初中代数教材培训.doc

代数2介绍嘉宾 戴志鸿（高级），陈娟（高级），李克强（中级）A：各位老师，大家好！前面我们主要探讨了代数内容中有关运算、模型的问题。本专题主要谈论代数内容中的一个核心主题函数。函数是初中代数的一个核心学习内容。在课程标准中，它实际上贯穿在整个义务教育的课程内容之中。下面我们主要按照初中函数的具体内容：一次函数、反比例函数、二次函数的顺序做相应的探讨。 陈老师，请你就一次函数的学习谈谈相应的问题。B 一次函数的学习不能仅仅着眼于解决几道题目，而应不断加深对相关数学思想方法的领会。数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的理解和感悟。结合函数内容学习可以对数形结合的方法顺势自然地理解，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位。我们知道一次函数与反比例函数和二次函数明显不同的是：它是均匀变化的，即在自变量的取值范围内函数值始终随着自变量的增大而增大（减少）。这一特点从从图象上看非常明显直线：y对x的变化率是均匀的，即k值是恒定的。 教学方法本身就是千变万化的，没有固定的模式和方法，要注意的是，不同的方法往往会产生不同的效果。例如一次函数的学习，我们可以利用解析式y=kx+b简明、精确地反映两个变量y与x的函数关系，例如，当汽车的速度一定时（如90千米/时），行驶的路程S与时间t的关系就可以用S=90t来表示；也可以用表格具体、明确地描述，但都没有用图像来描述来得直观、方便。例如，需要展示图象。一次函数两个变量间的变化规律，从图像上看就显得非常直观形象，清晰明了；如，要说明什么时候函数值y大于0时，表格上未必能找到，解析式上要通过解不等式才能得出，而从图像上能清晰地看出当x大于或小于某个数时，y大于0；又如比较两个函数值y1、y2之间的大小关系时，三种情况（大于、等于、小于）一目了然；例如，某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书金额y(元)与租书时间x(时)之间的函数关系分别为：y1=0.3x+20，y2=0.5x，试问用哪一种方式租书更合算？这里要分三种情况讨论，在未学不等式的情况下，要解决这个问题，对学生来说应该很有难度的，而且即使解决了，也是模糊的，粗略的。但如果把它们对应的图像画出来，如图所示：从图像上可以很快很明确地看到当租书时间t在0t100时，租书卡合算；当t=100时，两种花费一样；当t100时，会员卡合算。而要理解解析式中k、b的意义时，通过图像可以从不同的角度加强对它们的认识和理解，从k、b代表抽象的两个待定系数，变成反映直线与x轴的夹角的大小（与的有关）和直线与y轴交点的位置。更为重要的，在实际问题中，还能反映出它们的实际意义，如：在路程s与时间t的关系s=60t+40中，60就代表速度，40代表出发前与出发地已有的路程。在消费额y与购买数量x的关系y=2.2x中，2.2就代表着此次购物的单价，等等。这样学生对k、b的认识更为具体化形象化。在此基础上，再解决一些相关问题时，就会显得轻而易举。例如：例1、如图（1）是某公共汽车线路收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏根据这两种意见，可以把图（1）分别改画成图（2）和图（3）（1）说明图（1）中的点和点的实际意义（2）你认为图（2）和图（3）两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的与的大致函数关系图象（万人）（万人）（万元）图（1）1.5（万人）（万元）图（2）1.5（万元）图（3）1.5（万人）（万元）图（4）1.5学生初看这个问题，还是很有难度的，但如果学生了解了k、b的实际意义（k代表票价，b代表运营成本），那所有问题都迎刃而解。k的绝对值越大，直线与x轴的夹角也越大，也就是票价越高，b的绝对值越大，直线与y轴的交点越往下，也就是成本越高。A 提及解析式的优势。转到反比例函数，介绍C的话题二、反比例函数 C 一、多重教学目标1、知识技能层面的目标（1）能画出图象，根据图象和解析表达式理解反比例函数的主要性质。（2）能依据条件确定反比例函数，能利用反比例函数的性质解决实际问题。2、 学习过程的目标：（1）经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程。在情境中领会数学模型的意义。 （2）经历反比例函数的图象生成过程，体验数形结合的思想。3、能力发展的目标：（1）提高观察、归纳、分析的能力。（2）能从具体问题中抽象出数学概念的能力。4、学科思维、数学方法方面的目标：领悟函数的概念，积累研究函数性质的方法，领悟用函数观点处理实际问题的基本思路。