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第2节 一元二次方程第3节 方程及其应用是初中代数中的核心内容，是各地历年中考命题的一个重点，也是一个热点。方程的思想和方法是初中数学中最重要的思想和方法之一，有些虽然是几何问题，也常常可以用或需要用方程的思想和方法来解决。第4节 初中数学中的方程，除了一元一次方程以外，还有二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，以及内容十分相近的不等式和不等式组。第5节 实际上，对于以后学到的二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，都是通过“转化”的思想和方法，把它们转化为一元一次方程，从而最终得到解决的。新课标要求1理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；2一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方解一元二次方程；4了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。命题趋势：本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。在重庆中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法，尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程在实际生活中的应用，和二次函数相结合的综合应用。考点整合1、一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 2、一般表达式： 其中是二次项，叫二次项系数；是一次项，叫一次项系数，是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。3、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。4、一元二次方程的解法：（1）直接开方法，适用于能化为 的一元二次方程。（2）因式分解法，即把一元二次方程变形为（x+a）（x+b）=0的形式，则（x+a）=0或（x+b）=0 （3）配方 法，即把一元二次方程配成形式，再用直接开方法，(4)公式法，其中求根公式是 （b2-4ac0）5、根的判别式、根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当b2-4ac10,则（2827.1+0.1x）x+x=12 解得x3=5(与x10舍去，舍去),x4=24(不合题意，舍去) 公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.点评：解此题的关键是表示出进价以及每辆车的利润，而返利的多少与售出数量有一定关系，因而得讨论出售汽车的数量问题，这一点容易忽略.同时，在列一元二次方程解应用题中，一定要对解出的两个根进行检验取舍，看两根是否符合实际题意。学生往往容易漏掉这一点。举一反三1. （2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A5500（1+x）2=4000 B5500（1x）2=4000C4000（1x）2=5500 D4000（1+x）2=5500解：设年平均增长率为x，那么2010年的房价为：4000（1+x），2011年的房价为：4000（1+x）2=5500故选：D2. （2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .解析：由题意得（22x）(17x)=300.3. （2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2解：设AB=xm，则BC=（502x）m根据题意可得，x（502x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形考点精练1. （2011辽宁本溪3分）一元二次方程的根（D ）A、 B、C、 D、 解：将原方程左边写出完全平方式即可求得：。故选。2. （2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是（ D ） A方程有两个不相等的实数根 B方程有两个不相等的实数根C方程有两个不相等的实数根 D方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根解：把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可： A、整理得：，0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：，0，原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：，0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：，当2时，原方程有2个不相等的实数根，选项正确。3. （2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是.（B ）A为任何实数，方程都没有实数根B为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C为任何实数，方程都有两个相等的实数根D根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种解：一元二次方程根的判别式为=（2k）24（k1）=4k24k+4=（2k1）2+30，不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。4. （2012江西高安）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）ABCD或中国教育出*版&网%解：由题意得，即，故选D5. （2012四川沙湾区调研） 菱形的边长是，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或解：设AO、BO分别为，由题意得又菱形的边长是5，解此方程得，当时，0，不合题意，。故选A6. （2011山东济宁3分）已知关于的方程2=0的一个根是（0），则值为A.-1 B.0 C.1 D.2 解：a是2bxa=0的一个根，（a）2b（a）a=0，0，ab1=0，ab=-1。故选A。7. 已知方程x2+bx+a=0有一个根是a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A.ab B. C.a+b D.ab解：把-a代入方程得：， 又，。故选D8. 已知三角形两边长是方程x25x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是 . 