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新课标人教版数学B必修（1）第三章基本初等函数()31指数与指数函数311有理指数幂及其运算教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念关键是理解分数指数幂和根式的意义教学过程：（1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘=导出乘方，这里的n为正整数。从复习初中内容开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念.（2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数（3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化正整数指数幂的运算性质如下：；当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即：；这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定当指数的范围扩充到有理数集以至实数集后，幂的运算性质仍然是上述3条，但要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定（4）例1:先化简再用计算机求值（1）（2）（其中）例2：已知：求下列各式的值（1）；（2）；（3）.例3：化简：课堂练习：第97页练习A,练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算课后作业：第100页习题3-1A第1题312指数函数（1）教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.教学重点：指数函数的图象、性质。指数函数的图象性质与底数a的关系教学过程：（1）通过问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x引出指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.（2）指数函数的图像和性质： 通过描点画函数图像：首先我们来画y=2x的图象。列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：x-3-2-1.5-1-0.500.511.523y=2x0.130.250.350.50.7111.422.848再来研究0a10a1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数（3）例子1、比较下列各组数的大小:(1) 和 ;(2) 和 ;(3) 和 ;(4) 和 , 2、(1)指数函数 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解:由 可知应为两条递减的曲线,故只可能是 或 ,进而再判断与 和 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 ,对应的函数值分别为 和 ,由 可知应选 . (2)曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ). 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .说明:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.课堂练习：第99页练习A, 第100页练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算课后作业：第100页习题3-1A第2、3、4题312指数函数（2）教学目标：巩固指数函数的概念和性质教学重点：指数函数的概念和性质教学过程：本节课为习题课,可分以下几个方面加以练习:备选题如下:1、 关于定义域（1）求函数f(x)=的定义域（2）求函数y=的定义域（3）函数f(x)=3x1的定义域、值域是( )A.定义域是R，值域是RB.定义域是R，值域是(0，+)C.定义域是R，值域是(1，+)D.以上都不对（4）函数y=的定义域是_(5) 求函数y=的定义域(其中a0且a1)2、 关于值域（1） 当x2,0时，函数y=3x+12的值域是_（2） 求函数y=4x+2x+1+1的值域.（3） 已知函数y=4x32x+3的值域为7,43，试确定x的取值范围.(4).函数y=的值域是( )A.(0，+)B.(,1)C.(0,1)D.(1,+)(5)函数y=0.25的值域是_,单调递增区间是_.3、 关于图像（1）要得到函数y=82x的图象，只需将函数y=()x的图象( )A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位（2）函数y=|2x2|的图象是( )（3）当a0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是( )（4）当0a1,b0且a1,b为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=_.（6）已知函数y=()|x+2|.画出函数的图象；由图象指出函数的单调区间并利用定义证明.(7) 设a、b均为大于零且不等于1的常数，下列命题不是真命题的是( )A.y=ax的图象与y=ax的图象关于y轴对称B.若y=ax的图象和y=bx的图象关于y轴对称，则ab=1C.若aa1,则a1D.若ab,则ab4、 关于单调性（1）若1x0,则下列不等式中成立的是 ( )A.5x5x0.5x B.5x0.5x5xC.5x5x0.5xD.0.5x5x0且a1)的最值为_.(6)已知y=()+1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.(7) 比较5与5的大小5、关于奇偶性（1）已知函数f(x)=为奇函数，则m的值等于_（1）如果=4，则x=_6阶段检测题:可以作为课后作业:1.如果函数y=ax(a0,a1)的图象与函数y=bx(b0,b1)的图象关于y轴对称，则有A.abB.a2x 当a1时，任取xR都有axax y=()x是增函数 y=2|x|的最小值为1 在同一坐标系中，y=2x与y=2x的图象对称于y轴A.B.C.D.4.下列函数中，值域是(0,+)的共有y= y=()x y= y=3A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知函数f(x)=a1x(a0,a1)，当x1时恒有f(x)0,a1)的图象不经过第四象限的充要条件是_.9.若点(2，)既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_,b=_.10.已知集合M=x|+x()x2,xR，则函数y=2x的值域是_.三、解答题(共30分)11.(9分)设A=am+am，B=an+an(mn0，a0且a1)，判断A，B的大小.12.