《圆》章节知识点总结

圆 章节知识点 1 圆 章节知识点 1 圆的概念 1 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 其中 定点称为圆心 定长 称 为半径 以点 为圆心的圆记作 读作 圆 A 2 确定圆的基本条件 1 圆心 定位置 具有唯一性 2 半径 定大小 3 半径相等的两个圆叫做等圆 两个等圆能够完全重合 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分 叫做圆弧 简称弧 弧用符号 表示 圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等 弧 每一条弧都叫做半圆 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧 在同圆或 等圆中 能过重合的两条弧叫做等弧 理解 弧在圆上 弦在圆及圆上 弧为曲线形 弦 为直线形 5 不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个 6 三角形的三个顶点确定一个圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆 的圆心是三角形三边垂直平分线的交点 叫做三角形的外心 这个三角形叫做这个圆的内 接三角形 与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 叫做三角形的内心 三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆 圆 心是三个角的角平分线的交点 他到三条边的距离相等 内心到三顶点的连线平分这三个 角 补充 圆的集合概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为半径的圆 2 垂直平分线 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 也叫 中垂线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线 圆 章节知识点 2 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线 二 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系决定的 1 点在圆内 点 在圆内 dr C 2 点在圆上 点 在圆上 B 3 点在圆外 点 在圆外 A 解题注意点和圆的位置不确定性 圆的对称性 圆是轴对称图形 他有无数条对称轴 每一条过圆心的直线都是他的对称轴 圆是以圆心 为对称中心的中心对称图形 圆绕圆心旋转任意一个角度 都能够与原来的图形重合 这 种性质叫做圆的旋转不变性 圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 3 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 如果圆 O 的半径为 圆心 O 到直线 的距离为 d 那么 rl 1 直线与圆相离 无交点 d 2 直线与圆相切 有一个交点 3 直线与圆相交 有两个交点 r dr d r r d 4 圆与圆的位置关系 设两圆半径分别为 R 和 r 圆心距为 d 那么 外离 图 1 无交点 Rr 外切 图 2 有一个交点 相交 图 3 有两个交点 d 内切 图 4 有一个交点 r 内含 图 5 无交点 R r d d C B A O 圆 章节知识点 3 周1 rR d 周3 rR d 五 垂径定理 非常重要 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧 弧 弧 弧ABCD E BC DAC D 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OAB 弧 弧C D 解题技巧 在圆中 解有关弦的问题时 常常 需要做 垂直于弦的直径 作为辅助线 6 圆心角定理 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆心角的度数与他所对的弧的度数相等 圆心角定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对的 弧相等 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDE AB 周2 rR d 周4 rRd 周5 rRd O E DC B A O C D A B F E D C BA O 圆 章节知识点 4 弧 弧OCF BA D 七 圆周角定理 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 或弧 的度数 的一半 即 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOB CAB 2 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的 圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧 是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 OAB90C 是直径90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 即 在 中 ABCOAB 是直角三角形或 90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一 半的逆定理 注 忽略一条弦所对的弧有两条 所对的圆周角边有两种不同的角 八 圆内接四边形 一般的 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 那么这个多边形叫做圆的内接多边 形 这个圆叫做多边形的外接圆 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 推论 圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角 D C B A O C B AO C B AO E DC B A C B A O 圆 章节知识点 5 即 在 中 O 四边形 是内接四边形ABCD 180 180 E 九 切线的性质与判定定理 直线和圆有唯一公共点 即直线和圆相切 时 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共 点叫做切点 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切 线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且 过半径 外端MNOA A 是 的切线 2 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线 通常叙述为 见切点连半 径得垂直 解决与圆的切线有关的问题时 常需要补充的线是作过切点的半径 9 切线长定理 在经过圆外一点的圆的切线上 这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和圆外这一点的连线 平分两条切线的夹角 即 是的两条切线PAB 平分O 十一 圆幂定理 NM A O P B A O P O D C B A 圆 章节知识点 6 1 相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP P 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项 即 在 中 直径 OABCD 2E 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAB 2C 4 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点 到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 如上图 即 在 中 是割线OPBE CD 十二 两圆公共弦定理 两圆相切时 连心线必过切点 这一性质是由圆的对称性决定 两个圆组成的图形是轴对 称图形 对称轴是经过两圆圆心的直线 圆公共弦定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 如图 垂直平分 12OAB 即 相交于 两点 垂直平分12 注 两圆相交时 依照两圆圆心和公共弦的位置 可分为两种情况 两圆圆心在公共弦 同侧 两圆圆心在公共弦异侧 十三 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 O E D C B A D E C BP A O B A O1 O2 C O2 O1 BA 圆 章节知识点 7 1 公切线长 中 12RtOC 221ABOC 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半径之和 2 十四 圆内正多边形的计算 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 把一个圆分成相等的弧 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形 这个圆 叫做正多边形的外接圆 经过各分点做圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这 个圆的外切多边形 这个圆叫做多边形的内切圆 正多边形的外接圆 或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心 正多边形外接圆的半径叫做 正多边形的半径 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边 形内切圆半径叫做正多边形的边心距 正 n 边形的半径 R 与边心距 r 把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 00n22nnn3618 a si 18cos CaaC 2nn RrrS 关 系 式 中 心 角 边 长边 心 距 周 长面 积 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在 中进行 OABRtBOD 1 32D 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在 中进行 RtOAE 1 2OEA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在 中进行 RtOAB 1 32ABO D C B A O E CB A D O BA O 圆 章节知识点 8 十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 1 扇形 1 弧长公式 180nRl 2 扇形面积公式 236Sl 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRS 2 圆柱 1 圆柱侧面展开图 2S 侧表 底 2rh 2 圆柱的体积 2V 2 圆锥侧面展开图 1 S 侧表 底 2Rr 2 圆锥的体积 13Vh 补充 圆中四心 外心 各边垂直平分线的交点 内心 各角角平分线的交点 垂心 各边高线的交点 重心 各边中线的交点 S l B A O 周周周 周周周周周 C1 D1D CB A B1 R rC BA O