平面向量数量积的坐标运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复习与回顾,一、向量的,数量积的定义,:,0,二、平面向量,数量积的运算律,:,向量 和实数 ，则向量的数量积满足：,数乘结合律,:,分配律,:,交换律,:,(2),（,3,）,（,1,）,数量积重要性质,:,|a| cos,ab=|a|b| cos,设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量，,是 与 的夹角，则,:,（,3,）当 与 同向时，, =,当 与 反向时，, =,（,5,）,| |,（,4,）,cos,=,平面向量数量积的坐标表示,二、新课讲授,问题展示：,已知,怎样用,的坐标表示,呢？请同学们看下,列问题,.,设,x,轴上单位向量为,，,Y,轴上单位向量为,请计算下列式子：,=,=,=,=,1,0,0,1,那么如何推导出 的坐标公式,?,解：,这就是,向量数量积的坐标表示,。由此我们得到：,两个向量的数量积等于它们对坐标的乘积之和。,已知：,这就是,A,、,B,两点间的距离公式,.,探讨合作,1,:,已知 如何将 用其坐标表示？,结论,1:,若设,如何将 用,A,、,B,的坐标表示？,探讨合作,2:,结论,2:,结论,3,：,探讨合作,3:,非零,向量 它们的,夹角 ，如何用坐标表示,.,若 你又能,得到什么结论？,:,与,的区别。,例,1.,设,a,= (3,1),，,b,= (1,2),，求,a,b,，,|,a,|,，,|,b,|,，和,a,b,的夹角,解：,a,b,= (3,1) (1,2)=3+2=5.,所以,=45,|,a,|=,|,b,|=,cos =,例,2,：已知,A,（,1, 2,）,B,（,2,3,）,C,（,2,5,）,求证,ABC,是直角三角形,.,想一想：还有其他证明方法吗？,证明：,所以,ABC,是直角三角形,变式：要使四边形,ABDC,是矩形，求,D,点坐标,.,变式：,所以,k,=,（,2,）由向量垂直条件得,7(,k,2),3=0,所以,k,=,例,3.,已知,a,=(1, 0),，,b,=(2, 1),，当,k,为何实数时，向量,ka,b,与,a,+3,b,（,1,）平行；（,2,）垂直。,解：,ka,b,=(,k,2,1),a,+3,b,=(7, 3),（,1,）由向量平行条件得,3(,k,2)+7=0,例,4,：求与向量 的夹角为,45,o,的,单位向量,.,分析：,可设,x=,（,m, n),只需求,m, n.,易知,再利用 （数量积 的坐标,法）即可！,解：,设所求向量为,由定义知：,另一方面,由，知,解得：,或,或,说明：可设 进行求解,.,由,练习,:,已知,a,=(4,2),，求与,a,垂直的单位向量 。,解：设所求向量为,(,x,y,),则,解得,所求向量为,四、演练反馈,B,1,、若 则 与 夹角的余弦值,为,（ ）,2,、已知：,求证：,答案：,四、,小结,1,、数量积的坐标表示,2,、垂直的条件,作业,:,三维设计以及小页,课下思考：,2.,已知,ABC,的顶点坐标为,A(2,，,-1),B(3,，,2) ,C(-3,，,-1),BC,边上的高为,AD,，求,D,点及 的坐标,.,1 .,练习：,1,若,a,=,0,，则对任一向量,b,，有,a,b,=,0,2,若,a,0,，则对任一非零向量,b,有,a,b,0,3,若,a,0,，,a,b,=,0,，则,b,=,0,4,若,a,b,=,0,，则,a,b,中至少有一个为,0,5,若,a,0,，,a,b,=,b,c,，则,a,=,c,6,对任意向量,a,有,（,1,）,（,3,）,（,4,）若 ， 则对于任一非零 有,（,2,）,（,5,）若 ，则 至少有一个为,（,6,）对于任意向量 都有,（,7,） 是两个单位向量，则,（,8,）若 ， 则,练习：,