二、教学过程中的注意点1、通过对比，引导学生观察、分析、总结出反比例函数与一次函数的不同之处。在学生已有的函数知识基础上，建构新的函数性质，积累研究函数方法，丰富对函数的认识。反比例函数的性质与一次函数有较大的区别，从图象上看，一次函数的图象是直线，反比例是曲线，并且与坐标轴没有交点；从表格中看，自变量x为等差变化时，因变量y不是等差变化；在表达式的分析中，一次函数表示的是均匀变化规律，而反比例函数体现的是非均匀变化。通过对函数的三种表示方式中比较一次函数、反比例函数，让学生积累研究函数性质的方法，了解反比例函数的性质。例1：（1）兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：出视频：兄（y）2928272625242322321逐渐减少弟（x）12345678272829逐渐增多写出兄吃饺子数与弟吃饺子数x之间的函数关系式（不要求写的取值范围）.虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数()在减少，但与x是成反例吗？例2、水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速v与全池水放光所用时t如下表：用时t（小时）10521逐渐减少出水速度乙（吨/小时）12345810逐渐增大写出放光池中水用时t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系.这是一个反比例函数吗？这里设计两个例题，通过类比两个变量之间的变化规律的分析，理解反比例关系的实质。2、实现多种教学目标，必须注重教学过程中给学生充分的时间和空间。在第一课时，采用小组讨论的方式，举出生活中存在的具有变化规律的事例，再抽象成数学模型，分析讨论是否是函数关系，能不能将其分类，有没有共性等。在讨论过程中，让学生用数学的眼光观察生活，提高观察、归纳、分析的能力。在举例过程中老师要注意引导学生举例要健康、积极、涉及面广，避免出现狭窄的、单一的事例。开始时允许学生所举事例不一定是反比例关系，在及时总结、抽象出反比例函数概念后，再让学生列举反比例函数的情境，同时分析一些生活常识，渗透反比例函数的有关性质。在介绍反比例函数概念后，要关注学生不拘泥与实际背景，变量的取值范围的考虑。用流程图显示。 在画反比例函数的图象时，类比一次函数、正比例函数图象的画法，通过列表、描点、连线等步骤让学生经历反比例函数图象的生成过程，感受函数图象的多样性。领悟直线和曲线的区别，通过在画图过程中，对表格中数据的变化规律的感受，在连线过程中，图象的发展趋势等感受反比例图象的性质。为解决学生画图难的问题，可以给学生发放足够大的方格纸，只需建立直角坐标系，列表、描点、连线就可以了。在教学过程中，教师要避免越俎代庖，完全可以放开手脚让学生探索，再交流画图感受、经验，发挥同伴之间的影响。 例3、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。（1）求I与R之间的函数关系式（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；例4、已知力F所作的功是15焦,则力F与物体在力的方向上通过的距离S的图象大致是如图中的( )例5、一定质量的氧气,它的密度P(kg/m3)是它的体积V( m3) 的反比例函数, 当V=10m3时,p=1.43kg/m3. (1)求p与V的函数关系式;(2)求当V=2m3时求氧气的密度p. 这一组跨学科的题目，可以组织学生预先熟悉，在课堂上提供学生介绍相关知识的机会，提高学生兴趣。 在探究反比例函数图象性质的教学中，教师要引导学生类比一次函数研究的方法，从哪些方面观察，从而积累研究函数性质的方法。允许学生用自己的语言描述发现，再统一成规范的数学语言，让学生体验数学语言的严谨和简洁。反比例函数图象的对称性、面积不变性等都可以由学生总结得到。例6 、设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，则的取值范围是_yxoyxooyxyxo例7、如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数关系用图象表示大致（ ）A B C D考虑实际问题中变量的取值范围。例8、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围 分析解题的途径，考虑多种方法：待定系数法，图像法；还可以变式训练：一次函数的值小于反比例函数的值地x的取值范围。