第二节-命题及其关系、充分条件与必要条件(有答案)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，则p与q互为充要条件(3)若p/ q，且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件1一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论2“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的1(2013福建高考)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当a3时，A1,3，AB；反之，当AB时，a2或3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y2” B“若xy，则x2y2”C“若xy，则x2y2” D“若xy，则x2y2”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”3(教材习题改编)命题“如果b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选D原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，则b24ac0”，为真命题，则它的否命题也为真4命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是B选项5下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b3解析：选A由ab1，且b1b，得ab；反之不成立.考点一四种命题的关系 例1(1)命题“若x1，则x0”的否命题是()A若x1，则x0 B若x1，则x0C若x1，则x0 D若x1，则x0(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数自主解答(1)因为“x1”的否定为“x1”，“x0”的否定为“x0”，所以命题“若x1，则x0”的否命题为：“若x1，则x0”(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”答案(1)C(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性解：逆命题：若xy是偶数，则x，y都是偶数是假命题否命题：若x，y不都是偶数，则xy不是偶数是假命题【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用1命题p：“若ab，则ab2 012且ab”的逆否命题是()A若ab2 012且ab，则abB若ab2 012且ab，则abC若ab2 012或ab，则abD若ab2 012或ab，则ab解析：选C“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若ab2 012或ab，则ab”2下列命题中为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：选AA中逆命题为“若x|y|，则xy”是真命题；B中否命题为“若x1，则x21”是假命题；C中否命题为“若x1，则x2x20”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题考点二命题的真假判断 例2(1)下列命题是真命题的是()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2(2)(2014济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是()A B C D自主解答(1)取x1排除B；取xy1排除C；取x2，y1排除D，故选A.(2)对于，由线面垂直的判定可知正确；对于，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故错误；对于，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故错误；对于，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故正确综上可知，选D.答案(1)A(2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假给出下列命题：函数ysin(xk)(kR)不可能是偶函数；已知数列an的前n项和Snan1(aR，a0)，则数列an一定是等比数列；若函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)f(x2)3，则f(x)是以4为周期的周期函数；过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交其中所有正确的命题有_(填正确命题的序号)解析：当k时，ysin(xk)就是偶函数，故错；当a1时，Sn0，则an的各项都为零，不是等比数列，故错；由f(x)f(x2)3，则f(x2)f(x4)3，相减得f(x)f(x4)0，即f(x)f(x4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，正确；过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错综上所述，正确的命题只有.答案：高频考点考点三充 要 条 件 1充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题2高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题例3(1)(2013北京高考)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|(3)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_自主解答(1)当时，ysin(2x)sin 2x，则曲线ysin 2x过坐标原点，所以“”“曲线ysin(2x)过坐标原点”；当2时，ysin(2x2)sin 2x，则曲线ysin 2x过坐标原点，所以“”/“曲线ysin(2x)过坐标原点”，所以“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分而不必要条件(2)，分别是与a，b同方向的单位向量，由，得a与b的方向相同而ab时，a与b的方向还可能相反故选C.(3)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不正确；对于，由题意得，若B60，则sin A，注意到ba，故A30，反之，当A30时，有sin B，由于ba，所以B60或B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.答案(1)A(2)C(3)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可1(2014西安模拟)如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，那么“xy”是“|xy|1成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若xy，则|xy|1；反之，若|xy|1，如取x1.1，y0.9，则xy，即“xy”是“|xy|1成立”的充分不必要条件2已知p：0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A(2，1B2，1 C3,1 D2，)解析：选A不等式1等价于10，解得x2或x0可以化为(x1)(xa)0，当a1时，解得x1或x1时，不等式(x1)(xa)0的解集是(，1)(a，)，此时a2，即2a1.综上可知a的取值范围为(2，13设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析：一元二次方程x24xn0的根为x2，因为x是整数，即2为整数，所以为整数，且n4，又因为nN*，取n1,2,3,4，验证可知n3,4符合题意，所以n3,4时可以推出一元二次方程x24xn0有整数根答案：3或4课堂归纳通法领悟1个区别“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别2条规律四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假 (2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要关注“特例法”的应用3种方法判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法 方法博览(一)三法破解充要条件问题1定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系典例1设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解题指导由0x可知0sin x1，分别判断命题“若xsin2x1，则xsin x1”与“若xsin x1，则xsin2x1”的真假即可解析因为0x，所以0sin x1，不等式xsin x1两边同乘sin x，可得xsin2xsin x，所以有xsin2xsin x1.即xsin x1xsin2x1；不等式xsin2x1两边同除以sin x，可得xsin x，而由0sin x1，故xsin x1不一定成立，即xsin2x1/ xsin x1.