初一数学第四、五讲一元一次方程.doc

第三章：一元一次方程一、方程的有关概念1、方程的概念（1）含有未知数的等式叫方程。（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式为：概念剖析：方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程； 等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式； 一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是1；知数的系数不为0；例1、下列式子是方程的是（ ）A、 B、 C、 D、例2、下列方程是一元一次方程的是( )A、 B、 C、 D、例3、已知方程是关于的一元一次方程，求、的值；2、等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若，则或。（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。若，则或；（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若，则；（4）传递性：如果，且，那么，这一性质叫等量代换。例4、用适当的数或式子填空如果，那么_；如果，那么_；如果，那么_；如果，那么_；二、解方程1、解方程及解方程的解的含义 求得方程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。例5、方程的解为_；例6、如果是方程的解，则 _；例7、程的解为，则的值为（ ）A、2 B、22 C、10 D、2例8若与互为相反数，则_，_；2、移项的有关概念把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。这个法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。知识概括：移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边；移项必变号，“+”变“”，“”变“+”；“” 变“”，“”变“”；即移加变减，移乘变除，移减变加，移除变乘；3、解一元一次方程的步骤解一元一次方程的步骤主要依据注意问题1、去分母等式的性质2注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号。2、去括号去括号法则乘法分配律严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。3、移项等式的性质1越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。4、合并同类项合并同类项法则注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变。5、系数化为1等式的性质2两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。6、检验知识窗口：解相同的方程称为同解方程； 方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理1）；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理2）；例9、解程 解：根据（ ）得： （ ）得：根据（ ）得： （ ）得：根据（ ）得：请选择正确的答案填如上面的括号内A、去括号 B、合并同类项 C、方程等式的性质1 D、方程等式的性质2例10、各方程 二、列方程初步（列代数式）1、列代数式（1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子写出来，这就是列代数式。（2）列代数式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。（3）正确列代数式的关键是：认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）；正确判断各数量关系中的运算顺序；要理解并掌握基本的数量关系。如：路程问题：路程=时间速度 速度=路程时间 时间=路程速度 平均速度=总路程总时间轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度 逆水航行的速度=静水速度水流速度工程问题：工作量=工作时间工作效率 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率价格问题：总价=单价数量 单价=总价数量 数量=总价单价利润问题：利润=售价成本 售价=利润+成本 成本=售价利润数字问题：表示数字的方法： （其中、表示个位、十位、百位、千位万位的数字）。面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。例11、用代数式表示甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积；除的商与的差的2倍大1的数；例12、设表示任意一个整数利用含有的代数式表示：任意一个偶数；任意一个奇数；不能被3整除的数；三个连续偶数的平方和；例13、一项工程甲单独完成需要天，乙单独完成需要天，若两队合作，完成这项工程需要多少天？例14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，小时可以将空池注满，单开乙进水管， 小时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？例15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走全程的几分之几？例16、一轮船在A、B两地航行，已知A、B两地相距，从A到B是顺水，从B到A是逆水，轮船在静水中的速度为每小时，水流的速度为每小时，求轮船在A、B两地间往返一次的平均速度。例17、轮船在A、B两地航行，静水中的速度为每小时，水流的速度为每小时，求轮船在A、B两地间往返一次的平均速度。例18、张大佰从报社以每份0.4元的价格购进了份报纸，以每份0.5元的价格售出了份，剩余的以每份0.2元的价格退回了报社，则张大佰卖报收如_元。例19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多少元？例20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走，乙每小时走（），乙比甲先走小时， 小时后甲可以追上乙。例21、上等米每千克售价为元，次等米每千克售价为元，取上等米千克和次等米千克，混合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？例22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价10%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为多少？例23、如果用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖需要多少时间？例24、种商品每件进价为元，按进价增加25定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利多少元？例25、一个四位数，它的千位数字、百位数字、十位数字和个位数字分别是、把这个四位数的顺序逆过来（如7643变为3467），求所得的四位数与原来的四位数的差。例26、（1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？（2）三个连续自然数之和是三的倍数？为什么？例27、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的2倍时，它能被12整除吗？为什么？