高一数学-必修四三角函数.doc

第一章 三角函数（一）1.1 任意角和弧度制一、任意角1角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.始边终边顶点AOB角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角u 在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；u 零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；3象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角4终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和u 是任一角；u 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍；二、弧度制回顾：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制，角度制的度量是60进制的1 弧度制的定义：规定长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制1弧度记做1rad在实际运算中， rad单位可省略2弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|=3角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：； ；将弧度化为角度：；4特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度05弧长公式 （弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积）1.2 任意角的三角函数1. 1三角函数定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，记作，即；u 当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；函 数定 义 域值 域2三角函数的定义域、值域3三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。u 有向线段：带有方向的线段，规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。u 三条有向线段的位置： u 三条有向线段的方向：u 三条有向线段的正负：u 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4三角函数的符号正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）5 诱导公式6 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系：（3）；u 灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。习题：1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 与 2若，则比较、的大小；3分别根据下列条件，写出角的取值范围： （1） ； （2） ； （3）4已知角的终边过点，求的三个三角函数值。例1已知为非零实数，用表示解：，即有，又为非零实数，为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而， ；当在第二、三象限时，即有，从而， 例2已知，求 解：u 解题技巧：1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；2 “化1法”：利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；例3求证：证法一：由题义知，所以左边=右边原式成立证法二：由题义知，所以又，证法三：由题义知，所以，例4已知，求 解：1 由 由 联立： 2 例5、已知 求解：sin2a + cos2a = 1 化简，整理得：当m = 0时，当m = 8时，13 诱导公式一、诱导公式：诱导公式（一）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）对于上述四组诱导公式的理解 ：u u 总结为一句话：函数名不变，符号看象限。诱导公式（五） 诱导公式（六） u 总结为一句话：函数正变余，符号看象限习题：1证明：（1）（2）2化简：3. 4化简:5.