(10分)已知函数f(x)=a(aR)，求证：对任何aR,f(x)为增函数.13.(11分)设0x2，求函数y=的最大值和最小值.课堂练习：（略）小结： 课后作业：（略）32对数与对数函数321对数及其运算（1）教学目标：理解对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用教学重点：理解对数的概念、常用对数的概念.教学过程：1、对数的概念：复习已经学习过的运算指出：加法、减法，乘法、除法均为互逆运算，指数运算与对数运算也为互逆运算：若 ，则 叫做以 为底 的对数。记作：（）2、对数的性质（1） 零和负数没有对数，即 中N必须大于零；（2） 1的对数为0，即（3） 底数的对数为1，即3、对数恒等式：4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：5、例子：（1） 将下列指数式写成对数式 （2） 将下列对数式写成指数式（3） 用计算器求值课堂练习：教材第104页 练习A、B小结：本节课学习了对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用课后作业：习题32A,1321对数及其运算（2）教学目标：理解对数的运算性质，掌握对数的运算法则教学重点：掌握对数的运算法则教学过程：1、 复习：(1)、对数的概念，(2)、对数的性质，(3)、对数恒等式2、 推导对数运算法则： 3例子：1、求下列各式的值：2、计算：计算：3、用logax，logay，logaz表示下列各式：解（注意（3）的第二步不要丢掉小括号）4、5、 课堂练习：教材第107页 练习A、B小结：本节课学习了对数的运算性质课后作业：习题32A,4、6321对数及其运算（3）教学目标：掌握对数的换底公式教学重点：掌握对数的换底公式教学过程：1、首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?如求 设 ，写成指数式是 ，取以 为底的对数得 即在这个等式中，底数3变成 后对数式将变成等式右边的式子一般地 关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则由换底公式可得：(1) (2) ( 2、例题：1、 证明：证明：设 ，则：，从而 ； ， ，即：。（获证）2、已知：求证：证明：由换底公式 ，由等比定理得：，。3、设，且，1 求证：；2 比较的大小。1 证明：设，取对数得： ，；2 ，又， 。课堂练习：教材第109页 练习A、B小结：本节课学习了对数的换底公式课后作业：习题32B,1、2322对数函数（1）教学目标：掌握对数函数的定义、图象和性质，会运用对数函数的定义域求函数的定义域，会利用单调性比较两个对数的大小.教学重点：掌握对数函数的定义、图象和性质.教学过程：1、 习对数的概念2、 分析对数函数的定义探究对数函数的图象、性质.函 数y = loga x （a1）y = loga x (0a1)图 像定义域R+R+值 域RR单调性增函数减函数过定点（1，0）（1，0）取值范围0x1时，y1时，y00x0 x1时，y0,a1)(1) y=logax2 (2)y=loga(4-x)练习1 求函数y=loga(9-x2)的定义域例2 比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 23.4 , log 28.5 log 0.31.8 , log 0.32.7 log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 )练习2: 比较下列各题中两个值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.50.6 log1.50.4练习3：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1)例3 填空题：(1)log20.3_0 (2)log0.75_ 0(3)log34_ 0 (4)log0.60.5_ 0思考：logab0时a、b的范围是_, logab0时a、b的范围是_。结论：对于(0,1),(1,+)两区间而言， logax的值当a、x在同区间为正，异区间为负。例4 比较下列各组中两个值的大小:log 67 , log 7 6 ; log 31.5 , log 2 0.8 练习4：将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：_课堂练习：教材第112页 练习A、B小结：本节课学习了对数函数的定义、图象和性质课后作业：习题32A,4322对数函数（2）教学目标：进一步理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质教学重点：掌握对数函数的图象和性质.教学过程：1、 复习对数函数的概念2、 例子：（一）求函数的定义域1 已知函数的定义域是F,函数的定义域是N,确定集合F、N的关系？ 2求下列函数的定义域：（1） （2）（二）求函数的值域求下列函数的值域 1. 2 34.求函数（1） （2）的值域（三）函数图象的应用1在同一坐标系中，三个函数 的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是2.已知，m,n为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（ ）（A）1mn (B)mn1 (C)1mn (D)nm12画出下列函数的图象 （1） （2） （四）函数的单调性1、 求函数的单调递增区间。2、 求函数的单调递减区间（五）函数的奇偶性1、函数的奇偶性为 A奇函数而非偶函数 B偶函数而非奇函数C非奇非偶函数 D既奇且偶函数（五）综合1若定义在区间（1，0）内的函数满足，则a的取值范围 （ ） 课堂练习：略小结：本节课进一步复习了对数函数的定义、图象和性质课后作业：略323指数函数与对数函数的关系教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数教学过程：3、 复习指数函数、对数函数的概念4、 反函数的概念：一般地，函数中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由可得，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么就表示x是自变量y的函数。这样的函数叫函数的反函数，记作：。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数通常改写成：注：明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数； 与互为反函数。的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域5、 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为0；若函数是增（减）函数，则其反函数是增（减）函数。6、 求反函数的步骤：由解出，注意由原函数定义域确定单值对应；交换，得；根据的值域，写出的定义域。