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常微分方程试卷答案一、问答题：（每题6分，共30分）1 常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。2 举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为，然后将常数变易为的待定函数，令，微分之，得到 ，将上述两式代入方程中，得到即 积分后得到进而得到方程的通解3高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：阶线性微分方程的初值问题其中是区间上的已知连续函数，是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题但是需要指出的是每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。4若常系数线性方程组和有相同的基本解矩阵， 则与有什么关系？答：设常系数方程组的基解为，的基解为，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知，则可得，为非奇异的常数矩阵。5写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。常微分方程期中测验试卷(3) 班级_姓名_学号_得分_ 1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_.3、单选题(14%)（1）方程是（ ）.(A)可分离变量方程 （B）线性方程(C)全微分方程 （D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（ ）.(A)y=1, x=1, (B) y=1(C) x=1 (D) y=1, x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间（A）维 （B）维 （C）维 （D）维 （6）. 方程（ ）奇解（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个（7）方程过点（ ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解4.计算题(40%) 求下列方程的通解或通积分： （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 5. 计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程 的非常数解，当时，有，那么必为或参考答案：1辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性（4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2填空题 （1） （2）（3） （4）3单选题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）. A （6）. B 7. A4. 计算题（1）解 当时，分离变量得 等式两端积分得 即通解为 （2）解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + （3）解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 （4）. 令，则，代入原方程，得 ， 当时，分离变量，再积分，得 ，即： 5. 计算题 令，则原方程的参数形式为 由基本关系式 ，有 积分得 得原方程参数形式通解为 5计算题解 方程的特征根为， 齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数得 确定出 ， 原方程的通解为 6 . 证明题证明 由已知条件，方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分） 又由已知条件，知是方程的一个解。 （4分） 假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展这样，过点就有两个不同解和这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值
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