例9、某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: _, 自变量x 的取值范围是:_,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?3、多媒体教学手段在教学过程中的合理使用。 随着教学手段的现代化，许多抽象的数学问题都可以通过多媒体形象、具体的展示出来，但有时多媒体又代替了学生思考的过程，掩盖数学研究的方法，成为另一种形式的灌输性教学。在函数教学部分，既要充分借助多媒体的优势，帮助学生理解函数性质，又要注意让学生经历必要的过程，如体验探究函数性质的过程。 在开始形成反比例函数概念和探索性质时，让学生通过列表、描点、连线等步骤让学生经历反比例函数图象的生成过程，感受函数图象的多样性。在掌握研究函数的方法，初步认识反比例函数图象后，可以借助几何画板，迅速画出反比例图象，研究比例系数k对函数图象的影响，研究图象的面积不变性，（反比例函数图象上任取一点P，过点P作坐标轴的垂线，构成的矩形面积是定值），从而突出教学的重点是探索图象性质，而不是画图象，充分发挥多媒体教学手段的优势。 4、在运用反比例函数性质解决实际问题时，要给予充分的情境，强化用函数观念处理实际问题的基本思路，不能简单地变成求代数式的值或解方程的课，解方程或求值计算毕竟是数学内部的知识，不应该是这一章的主要内容。这一章的重点应该是由实际问题抽象成数学模型，运用数学模型解决实际问题。 5、关注学生的逻辑思维发展，提升学生使用抽象符号的能力。 这一章的学习是建立在学生学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容的基础上，学生对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数及其性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，并对后继学习会产生积极的影响。北师大版教材把反比例函数安排在九上，此时学生已经有电学、力学部分的知识作背景，教材安排由实例抽象、概括成反比例函数的表达式，借助实例丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。在探索函数的图象与性质时，逐步明确研究函数的一般要求。反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间。通过对反比例函数图象的全买呢观察和比较，发现反比例函数自身的瑰丽，结合语言表述，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力，同时使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质。 A 那么，在反比例函数的学习过程中，学生较为常见的困难有哪些，怎样处理？D 三、对学生活动中难点的处理 列表、描点、连线画函数图象，是第一难点；可以通过发方格纸，总结列表时数据的选择等方式不断总结画图方法，积累经验；从函数图象中获取信息，对单个函数图象可以从图象所在的象限、增减性等方面观察，对反比例函数与一次函数的组合图象，可以借助不等式、不等式组等知识，理解大于、小于的几何意义；对解决实际问题时，可以借助生活经验理解图象寻找信息，同时理解函数图象与坐标轴无交点的实际意义。 A 二次函数也是初中学习的一个重要内容。下面我们请李老师谈谈有关的教学问题。 B三、关于二次函数应用问题的教学 二次函数应用有关的课标要求1、 会根据公式（不要求记忆和推导）确定二次函数图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。2、 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。3、 应进一步感受在同一平面直角坐标系中，图形变换与图形上点的坐标变化之间的关系；4、 会用计算器完成较为复杂的计算和探索规律的活动； 北师大教材研究了二次函数的概念、图像和基本性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。在九年级（下）第二章二次函数的第六、第七节以四个探究性问题为例，探讨二次函数在生活实际中的主要应用。由于二次函数是研究某些单变量最优化问题的常用数学模型，所以课本首先展示了从数量关系分析入手，把实际问题数学化，进而求出最优解的全过程，如求（窗户透光）面积最大、利润（T恤衫销售）或产量（橙子）最大、能耗最小等。其次，从“形”上看，二次函数的图像抛物线是人们常见曲线之一，抛物线型拱桥、抛物线型隧道、美丽的喷泉、铅球的投掷、跳远、跨栏运动等都与抛物线有关，怎样研究它们？研究的价值是什么？课本给出了一些案例。