课小结：主要内容：高阶导数的概念、表示符号及其求法。重点：高阶导数的求法。难点：1阶导数的求法；隐函数的高阶导数。作业：第五节 函数的微分【教学内容】微分的概念；微分的几何意义；可导与可微的关系；微分的基本公式与运算法则；一阶函数微分的形式不变性。【教学目的】使学生理解函数微分的概念及其几何意义，了解函数可导与可微之间的关系，掌握微分的基本公式与运算法则，理解一阶函数微分的形式不变性。【教学重点】1微分的概念；2微分的基本公式与运算法则；3一阶函数微分的形式不变性。【教学难点】1微分的概念；2可导与可微的关系；3一阶函数微分的形式不变性。【教学时数】2学时【教学进程】一、微分的概念及其几何意义1微分的概念引例 一个正方形金属薄片受热膨胀，其边长由变到(如图所示)，面积相应地有一个改变量 分析：含有两项，第一项是的线性函数（图中斜线部分），第二项是当时比高阶的无穷小量因此，当很小时，面积的改变量可以近似地用来代替。一般地，对于函数，当自变量在有一个改变量时，函数相应的改变量为：如果可以表示成两部分：第一部分是的线性函数（与无关），第二部分是的高阶无穷小；当时，我们将函数增量的线性主部定义为函数的微分。定义 设函数在某区间内有定义，及均在这区间内，如果函数在点处的增量可以表示为其中与无关，是的高阶无穷小，则称函数在点处是可微的，称为函数在处的微分，记作，即=说明：1）如果在点处可微，则有，于是，所以即函数在点处可导，且,。2）在中，；因此对于任何，这个函数的微分是，所以函数的增量与微分相等，即=，因此，因而有，因此，导数我们也称之为微商。3）如果若函数在点处可导，则有根据极限与无穷小量的关系可知（其中是当的无穷小量），于是，因为，则有，因此函数在点处可微，且。由1）与3）可得以下定理。定理 如果函数在点处可微，则函数在点处可导，且；反之，如果若函数在点处可导，则在点处可微例1 求函数在处的微分解 由，得。4）由微分的概念可知（此关系是微分用于近似计算的根据）5）如果函数在某区间内每一点都可微，则称是该区间内的可微函数。函数在任意点的微分记为或即。例2 设函数，求、与。解 ；。例3 求函数的微分。解 2微分的几何意义在函数的图象上取两点与 (如右图所示)，并分别过点与点作平行与轴与轴的直线，它们相交于；从图中可以得到，；再过点作曲线的切线与交于，设的倾角为，则所以函数在点的微分的几何意义是曲线在点处切线纵坐标的改变量。 （讲授方法：边提问，边作图，边分析）二、微分的基本公式与运算法则根据函数的导数与微分之间的关系，我们可以得到微分的基本公式与运算法则1基本初等函数的微分公式（为常数）；（为实数）；，特别；，特别； ； ；*； *； ； 。2函数的微分的四则运算法则（1）；（2），特别(为常数)；（3）3复合函数的微分法则设函数与复合而成的函数为，则复合函数的微分为其实，因而有=说明：上式表示，不论是自变量还是中间变量，函数的微分形式总是，这个性质叫做一阶微分形式的不变性。例4 设，求。解 例5 设，求。解 例6 设，求。解 例7 设，求。解 例8 设，求。解 例9 设，求。解 例10 设，求。解 例11 求方程确定的隐函数的微分及导数。解 对方程两端求微分，得应用微分的运算法则，得化简，得于是，所求微分为所求导数为本堂课小结：主要内容：微分的概念；微分的几何意义；可导与可微的关系；微分的基本公式与运算法则；一阶函数微分的形式不变性。重点：1微分的概念；2微分的基本公式与运算法则；3一阶函数微分的形式不变性。难点：1微分的概念；2可导与可微的关系；3一阶函数微分的形式不变性。作业：第2章 导数与微分复习【教学内容】回顾第二章导数与微分的基本内容与基本的计算方法。【教学目的】使学生理解进一步掌握与理解本章的基本内容及其内在的逻辑关系，掌握函数求导与求微分的方法。【教学重点】1基本内容；2基本的求导与求微分方法。【教学难点】1知识点的内在关系；2复合函数求导方法。【教学时数】2学时【教学进程】一、知识要点1导数的概念及其几何意义（）定义： （）导数的几何意义：函数 在点处的导数等于函数所表示的曲线C在相应点处的切线斜率。2基本初等函数的求导公式导数的运算（）导数的四则运算法则：设可导，则nnn (是常数)n（）复合函数的求导法则：（）隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导.（）对数法求导：先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数函数微分的概念导数与微分的联系和区别 且微分的运算法则（）基本初等函数的微分公式（2）函数和、差、积、商的微分法则：（3）微分的基本法则：微分形式的不变性二、课堂练习（一）求下列函数的导数或微分：1），求。 2），求。 3），求。 4），求。 5），求。 6），求。 （二）如果在点处可导，求：1） 2） （三）以初速度上抛的物体，其上升的高度与时间的关系为，求：1）上升物体的速度； 2）经过多少时间，它的速度为零。1）；2）（四）曲线上哪一点的切线与轴平行？哪一点的切线与直线平行？；（五）求下列函数的导数：1），求。 2），求。 3），求。 本堂课小结：主要内容：回顾第二章导数与微分的基本内容与基本的计算方法。重点：1基本内容；2基本的求导与求微分方法。难点：1知识点的内在关系；2复合函数求导方法。