解：由x25x+6=0得：（x-2）（x-3）=0，则x-2=0或x-3=0，x1=2,x2=3.又由三角形三边关系得1c5。故答案是1c59. （2011甘肃兰州4分）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 解：由一元二次方程的解与二次函数的关系，关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标，同样a（x+m+2）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标。y=a（x+m+2）2+b的图象可以由y=a（x+m）2+b的图象向左平移2个单位得到，根据平移变化的规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。由y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=2，x2=1，可得出y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=22=4，x2=12=1。方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=4，x2=1。10（2008河南）在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程为 . 解：由题意得：11.解方程：（1）（2012安徽） （2）(2012年江阴模拟) （3）(2009武汉) 分析：根据一元二次方程方程的几种解法，（1）题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.（2）题也不能直接开方，可考虑用分解因式法。（3）题用公式法解（1）：原方程化为：x24x=1配方，得x24x+4=1+4整理，得（x2）2=5x2=,即.解（2）：由 得：，解得答案： 3或解（3）：，12. (2012浙江椒江二中、温中联考)网)某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元。每公顷蔬菜年均可卖万元。若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益（扣除修建和种植成本后），工作组应建议他修建多少公顷大棚。（结果用分数表示即可）解：设建议他修建x公项大棚，根据题意，得5， 即，解得:，. 从投入、占地与当年收益三方面权衡应舍去. 答：工作组应建议修建公顷大棚 13. （2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2解：设AB=xm，则BC=（502x）m根据题意可得，x（502x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形14. (西城2012年初三一模)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元设第二个月单价降低x元（1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)8040销售量(件)200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解：（1）80x，20010x，800200(20010x)；（2）根据题意，得80200(80x)(20010x)40800200(20010x)508009000整理，得x220x1000，解这个方程得x1x210，当x10时，80x7050答：第二个月的单价应是70元15. （重庆一中）某水果店批发一种成本为每箱30元的梁平柚子.据市场分析,若按每箱 40 元批发,一个月能批发600箱；若每箱批发价涨价1元,月批发量就减少10箱,针对柚子的批发情况,请解答下列问题：（1）当批发价定为每箱55元时,计算月批发量和月利润；（2）若批发价定为每箱元,月批发利润为元,求与 的函数关系式；当批发价定为每箱多少元时,月利润最大？（3）若水果店想在本月成本不超6000元的情况下,使得月利润达到10000元,则批发价应定为每箱多少元？解：(1)月批发量:(箱) 月利润:(元) (2) 当每箱定价为65元时,月利润最大. (3)在中,当时,有 当时,成本为:(元)当时,成本为:(元) 即每箱批发价定为80元可使成本不超过6000元,而利润达到10000元.重庆中考真题再现1.（2011江津）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A、2B、2 C、2且lD、2解：由题意得：。故选C。3题图2.（2007重庆）方程的解为 .解：直接开方：，。故答案：3. （2011一中月）已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）A解：令，则二次函数y1的图像可以看着是由抛物线向上平移2个单位得到。由图可知，抛物线的顶点是（，-3），向上平移2个单位后，得到抛物线的顶点坐标是（，-1），故，抛物线与x轴有两个交点，所以关于的方程有两个不等的实数根，故答案选AA有两不相等的实数根 B有两个相等实数根C无实数根 D不能确定 4（2010巴蜀模拟）方程的解是 。解：移项：，故答案为：图1x/元501200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O5.（2009西中）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系，但种植面积不超过3200亩随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系,且每亩收益不低于1800元（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值解：（）令y=k1x + b1 (k10) 由图象过点（0,800）,（50,1200）得：y与x的函数关系式为：y=8x+800 令 由图象过点（0，3000）,（100,2700）得：z与x的函数关系式为：z = -3x + 3000 （）当x=0时，y=800亩z=3000（元/亩）总收益为：80030002400000（元）（）即：由题意： 解 在:中， a = -24 0 抛物线开口向下，在对称轴x = 450的左侧，w随x的增大而增大. 当x = 300时， 政府应将每亩补贴数额x定为300元时，总收益w有最大值，为6720000元. 6.（2011育才二诊）现在互联网越来越普及，网上购物的人也越来越多，订购的商品往往通过快递送达当当网上某“四皇冠”级店铺率先与“青蛙王子”童装厂取得联系，经营该厂家某种型号的童装根据第一周的销售记录，该型号服装每天的售价（元/件）与当日的销售量（件）的相关数据如下表：每件的销售价（元/件）200190180170160150140每天的销售量（件）8090100110120130140已知该型号童装每件的进价是70元，同时为吸引顾客，该店铺承诺，每件服装的快递费10元由卖家承担（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求第一周销售中，与的函数关系式；（2）设第一周每天的赢利为元，求关于的函数关系式，并求出每天的售价为多少元时，每天的赢利最大？