许多问题看起来不是数学问题，但去粗取精、去伪存真，找出影响事物性质的主要因素后，就有可能把它抽象成为数学问题。把实际问题数学化，首先要深入了解实际问题的背景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。在研究二次函数问题时，我们都曾这样做过。如果能把一个实际问题中的数量变化及其关系抽象成为一个二次函数，我们就可以结合函数的图象和性质，利用方程和不等式作为工具来解决问题；如果实际问题中涉及的是抛物线形状的“形”，那么我们就设法建立平面直角坐标系，写出与“形”对应的二次函数关系式，然后再根据有关二次函数的知识解决问题。需要指出的是，这样得到的数学问题的解，应当检验它是否符合实际。 如果符合，那么要对解的意义做出解释；如果不符，就要适当调整，或重新审视实际问题，重新将它数学化。 出几个主题词？ 例1：某电器租赁公司有同一型号的电器设备10套经过一段时间的经营发现：当每套电器设备的月租金为50元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套电器设备的月租金每提高10元时，这种电器设备就少租出一套，且没租出的一套电器设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元设每套电器设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号电器设备的月收益（收益租金收入支出费用）为y（元）（1）用含x的代数式表示未出租的电器设备数（套）以及所有未出租电器设备（套）的支出费用（元）； （2）求y与x之间的二次函数关系式； （3）请把（2）中所求出的二次函数关系式配方成的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号电器设备的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）未租出的设备为套，所有未出租设备支出的费用为（2x100）元；（2）（3） 当x65时，y有最大值552.5但是当月租金为65元时，出租设备的套数为8.5套，而8.5不是整数，故出租设备应为8（套）或9（套）。即当月租金为70元（租出套）或月租金为60元（租出9套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为520元。这里的第三问，理论上的最大值却不是实际最大值。一定要考虑到出租设备应为整数套。学生在解决这个问题时，有时考虑不到这一点。例2东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价l2元只，售价20元只为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低O.10元(例如某人买20只计算器，于是每只降价O.10(20-10)=1元,就可以按19元只的价格购买)，但是最低价为16元只(1)求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买?（2）一位顾客一次购买了若干只计算器，专卖店共获利润180元，请你求该顾客所购买的计算器的数量。X只4041424344454647484950利润（元）200200.9201.6202.1202.4202.5202.4202.1201.6200.9200（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专实店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元只至少要提高到多少?以下是小丽在探索该问题时所列的计算器数量与利润关系表格的一部分，请你根据表格继续探索，并回答第三问。解：设顾客购买了x只计算器（1）20-0.1(x-10)16,x50(只);(2) 20-0.1(x-10)-12x=180 x2-90x+1800=0 x1=30, x2=60最低价时可买50只x2=60不合题意,舍去(3) 20-0.1(50-10)-1250=200 (元) ； 20-0.1(46-10)-12 46=202.4 (元)200 (元) 202.4 (元)从表格可以看出,卖45只的利润为202.5元,最大.以45只的利润为分界点向两边逐渐减小。所以只要把最低价定为可卖到45只为止，即20-0.1(45-10)=16.5 (元)。卖超过45只,就按照售价20元一只.这样就会每次卖得多赚钱也多。本题如果从解析法的角度理解起来就更容易了。设利润为y元.