例1、求下列函数的反函数： 解：略课堂练习：教材第114页 练习A、B小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数课后作业：略33幂函数 教学目标：了解幂函数的概念教学重点：了解幂函数的概念教学过程：1、 概念：形如（），的函数叫做幂函数2、 本节课只研究为有理数的情形 图1令，其中且，就，时分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。选取以上的图形作为各类的代表3除教材上给出的性质外还可补充：（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（1，1），（1，1），第四象限无图象。（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。当n0时，图象在两片正方形区域内通过；当nO时、图象在两片矩形区域内通过。（3）图象形状：当n0（n1）时，图象为抛物线型，nO时图象为双曲线型，当n0或1时，图象为直线型。（4）n由小往大的变化规律如图四，从O1（左拐90）。4、提问思考。根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n0，0n1，n1对号入场，注意纽交点两侧情况。再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。课堂练习：教材第118页 练习题3-3A、3-3B小结：了解幂函数的概念课后作业：略 34函数的应用()（1）教学目标：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学过程：1、通过例1、例3讲解复利公式的应用，可补充练习：练习题：某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少，同时开发乙种产品2000年投放市场，乙种产品第一年盈利b万元，在今后20年内，每年盈利都比上一年增加，若，问该企业今后20年内，哪一年盈利最少是多少万元。2、通过例4讲解函数图像的应用价值，可补充练习：练习题：（1）某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（增长率=增长值/原产值）A）97年B）98年 C）99年D）00年（2）A、B两家电器公司在今年15月份的销售量如图所示，则B相对于A其市场份额比例比较大的月份是 A)2 月 B)3月 C)4月 D)5 月3、建议例2选讲课堂练习：略小结：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用课后作业：教材第125页 习题3-4A:3、4、534函数的应用()（2）教学目标：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学过程：1某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：A多赚5.92元 B少赚5.92元 C多赚28.92元 D盈利相同2.某物体一天中的温度T(C)是时间t (小时)的函数:.表示12：00，其后t 取值为正，则上午8：00的温度是：A112C B.58C C.18C D.8C3.某产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是。若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为： A100台 B.120台 C.150台 D.180台4.甲、乙两店出售同一商品所得利润相同，甲店售价比市场最高限价低10元，获利为售价的10%，而乙店售价比限价低20元，获利为售价的20%，那么商品的最高限价是：A30元 B.40元 C.70元 D.100元5.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是_ 件(即生产多少件以上自产合算)A.1000 B.1200 C.1400 D.16006今有一组实验数据如下： t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是：A B. C. D.7.一批货物随17列货车从A市以匀速直达B市,已知两地铁路线长为400,为了安全,两列货车的间距不得小于,那么这批货物全部运到B市最快需要:A.6h B.8h C.10h D.12h8.用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为_米时，才能使所有石料的最省。9某杂志能以每本1.20的价格发行12万本,设定价每提高0.1元,发行量就减少4万本,要使总销售收入不低于20万元,则杂志的最高定价是_ 元.10.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应,是不是广告做得越多越好?11某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。(1) 试求y与x之间的关系式。(2) 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？12.某种商品定价为每件60元，不加收附加税时，每年销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元，（即税率为p%）,因此每年销售将减少万件。（1）将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表成p的函数，并求出定义域（2）要使政府在此项经营中每年征收税金不少于128万元，税率p%应怎样确定（3）在所收税金不少于128万元前提下，要让厂家获得最大销售金额，如何确定p值16某客运公司购买了每辆价值为20万元的大客车投入运营，根据调查材料得知，每辆大客车每年客运收入约为10万元，且每辆客车第n年的油料费、维修费及其它各种管理费用总和与年数n成正比，又知第三年每辆客车以上费用是每年客运收入的48%（1）写出每辆客车运营的总利润（客运收入扣除总费用及成本）y（万元）与n(nN)的函数关系式；（2）每辆客车运营多少年可使运营的年平均利润最大？并求出最大值。17某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？ 18.某工厂建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图）。如果池外围圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁厚度不计。（1）试设计水池的长宽，使总造价最低，并求最低造价；（2）若受地形限制，水池长宽都不得超过16米，求最低造价。课堂练习：略小结：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用课后作业：教材第125页 习题3-4B:3、4、5
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