综上，可知“xsin2x1”是“xsin x1”的必要不充分条件答案C点评判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假(1)若pq，则p是q的充分条件；(2)若qp，则p是q的必要条件；(3)若pq且qp，则p是q的充要条件；(4)若pq且q/ p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p/ q且qp，则p是q的必要不充分条件；(6)若p/ q且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件2集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题典例2若A：log2a1，B：x的二次方程x2(a1)xa20的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解题指导分别求出使A、B成立的参数a的取值所构成的集合M和N，然后通过集合M与N之间的关系来判断解析由log2a1，解得0a2，所以满足条件A的参数a的取值集合为Ma|0a2；而方程x2(a1)xa20的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f(0)0，即a20，解得a2，即满足条件B的参数a的取值集合为Na|a2，显然MN，所以A是B的充分不必要条件答案B点评利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p、q对应的集合分别为A、B关系ABBAA BB AABA B且B A结论p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断典例3已知条件p：1，条件q：x2xa2a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是_解题指导“q的一个充分不必要条件是p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”解析由1，得3x1.由x2xa2a，得(xa)x(a1)1a，即a时，不等式的解为1axa；当a1a，即a时，不等式的解为；当a1a，即a时，不等式的解为ax时，由x|1axax|3x1，得解得a1；当a时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a时，由x|ax1ax|3x1，得解得0a.综上，a的取值范围是0,1答案0,1点评条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p、q之间的关系和之间的关系p是q的充分不必要条件是的必要不充分条件p是q的必要不充分条件是的充分不必要条件p是q的充要条件是的充要条件p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件全盘巩固1“若b24ac0，则ax2bxc0没有实根”，其否命题是()A若b24ac0，则ax2bxc0没有实根B若b24ac0，则ax2bxc0有实根C若b24ac0，则ax2bxc0有实根D若b24ac0，则ax2bxc0没有实根解析：选C由原命题与否命题的关系可知，“若b24ac0，则ax2bxc0没有实根”的否命题是“若b24ac0，则ax2bxc0有实根”2f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为f(x)，g(x)均为偶函数，可推出h(x)为偶函数，反之，则不成立3(2014黄冈模拟)与命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”等价的命题是()A若a，b，c成等比数列，则b2acB若a，b，c不成等比数列，则b2acC若b2ac，则a，b，c成等比数列D若b2ac，则a，b，c不成等比数列解析：选D因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”等价的命题是“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”4设a0且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A“函数f(x)ax在R上是减函数”的充要条件是p：0a1.因为g(x)3(2a)x2，而x20，所以“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充要条件是2a0，即a2.又因为a0且a1，所以“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0a2且a1.显然pq，但q/ p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件5(2014南昌模拟)下列选项中正确的是()A若x0且x1，则ln x2B在数列an中，“|an1|an”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件C命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D若命题p为真命题，则其否命题为假命题解析：选B当0x1时，ln x0，此时ln x2，A错；当|an1|an时，an不一定是递增数列，但若an是递增数列，则必有anan1|an1|，B对；全称命题的否定为特称命题，C错；若命题p为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D错6已知p：1，q：(xa)(xa1)0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A. B. C(，0) D(，0)解析：选A令Ax|1，得A，令Bx|(xa)(xa1)0，得Bx|axa1，若p是q的充分不必要条件，则AB，需0a.7在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)_.解析：原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a1b2a2b10，则两条直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20平行，这是假命题，因为当a1b2a2b10时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)2.答案：28下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x2x60，则x2”的否命题；在ABC中，“A30”是“sin A”的充分不必要条件；“函数f(x)tan(x)为奇函数”的充要条件是“k(kZ)”其中真命题的序号是_(把真命题的序号都填上)解析：原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则xy0”，是真命题；“若x2x60，则x2”的否命题是“若x2x60，则x2”，也是真命题；在ABC中，“A30”是“sin A”的必要不充分条件，是假命题；“函数f(x)tan(x)为奇函数”的充要条件是“(kZ)”，是假命题答案：9已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合Ax|xa，由|x1|1，得0x2，可看作集合Bx|0x2又是的必要不充分条件，BA，a0.答案：(，010已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解：(1)否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)该命题是真命题，证明如下：ab0，ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，否命题为真命题(2)逆否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.真命题，可证明原命题为真来证明它ab0，ab，ba，f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题11已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x12，x，y2，A.由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分条件，AB，1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是.12已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，求两方程的根都是整数的充要条件解：mx24x40是一元二次方程，m0.又另一方程为x24mx4m24m50，且两方程都要有实根，解得m.两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，m为4的约数又m，m1或1.当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数；而当m1时，两方程的根均为整数，两方程的根均为整数的充要条件是m1.冲击名校1对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选By|f(x)|的图象关于y轴对称，但是yf(x)不一定为奇函数，如取函数f(x)x2，则函数y|x2|的图象关于y轴对称，但函数f(x)x2是偶函数不是奇函数，即“y|f(x)|的图象关于y轴对称”/ “yf(x)是奇函数”；若yf(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称，即“yf(x)是奇函数”“y|f(x)|的图象关于y轴对称”，故应选B.2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点Bp：1；q：yf(x)是偶函数Cp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA解析：选D对于A，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m2或m6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.高频滚动1已知全集UR，集合Ax|x23x40，Bx|2x8，那么集合(UA)B()Ax|3x4 Bx|x4Cx|3x4 Dx|3x4解析：选CAx|x23x40x|x1或x4，所以UAx|1x4，又Bx|2x8x|x3，所以(UA)Bx|3x42对于任意的两个正数m，n，定义运算：当m，n都为偶数或都为奇数时，mn；当m，n为一奇一偶时，mn.设集合A(a，b)|ab6，a，bN*，则集合A中的元素个数为_解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，6ab12，即2104866111395712，故符合题意的点(a，b)有25111个(2)当a，b为一奇一偶时，6ab36，即1363124936，故符合题意的点(a，b)有236个综上可知，集合A中的元素共有17个答案：1717