则y=20-0.1(x-10)-12x =-0.1x2+9x =-0.1(x-45)2+202.5再画出它的示意图象,直线x=45就是对称轴;根据二次函数的增减性就更容易理解这个问题了。这道题的第三问，学生可以从表格中体现的函数关系，找到问题的解答，但是学生却忽略了利用二次函数的图象来理解和感受这道题，达不到以形助数，数形结合来深化探究的目的。可见在解决实际问题时，表格、图象、解析法、文字信息要共同作用，才能发挥二次函数的威力。例3：已知：抛物线线y=x2+（2n-1）x+n2-1（n为常数），（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设点A是在（1）所确定的抛物线上，且位于x轴下方，又在对称轴左侧的一个动点，过点A作x轴的平行线，交抛物线线于另一点D，再作ABx轴于点B,DCx轴于点C。当BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值；如果存在，请求出这个最大值，并指出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）n2-1=0，n=1。n=-1，y=x2-3x（2） 设B（m，0）,则C（m+1，0），A（m，m2-3m），D（m+1，m2-3m），将点D（m+1，m2-3m）代入y=x2-3x，得m=1，求得AB=2，周长为6。存在。设B（m，0）,则C（3-m，0），A（m，m2-3m），设矩形ABCD的周长为S，则S=2（AB+BC）=2（| m2-3m|+3-m-m）=2（3m- m2-2m+3）S=-2m2+2m+6= -2（x-0.5）2+6.5,最大值为6.5,A(0.5,-1.25)也可设C(m,0),则B（3-m，0），D（m，m2-3m）,A（3-m，(3-m）2-3(3-m)，设矩形ABCD的周长为S，则S=2（AB+BC）=2（| m2-3m|+ m +m-3）=2（3m- m2+2m-3）S=-2m2+10m-6= -2（m-2.5）2+6.5,最大值为6.5,A(0.5,-1.25)也可设BC=m,从而建立另一个不同的二次函数关系式但最终仍会得到矩形ABCD的周长的最大值为6.5，及A(0.5,-1.25)。一般来说，被求的量通常作为应变量来对待。自变量的选取可能有很多种。但是要选一个简单且易于用它来表示其它的量，就是一个我们要仔细斟酌的问题。自变量选取的不同，导致二次函数关系式就会不同，同时难易程度也会有别。具体地说，建立函数关系式，处理最值问题的一般途径：（1）确定目标函数和自变量x（2) 把自变量x看成已知量，与其它已知量共同作用，求出函数y；或功与其它已知量共同作用列出x，y的方程，再变形成标准函数关系式（3）求出目标函数的最值（4）注意自变量x的取值范围，根据问题的实际意义，给出解答 出视频？ A：刚才李老师给我们介绍了。C老师，能否结合一些具体的练习谈谈教学过程中的一些注意点？C 练习变通练习1 小华想在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为80米的木栅栏围成一块园地。 出视频，求解过程省略。 关键是解释问题的意图!（1）小华的方案如图所示围成一块矩形园地设靠墙的一边长为 x 米，要想使园地的面积达到600米2，那么该矩形园地的长宽各是多少？设矩形园地的面积为y米2，请写出y与x的函数关系式，并求出何时园地的面积最大？最大面积是多少？ xx解:(1) 由题意，得 (802x) x=600 解得，x1=10，x2=30 当x1=10时，802x =60；当x2=30时，802x =20所以，该矩形园地的长是60米，宽是10米；或长是30米，宽是20米 设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(802x)米由题意，得y= (802x) x=2x2+80x=2(x-20)2+800 所以，当x=20时，y最大值 =800 所以，当x=20米时园地的面积最大，最大面积是800米25分6060202020xx 练习2函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），直线l与该函数图象交于A、C两点，其中点C的横坐标为2。(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数关系式；(2)P是线段AC上的动点，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象交与E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是二次函数图象上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有满足条件的点F坐标；若不存在，说明理由。