最大赢利是多少？（3）从第二周起，该店铺一直按第（2）中的最大日盈利的售价进行销售但进入第三周后，网上其他购物店也陆续推出该型号童装，因此第三、四周该店铺每天的售价都比第二周下降了%，销售量也比第二周下降了%（；第五周开始，厂家给予该店铺优惠，每件的进价降低了16元；该店铺在维持第三、四周的销售价和销售量的基础上，同时决定每件童装的快递费由买家自付，这样，第五周的赢利相比第二周的赢利增加了2%，请估算整数的值（参考数据：，）解：（1）设由题得：，解得，所以验证：当时，；当时，其他各组值也满足函数关系式；故与的函数关系式为；（2） =因为，所以抛物线开口向下，所以当时，最大为10000，即每件的售价为180元时，每天的赢利最大为10000元（3）根据题意得： 设，则原方程可化为：化简得：，所以或因为，所以答：的整数值为107.（2009重庆二模）某县种植了一种无公害蔬菜，为了扩大生产规模，该县决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低.经调查，种植亩数(亩)、每亩蔬菜的收益(元)与补贴数额(元)之间的关系如下表：(元)0100200300 (亩)800160024003200(元)3000270024002100（1）分别求出政府补贴政策实施后种植亩数、每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（2）要使全县这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值和此时种植亩数.（3）在取得最大收益的情况下，为了满足市场需求，用不超过70亩的土地对这种蔬菜进行反季节的种植.为此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每亩的费用为650元，此外还要购置喷灌设备，这项费用(元)与大棚面积(亩)的平方成正比例，比例系数为25. 这样，修建大棚后的这部分土地每亩的平均收益比没修前增加了2000元，在扣除修建费后总共增加了85000元. 求修建了多少亩蔬菜大棚？(结果精确到个位，参考数据：1.414)（1）由表格知，与，与均成一次函数关系. 设，将(0，800)、(100，1600)代入： ，解得 ， 设，将(0，3000)、(100，2700)代入：解得 ， .（2） 当=450时取得最大值7260000，=8450+800=4400.答：政府每亩补贴450元可获得最大总收益7260000元，此时种植4400亩. （3）设修建了亩蔬菜大棚，原来每亩的平均收益为726000044001650元.由题意得方程：(1650+2000)-650-25=85000解得=60+1074, =60-1046.070, 46.答：修建了46亩蔬菜大棚.8.（2010金善）今年3月,位于虎溪大学城的龙湖“千万间”公租房项目开始动工。这是一个让人心动的“民生住房账本”未来10年，重庆市将建设4000万平方米的公共租赁房，今年开建500万平方米，3年(2010年-2012年)时间内完成2000万平方米的建设任务。某建筑公司积极响应，计划在今年12个月完成一定的建房任务。已知每平米的成本为1200元，按每平方米1600元的价格卖给政府.该公司平时每月能建2000平方米，为了加快进度，公司采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到提高.这样，第一月建了2200平方米，以后每月建房都比前一月多200平方米.由于机器损耗等原因，每增加100平方米，当月的所有建筑面积，平均每1平方米的成本就增加2元. （，）(1)若全市公共租赁房今年(2010年)到明年的建筑面积增长率就是以后每年的增长率,求此增长率.(2）今年4月份玉树发生了7.1级地震，该公司决定把最近某个月144万元的利润捐给灾区.请问是第几的个月？解：（1）设所求增长率为x，由题意得：500+500（1+x）+500(1+x)2=2000 解此方程得： （不符合题意舍去）答：所求增长率为40%. 4分 （2）设该公司决定把最近某个月144万元的利润捐给灾区.是第y的个月, 由题意得： (2000+200x)(1600-1200-2)=1440000 解此方程得：y1=10 y2=80 （不符合题意舍去） 答：该公司决定把第10个月144万元的利润捐给灾区 9.（2009重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价（元）与月份之间满足函数关系，去年的月销售量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量3.9万台4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了。国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴。受此政策的影响，今年3月份至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）（参考数据：，）解：(1)设Pkx+b，根据题意，得P0.1x+3.8设去年月销往农村的销售金额为W，则即。当时，。(2)去年12月的价格为：5012+26002000。去年12月的销售量为：0.112+3.85。根据题意，得2000(1m)135(11.5m)+1.53936。解得m152.8，m2133.9(舍去)。答：m的值是52.8。10（2012南开二模）香蕉味香、富于营养，常食香蕉不仅有益于大脑，预防神经疲劳，还有润肺止咳、防止便秘的作用。今年三月份从3月1日起，“欣欣”香蕉批发店日销售量（箱）与时间第（天）的函数关系如下表：第（天）1234日销售量（箱）22242628三月份香蕉的销售价格（元/千克）与时间第（天）的函数关系为：（，且取整数）；由于气候变化，四月份该店日销售量（箱）与时间第（天）的函数关系如图所示，销售的价格（元/千克）与时间第（天）的函数关系为：（，且取整数）。已知该店销售的每箱香蕉重25千克，每千克香蕉的成本为2元。（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出三月份日销售量（元）与时间第（天）之间的函数关系式；观察右图，直接写出四月份日销售量（元）与时间第（天）之间的一次函数关系式；（2）请问第几天香蕉日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？（3）进入五月，由于南海局势持续紧张，中国加强了对菲律宾香蕉进口的审查，市场上来自菲律宾的香蕉锐减，受此影响，与4月10日发生“黄岩岛事件”那天相比，5月10日该店的销售量下降了，每千克售价提高了，成本增加了，5月10日的销售利润为3200元。请参考以下数据，计算出的值（结果精确到0.1）。（参考数据：）
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