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高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练之三 数列 C级考点回顾：等差数列、等比数列 一、 课本回顾与拓展1.（P34习题9改编）若（其中为实常数），且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为_. 2.（P41习题8）已知等差数列的首项，公差.（1）此等差数列中从第几项开始出现负数？_；（2）当最小时，求. _3.（P41习题9）三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，则这个数列为_.变：成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，则这个数列为_.4.（P41习题15改编）已知等差数列中，则5.（P41习题16）在等差数列中，已知，（），则=_.6.（P44练习6）在等差数列中，已知，则7.（P45例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm（如图）已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是 米（取3.14，精确到1m）？8.（P47练习4）已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为的等差数列，且最小角为，则它是_边形.9.（P47习题2）求和：=_. 10.（P48习题8）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项的和之比为，则公差等于_.11.（P48习题12）已知等差数列中，则前项和的最小值为_.12.（P55习题13）三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这个数列为_13. （P56例2改编）在等比数列中，已知，（1）求数列的通项公式 _；（2）求_.14. 在等比数列中，若，则= ；若，,则 q= ；15.（P54习题10）在等比数列中，则的值为_.16.（P55习题14）已知等比数列的公比为，且，则的值为_.17.（P62习题8）在等比数列中，则的值为_.18.（P62习题5）求和=_.19.（P68习题15）等差数列中，前项（为奇数）和为77,其中偶数项之和为33,且,则数列的通项公式为_. 20.（P68习题16）是不为0的常数,_. 21.（P68习题17）在等差数列中，已知，（），则的值为_.22. 设Sn是等比数列的前n项的和，若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2, a8, a5成等差数列.变1：写出这个命题的逆命题，并判断其真假；变2：针对原命题，给出一般性结论，并给出证明；变式3：设等比数列的前项和为，公比为（1）若成等差数列，求证：成等差数列；（2）若为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项，若不存在，请说明理由；（3）若为大于1的正整数，试问中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由； 二、典例剖析例1（通项公式的探究问题）（1）（2012年江苏高考题）已知各项均为正数的两个数列和满足：设，求证：数列是等差数列. （2）已知数列前项和为，满足，则数列的通项公式为_.变1：设，则数列通项公式=_.变2：已知数列an满足：a1 = a2 = 1，（），则= 99 等式两边同除an变3：已知数列的前项和（），满足，则数列的通项公式为_.变4：已知各项均为正数的数列前项的和为，数列的前项的和为，且则数列的通项公式为_.例2（数列的单调性问题）数列an满足：a1 = 5，an+1an = ，数列bn的前n项和Sn满足：Sn = 2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项解：（1）令n = 1得a25 = ，解得a2 = 12，由已知得(an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以an+2an0，于是an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2，所以an+1an是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1an = 72(n1) = 2n5，所以an = (anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1 = (2n3)(2n1)75 = n(n4)（2）在 Sn = 2(1bn)中令n = 1得b1 = 2(1b1)，解得b1 = ，因为Sn = 2(1bn)，Sn+1 = 2(1bn+1)，相减得bn+1 = 2bn+12bn，即3bn+1 = 2bn，所以bn是首项和公比均为的等比数列，所以bn = ()n.从而anbn = n(n4)()n设数列anbn的最大项为akbk，则有k(k4)()k(k1)(k5)()k+1，且k(k4)()k(k1)(k3)()k-1，所以k210，且k22k90，因为k是自然数，解得k = 4所以数列anbn的最大项为a4b4 = 变：数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是_ 例3（数列中的子数列问题）已知数列an满足（）.（1）若数列an是等差数列，求的值；（2）当时，求数列an的前n项和；（3）若对任意，都有成立，求的取值范围解析：（1）若数列是等差数列，则(n1)d，nd由4n3，得(nd)(n1)d4n3，即2d4，d3，解得d2，（2）由4n3(n)，得4n1(n)两式相减，得4所以数列是首项为，公差为4的等差数列数列是首项为，公差为4的等差数列由1，2，得1所以(kZ)当n为奇数时，2n，2n3()()()19(4n11)2n2n当n为偶数时，()()()19(4n7) 所以(kZ)（3）由（2）知，(kZ)当n为奇数时，2n2，2n1由5，得16n10令16n106当n1或n3时，2，所以2解得2或1当n为偶数时，2n3，2n由5，得16n12令16n124当n2时，4，所以4解得1或4综上所述，的取值范围是，例4 （数列中的有界性问题） 数列满足，且若对于任意的，总有成立，则a的值为 . 