解（2）设P的横坐标为m，PE=-（m-1/2）2+9/4，PE的最大值为9/4。（3）F1（2，0），F2（-2，0），F3（4+，0），F4（4-，0）Oyx练习3 某游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施. 若不计维修保养费用, 预计开放后每月可创收33万元. 而该游乐设施开放后, 从第1个月到第个月的维修保养费用累计为(万元), 且; 若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益W (万元), W也是关于的二次函数，若维修保养费用第1个月为2万元, 第2个月为4万元。 (1) 求关于的解析式；(2) 求纯收益W关于的解析式；(3) 问设施开放几个月后, 游乐场的纯收益达到最大? 几个月后, 能收回投资?错误1：把第1个月为2万元, 第2个月为4万元，即x1,y2；x2,y4带入解析式求解。错因：阅读理解失之偏颇。粗心大意，读题不仔细，将“维修保养费用累计” 误解为“某时间段维修保养费用”。造成这一错误，一方面可能是由于长期的机械练习形成了解题的思维定势：看到题目中的，和数据x1,y2；x2,y4，就不加思索，用待定系数法；另一方面，有的同学考试比较紧张，害怕时间不够，在读题上花的时间不多，匆匆浏览，未看清关键词即仓促下笔。错误2：认为纯收益创收维修保养费用，得纯收益W33（）。错因：将新定义“将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益”中的“ 投资”漏掉，忽略了还要把“投资150万元”要去掉。思考:这个问题阅读时的“陷阱”在哪?由于应用题具有灵活性强、难度大、要求高等特点，学生在思想上对其有排斥倾向，心理上有强烈的畏惧感。根本原因是许多学生缺乏把实际问题转化为数学问题的能力。平时他们只是机械地模仿简单的应用题的套路，一些熟悉的应用题，一看便知是什么类型，但遇到一些文字叙述较长、与平时练习有细微差异的字句，极易被这些设置“隐秘”的“陷阱”迷惑，只是凭借感觉与记忆想当然地解题，往往造成大错。这除了思维惰性，更主要是由于知识面狭窄，不理解问题中的概念所致。根本原因是缺乏解决实际问题的综合能力。这个问题阅读时的“陷阱”其实是几个重要的词,如“累计” “扣除”等.问题1如何培养学生主动提出问题？何谓“问题”？问题是指主体想做某件事，但又不能即刻知道做这件事所需采取的一系列行动的情境。问题一般有三要素：起始状态、目标状态和障碍, 障碍是起始状态转变为目标状态的一种阻止。这三者是有机结合，没有障碍便不成问题。所谓“提出问题”是指学生在数学活动中，针对学习或研究的对象，自主认识并提出我需要达到什么目标（结果）？已有条件是什么？困难（障碍）是什么三个要素，并用清晰、准确的数学语言把它表示出来的一种行为或能力。一次问学生“你学习数学有什么成功的经验”这一问题时，极大部分同学回答：“多做练习题，提高解题速度”。“把一些不清楚的概念知识弄清”。“上课要跟上老师思路，充分利用课堂时间”。“多看参考书上的解题过程，掌握多种解题方法”，“注意归纳一种类型问题的解决方案”。几乎没有学生涉及到如何发现问题，提出问题之类的想法。在回答“学习数学最大的困难”时，许多学生回答“解题没有思路”或“经常出现计算错误”。“回答不出老师的提问”等。由此可见，主动提出问题的意识是非常薄弱的。问题2教师如何进行应用题的教学？近年来的中考题中，应用题的内容及形式不断翻新，摆脱了原有的陈旧模式，题目涉及面广、综合性强、难度大，它要求学生必须具有更扎实的综合基础知识、更快捷的阅读能力和更有效的理解、分析、判断能力。当前教学存在的现状：过多的机械式训练使学生思维僵化。有的教师为追求课堂效率，常就题论题，强化解决问题的常规思维，反复操练，使学生形成了不良的思维定势，以致解题时灵活不足，死板有余。不重视解决应用问题能力的培养。由于很多应用题实际背景复杂、难度大，一些教师对学生缺乏信任、对学生能力估计过低，教学上放不开，常将应用题的实际背景删去，教学多系自己讲解为主，学生自主阅读、分析活动少，因而学生是“听起来懂，做起来难”。许多学生一碰到有新背景、新概念的应用题，题还没读、就被题吓倒，根本谈不上读题、理解、转换、建模、反思等能力的训练，有的总是停留在模仿操练的低水平上，谈不上迁移模仿，更谈不上创造性模仿。缺乏对影响应用题学习的非智力因素的培养。很多学生从小怕学应用题，对应用题学习根本无兴趣可言。良好的学习兴趣是学习活动的自觉动力，但许多教师未能引起重视。在应用题教学中，有些教师只能死盯教材、复习用书上有限的几道题目，不管难易、不根据学生实际，将题目做完算数，不会切实设计有利于激发学生兴趣的应用问题和实践活动。