三、列方程解应用题1、列方程解应用题的一般步骤（1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出相等关系；（3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。2、一些实际问题中的规律和等量关系（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围。（2）几种常用的面积公式：长方形面积公式：，为长，为宽，为面积；正方形面积公式：，为边长，S为面积； 梯形面积公式：，、为上下底边长，为梯形的高，为梯形面积；圆形的面积公式：，为圆的半径，为圆的面积；三角形面积公式：，为三角形的一边长，为这一边上的高，为三角形的面积。（3）几种常用的周长公式：长方形的周长：，为长方形的长和宽，为周长。正方形的周长：，为正方形的边长，为周长。圆：，为半径，为周长。（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。（5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价成本。（6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度时间，以及由此导出的其他关系。（7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。（8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程。例28、甲、乙、丙三人，甲每分钟走60，乙每分钟走67.5，丙每分钟走75，如果甲、乙两人在东村，丙在西村，三人同时相向而行，丙遇到乙后2分钟又遇到了甲，求东、西两村的距离。例29、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是34，乙和丙的比是23。若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？例30、一架飞机飞行于两城之间，顺风飞行需要5小时30分钟，逆风飞行需要6小时，已知风速是每小时24，求两城之间的距离。例31、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获利500元，制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元。该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕为此，该厂设计了两种可行方案： 方案1、尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶;方案2、将一部分制成奶片，其余部分制成酸奶销售. 无论采取哪一种方案，都必须保证4天完成，请设计一下，选哪一种方案好?为什么? 例32、某初一学生在做作业时，不慎将墨水打翻，使一道作业搞污且只能看到如下字样：“甲、乙两地相距40，摩托车的速度为45，货车的速度为35， ？”（涂墨部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业补充完整，并将列方程解答。例33、有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样的时间内5名二级技工，粉刷了10个房间之外，还多刷了40平方米的墙面。每名一级技工比二级技工一天多刷10平方米墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积。例34、已知购买甲种物品比乙种物品贵5元，某人用300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件，这时，他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部都购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各多少元？例35、某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？例36、A、B两地间的路程为360，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72；甲车出发25分钟后，乙车从B地从发开往A地，每小时行驶48，两车相遇后，两车仍然按原来的速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距100时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？例37、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？例38、为了拓展销路，商店对某种照相机的售价作了调整，按原售价的8折出售，此时的利润率为14%.若此种照相机的进价为1200元，该照相机的原售价的多少元？例39、右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 .例40、右图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中的数据为相应两点间的路程（单位：），CEBDA11.20.411.6以学生从A处出发，以2的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。（1） 当他沿着路线ADCEA游览回到A处时，共用了3小时，求CE的路程；（2） 若此学生打算从A处出发，步行速度与在每个景点逗留的时间不变，且在4小时内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明你的设计理由（不考虑其他因素）。练习题：一、填空题：1、请写出一个一元一次方程：_。2、如果单项式与是同类项，则m=_。3、如果2是方程的解，求a=_。4、代数式的值是互为相反数，求x=_。5、如果|m|=4，那么方程的解是_。6、在梯形面积公式S = 中，已知S=10，b=2，h=4求a=_。7、方程是一元一次方程，则_。二、选择题：1、三个连续的自然数的和是15，则它们的积是（ ）A、125 B、210 C、64 D、1202、下列方程中，是一元一次方程的是（ ）（A） （B） （C） （D）3、方程的解是（ ）（A） （B） （C） （D） 4、已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）（A） （B） （C） （D） 5、解方程，去分母，得（ ）（A） （B） （C） （D）6、下列方程变形中，正确的是（ ）（A）方程，移项，得 （B）方程，去括号，得（C）方程，未知数系数化为1，得（D）方程化成7、重庆力帆新感觉足球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为，则列出的方程正确的是（ ）（A）（B）（C）（D） 8、珊瑚中学修建综合楼后，剩有一块长比宽多5m、周长为50m的长方形空地. 为了美化环境，学校决定将它种植成草皮，已知每平方米草皮的种植成本最低是元，那么种植草皮至少需用（ ）（A）元； （B）元； （C）元； （D）元.三、解方程：1、 2、3、 4、5、6、已知多项式是否存在，使此多项式与无关？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。四、应用题：1、在日历上，小明的爷爷生日那天的上、下、左、右4天之和为80，你能说出小明的爷爷是生日是哪天吗？请说明你的理由。2、把一段铁丝围成长方形时，发现长比宽多2cm，围成一个正方形时，边长正好为4cm，求当围成一个长方形时的长和宽各是多少？3、用一个底面半径为4cm，高为12cm的圆柱形杯子向一个底面半径为10cm的大圆柱形杯子倒水，倒了满满10杯水后，大杯里的水离杯口还有10cm，大杯子的高底是多少？4、某单位去年为全体职工投保了团体人身意外伤害保险，如果每年的保险率是0.2%，每人的保险金额都是5000元，这个单位去年向保险公司交纳了1200元的保险费，该单位去年共有职工多少人？