或1.变：数列满足：是整数，且是关于的方程的根.（1）若，且时，求数列的前100项和S100；（2）若，且，求数列的通项公式解：（1）由an+1an是关于x的方程x2( an+12)x2an+10的根，可得：，所以对一切的正整数，或， 若a14，且n2时，4an8，则数列an为：所以，数列an的前100项和；（2）若a18，根据an（nN*）是整数，anan1（nN*），且或可知，数列的前6项是：或或或或因为a61，所以数列的前6项只能是且时，所以，数列an的通项公式是：例5（数列中的分类讨论）已知函数为二次函数，不等式的解集为且对任意的恒有.（1）求的解析式；（2）若数列满足,求数列的通项公式；（3）设,在（2）的条件下，若数列的前n项和为求数列的前n项和.变：已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 . 例6（数列中的不等关系）（1）等差数列与等比数列中，则（2）已知公差不为零的正项等差数列an的前n项和为，正项等比数列bn的前n项的和为，若.（以上两题均用不等号连接）变1：设是数列的前n项和，对任意总有 求数列的通项公式； 试比较与的大小；当时，试比较与的大小 变2：已知等差数列的首项，公差，前n项和为，设m，n，pN*，且（1）求证：；（2）求证：；例7.（简易数论问题）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1）若，是否存在，有说明理由； （2）找出所有数列和，使对一切,并说明理由. 变：设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列.（1）若，是否存在，使？（2）数列中，若，公比，且，仍是中的项，则 .（3）满足试证明任给,总存在使成等比数列. 三、自主练习1. 设首项为-20的数列为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差的取值范围是_. 2. 设Sn为等差数列an的前n项和，已知S5 = 5，S9 = 27，则S7 = _ 3. 等差数列an前n项和为Sn.已知am1am1a0，S2m138，则m_.104. 已知数列满足，（），则当时， _ _ .5 已知设，则6. 已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时， . 197. 已知等比数列公比，且，则满足不等式的最大正整数的值为 . 78. 等差数列an和bn的前n项的和分别是 Sn和Tn，且，则=_，=_.9. 设等差数列的前项和为，若，且，则的值为 10. 已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有 则当时， 91011 已知是等差数列，对于给定的正整数， ，则的最大值为_.12. 设是从1,0,1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为 . 713. 设为数列的前项之和.若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值为_14. 一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为 .15. 已知数列满足对任意的都有且.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知首项为的数列的前项和为，若对任意的正整数，都有. （1）证明：数列是等差数列；（2）若，数列的首项为，第项是数列的第项，求证：数列为等比数列；（3）若对（2）中的数列和及任意正整数，均有成立，求实数的最小值. 17. 数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）当时，是否存在互不相同的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设为数列的前n项和若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围解：（1）当时，由 得 - 得，所以（）因为，所以（）（2）当时，若存在成等比数列，则由奇偶性知所以，即，这与矛盾故不存在互不相同的正整数，使得成等比数列（3）18. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. 当时，求的数值；求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列19. 已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为.（1）求数列的最大项和最小项；（2）判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；（3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列解：（1）(1)当n是奇数时，, 单调递减，,(2)当n是偶数时，, 单调递增，；综上，当n=1时，; 当n=2时， （2），则当时，；当时， 又，的最大值是中的较大者.，因此当n=12时，最大. （3）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.当n是奇数时，调整为.则，成等差数列； 当n是偶数时，调整为；则，成等差数列；综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.14分 n是奇数时，公差；n是偶数时，公差.无论n是奇数还是偶数，都有，则，因此，数列是首项为，公比为的等比数列. 20. 首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（1）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；（3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.解：（1）证:因为对任意正整数，总成立,令，得,则令，得 (1) , 从而 (2),(2)(1)得：,综上得,所以数列是等比数列（2）正整数成等差数列，则,所以,则 当时， 当时， 当时，（3）正整数成等比数列，则,则,所以， 当,即时， 当,即时， 当,即时，
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