因此学生对应用题无兴趣、无信心，应试心理素质差。A 那么，面对这些问题，我们有什么可以推荐的有效做法呢？下面请。老师介绍一下。D 尝试改进应用题的教学策略(1)挖掘现有素材,应用进行变式改造在应用题例题、练习设计时，教师应做到设计梯度合理、难度适宜，坚决舍弃无思维训练价值的题、合理改编大量相似题型，使题目在训练学生思维方面产生更好的效果。比如一题多问、变式训练、改题编题都能较好的发挥现成资源最大效能，促成学生的有效学习。如:上面练习1,可以这样变式训练变式1：如图1，用长为80米的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形苗圃.设矩形的纵边为x米，面积为y 米2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 图1 图2 图3变式2：将苗圃改为一面靠墙，并在与墙平行的一边开一道1 m宽的门（门不用篱笆做材料），其余条件不变，当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？变式3：若围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃，且墙的最大可用长度为10m，当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？变式1从一面墙变成了两面墙,自变量及相关的代数式表示都要有所变化.变式2数量关系略微复杂，但有原题为基础，学生能抓住问题关键在于正确表示出矩形苗圃的横边长。变式3除了已知纵边，表示出横边建立目标函数外，还需分析出自变量的取值范围才能正确求得最大值。三个小题由浅入深，层层递进，每一小题为后一题做好铺垫，这种一题多变的设置能使思维能力一般的学生得到很好的训练。（2）、重视课堂设计活动，培养学生探究应用能力应用题探究活动即：在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题的过程，这一过程需要给学生充足的时间探索、适度的空间交流。如:上面练习1,可以这样设计探究训练：探究：（2）如果可以改变园地的形状，围成的面积会更大吗？请你设计一个面积更大的方案。（画出图形，计算出更大面积）6060202020解：（2）以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、）的一半比如正六边形的一半（如图）， S= =9237米2围成半圆面积最大，最大的面积为：10191米2 再如:练习4 一种可食用的野生菌，上市时，外商按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨一元，但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用法合计310元，而且这种野生菌在冷库中最多可以存放160天，同时，平均每天有3千克野生菌损坏不能出售。(1)设x天后每千克野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式。(2)若存放x天后将这批野生菌一次出售，设这只野生菌的销售总额为P，试写出P与x之间的函数关系式。(3)外商将这种野生菌存放多少天后出售，可获得最大利润Y元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）解 (1).由题意得x与y之间的函数关系式y=x+30(1x160)，且x为整数）(2).由题意得P与x之间的函数关系式P=(x+30)(1000-3x)=-3x2+910x+30000(3).由题意得W=(-3x2+910x+30000)-301000-310x=-3(x-100)2+30000当x=100时，W最大=30000100天160天存放100天后出售这批野生菌可获最大利润30000元 函数试刻画现实生活中某些变量问题的有效数学工具，借助于函数模型能使我们更加清楚地认识变量之间的关系，应用函数解决实际问题试中考必不可少的内容。本题理解好野生菌的市场价格将以每天每千克上涨一元，所以野生菌市场价格为y=x+30，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售，根据销售总额=单价销售量可知P=（x+30）(1000-3x)，可获得最大利润实际是根据“利润=销售总额-收购成本-各种费用”求出W与x的函数关系式，然后利用配方求二次函数的最大值，注意判断x是否在自变量的取值范围内。但是由于题目数量关系比较复杂，学生在探究时会出现各种错误的理解，教师在碰到这种问题时，不能急于求成，看到学生不会做就开始讲解。应让学生交流各自的理解和解答，分析题目的背景关系、数量关系、问题求解的目标等等。并且应将学生的错解作为课堂的生成资源，如让学生解释y=（30 +x）1000- 310x或y=（30 +x）（1000-3x）-310x或y=（30 +x）1000-310x-301000等错误式子的实际意义。通过探索、交流活动，学生能获得解题成功的经验和失败的教训，如果经过长期的训练，必定形成一种较强的问题转换能力。当然，学生的探究能力存在差异，因此问题探究后，教师必须作出及时的小结，指明同类问题解决的方向、方法及学生探究过程中存在的疑问。如：上题中解决问题的方向是确定目标函数，然后由目标函数寻找条件，理清条件中的各数量关系，具体可用列表法（见下表）。教师的小结为学生理顺了不畅的探究过程，更为今后的探究解题指明方向。背景关系数量关系收购价格（单位：元）30销售单价（单位：元）30+x销售量1000 3x支出费用310 x利润=销售总额收购成本各种费用Y=（30 + x）（1000-3x）-30000 - 3100x（3）、把课外实践活动充分利用起来 重视课外实践活动。因为数学应用题背景千变万化，有些知识背景的意义不是教师课堂教学所能全部传授的。而对相关知识的不理解，必然阻碍探究活动的进展。因此，应用题教学的时空范围，应突破课堂和教室这狭窄的时间和空间，更多地融入社会。在教学实践中，教师应给学生布置一些切实可行的专题调查任务，促使学生参加课外实践。如，向家人了解或查阅你家支付电费，或水费，或其它费用的收据、帐单等。这些费用是怎样计算的？请用适当的代数式表示，然后把得到的结果在班里交流。某商店某一类商品每天纯利润的增减情况；二年期的银行存款，一年一年存和二年一存之间的关系等。 这些实践活动的开展，既可以扩大学生的知识面，让学生真正了解折扣、费用、利润、利率、折旧、税率等常用的经济生活知识，有一定的知识储备，又培养学生自主解决问题的习惯，真正培养应用能力。（4）平时应用题学习中教师应有意识地渗透心理训练 （1）要细心阅读、认真理解 第一，略读识大意。许多应用题文字比较多，信息量比较大。遇此不要惊慌失惜，要做好充分的心理准备，先快速地浏览一遍，了解题目的大意：题目叙述的是什么问题，条件是什么，求解什么，涉及哪些基本概念。同时，教会学生手脑结合，一边读，一边记，一边画出相应的示意图。便于查看，避免信息的遗漏。第二，再读抓关键。题目中关键词语和重要语句往往是重要信息所在，仔细辨析异同，是综合认知的出发点。因此，教会学生在略读识大意的基础上逐字、逐词、逐句进行研读，弄清含义及其相互之间的联系。比如，“至多”、“至少”，“都是”、“不都是”，“增加了”、“增加到”，“累计” 等词语在解题中的关键作用及差别，务必抓住、用准。如上面的例题2第一问和第三问有“至少”、 “提高到”这样的词，在设、列这两步都要注意.第三,回读找突口。如果思路被卡住，不妨反复读题，在思想高度集中的情况下，大量的信息瞬间积累在眼前，强烈的信号刺激自己的神经中枢，或许就可能灵感闪现，从而解决问题或是找到突破口。（2）要耐心转换、精心调试 将应用题转换为数学题是解答应用题的关键，也是学生感到较困难的一步。这一步一般学生往往不能一次成功。要求学生在思维受阻时，保持头脑冷静，耐心调试，分析所列式子是否符合题中各项条件。有时要把题中的文字语言、图形语言、符号语言进行多种多次转换。（3）要经常回顾、恒心反思除了反思解题错误以外，解题中的反思与解题后的反思也非常重要。如练习4中的错误式子y=（30 +x）1000- 310x或y=（30 +x）（1000-3x）-310x或y=（30 +x）1000-310x-301000。学生若能在此思考,则必定能寻找出错误的原因，使解答顺利进行。但如果平时在解题时没有反思的意识和习惯，在考试时就更无暇顾及了。要想训练学生的反思习惯，必需让学生尝到解题后反思的“甜头”。如上面的例1，在学生利用表格和方程解决问题之后，教师可以引导学生反思：能用另一种方式解释这个最低定价吗？学生通过反思就能悟出数形结合的方式在二次函数的应用中的重要作用。只有反思，才能加强理解，为解题带来事半功倍的效果。只有持之以恒，反思各种错误、反思各种解法，反思各种题型的解题策略才能在应用题解题方法上有质的飞跃，才能在各种考场上临危不乱，灵活应变。在实施素质教育的今天，如何更好地培养学生提高分析和解决实际问题的能力是每一个教师都在思考、探索的问题。它需要师生有决心、有恒心、有耐心、有细心、有信心、有爱心。作为数学教师，只要在思想上高度重视，洞察学生学习上的实际困难，在行动上精心安排，始终着眼于生活实践，注意优秀教学素材的挖掘，激发学生的好奇心，培养学生的自主解题能力，让这些思想和能力始终装进学生心灵的深处，那么应用题的教与学对促进素质教育的良性发展将会起到巨大的作用。