高中数学继续教育学习材料.doc

一、高中数学必修1高端备课拓展材料怎样通过有效的教研活动改进和完善教学设计？ 在各类教研活动中，很多老师都有上公开课的经历，为了上好一节公开课，教师常常会查阅很多的书籍、资料，或求教于同行，有时虽然付出了许多的努力，但感觉收获并不大。在这一节，我们将重点分析如何改进教研活动的形式、丰富教研活动的内容，从而改进和完善教学设计，提高教师的业务能力和教学水平。 1第一次教学设计与第一次反思 2005 年 1 月，我的第一次教学设计在江苏省梁丰中学举行的苏州市新课程研讨会上进行了公开教学展示，这是在苏州地区新课程教学内容的首次亮相，因而引起了与会专家与同行的广泛关注。 在第一次公开教学活动中，木渎中学的庄梅老师与我同题开课，听了她的课之后，对我的启发非常大，她没有过多地进行知识回顾，在二分法方法的归纳过程中，她的条理也非常清晰，并能注重数学分类思想的渗透。 应该说当初第一次的教学设计，我认真地研究了教材，也力图体现新课程的一些理念，例如，尽量创造机会让学生进行自主学习、探索学习，尤其是在二分法方法的发现上，尽量让学生自己去探究。 在这节课后进行了交流评议，老师们提出课前对二次方程的根的回顾实际上没有必要，反而会限制学生的思路，好象硬要把学生引到老师事先预设的轨道上，教学过程显得比较牵强。同时，针对新教材倡导发展学生应用意识的要求，课上可以增加知识应用的环节。结合新课程提出的注重信息技术与数学课的整合的理念，教师们都认为应当增加一个知识拓展的环节，让老师用 Excel 现场进行操作。 随后，专家与同行提出了许多的宝贵的意见。在这个基础上我进行了修正，形成了第二次的教学设计。 点评： 第一次教学观摩展示活动我们邀请了苏州市所有的骨干教师一起参加的，那一次请了两个老师同题开课，在这个过程中就有了两种不同教学观念、教学习惯、教学方式的冲撞，在这种冲撞的过程中会形成的一种差异。在这个过程中，每个老师都有自我的反思，然后我们请偶老师在原有的基础上进行修改，完善以后再进行了第二次的教学设计。 2第二次教学设计与第二次反思 随后苏州大学鲍建生教授和罗强老师又到我们学校，通过视频案例的研究方式再一次进行了研究与讨论，使我对“二分法求方程近似解”这一内容的本质有了更加清晰的认识。 在第二次教学设计当中，我采纳了大家的意见，删去了知识回顾的环节，在归纳总结时注意体现条理清晰，采用了分类讨论的思想进行方法归纳，同时也设计了知识拓展环节，现场利用 Excel 来帮助研究方程的近似解，还增加了一个供学生思考的应用题。第二次设计的教学就显得比较丰富，整体的效果也是不错的。 通过这样一次案例的研究，我觉得我的认识又有一个质的飞跃。我可以用这样几点来概括一下：第一，使我从更高的层次来领悟教材的意图；第二，专家们也提出，作为数学教学，要注重体现数学的价值，算法思想作为本课引出的一个重要的、新的数学思想方法应该积极、有效地进行渗透。 应该说这一点在原来的教学设计当中，自己的领悟还不是很深刻。 首先，在教学中要让学生感受到二分法虽然朴素，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学当中要让学生感受“整体到局部”、“定性到定量”、“精确到近似”、“计算到技术”、“技法到算法”这些数学思想的发展过程。 其次，要更好的揭示教材的编写意图。二分法教学中， 方法的建构、技术的运用、算法的渗透以及它们的同步发展过程，是这节课的隐性教学目标，在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好的说明二分法的理论依据（根的存在性）；第二个阶段是从形再到数，其中的形是包括从图象到数轴，再从数轴到表格。在这样的过程中的形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程。因此整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架当中：首先它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化是从整体到局部，去研究函数零点区间。 点评： 第二次教学设计，当时我们还邀请了苏州大学的鲍建生教授一起参加，并进行了视频录像，使教学研究有了专家的专业引领。 3第三次教学设计 在这个基础上，又形成了第三次教学设计，并于 2005 年 2 月在江苏省旴眙中学进行了公开教学，取得了相当的成功。 在这个成功的背后，更多的是在专家的引领下、在同伴的互助下，集思广益，形成了一个完善的课堂教学设计。 评： 第三次我们请偶老师在全省的新课程研讨会上展示他的教学，当时新课程在江苏省还没有实施，偶老师率先把二分法这样一个新增内容在全省的高中教师面前做了一次非常成功的展示。 二、为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？首都师范大学 王尚志为什么把必修 1 作为其它必修课程的基础？最主要的原因是突出函数的作用和意义。20 世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容。他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中 函数思想的发展脉络。（ 1 ）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。在日常生活中，有两种量常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5 加多少等于 9，即 5 + ？= 9 。现在，在小学 5 、 6 年级，初步地形成方程的概念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。在近代数学中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。（ 2 ）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。（ 3 ）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量 x 和 y 联系起来了。（ 4 ）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。我们先让学生认识一些具体函数的模型，例如，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数 y=x3 ，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数 y=x3的图形的基本形状以及它的变化。周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。（ 5 ）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。（ 6 ）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数 y=f(x) 所决定的方程是 y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与 x 轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来说，在 a,b 上，给定一个连续函数，若 f(a) 与 f(b) 的符号不相同，那么函数图像会从（ a, f(a) ）点出发穿过 x 轴到达（ b, f(b) ）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。三、高中数学必修 2 高端备课王尚志：首都师范大学 教授 张思明 ：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学远程培训，我们这一讲是“模块教学研究”系列的最后一个单元，前面我们已经把第二模块总体分析，案例分析进行完了，我们这一讲集中这样一个话题：在我们做模块教学的过程中，如何发动学生的积极性？如何引导学生主动学习？在学法指导上我们还能做哪些工作？我们先来介绍一下参加讨论的几位嘉宾：有首都师范大学博士生导师王尚志教授，挨着王老师的是来自江苏苏州五中的罗强校长，他是江苏省的特级教师，我旁边这位是来自南昌大学附属中学的黄伟民校长，他也是一位特级教师，欢迎大家来参加我们这个讨论。我们这一讲首先是要关注学生是我们新课程的核心，在新课程的教学当中很多老师提出来，学生从初中到高中过渡中间反映出了不少问题，我们请王老师帮我们分析一下，这些问题有哪些表现？八、减负性原则。现在我们做任何一项改革，最后一定要达到减负的目的，减轻老师的负担，减轻学生的负担，如果达不到减负的原则，学案可能就没有生命力了。如果教师感觉这件事增加了他的负担，尝试不成功，可能就不用这个学案了，所以这个学案的应用最后一定要达到老师用起来很方便，用这个学案使得他教学游刃有余，并且能够达到减轻他的负担的作用。这是学案设计的一个原则！第三，我想跟各位介绍一下我们学案设计的一些栏目。因为这些栏目整体面对学生来设计，不同的学科可能有不同的栏目，在这里举一个简单的例子，把数学学案设计的栏目做一个简单的介绍。我们数学学案设计的栏目经过三代，根据我们的教学实践慢慢调整的有利于教学，有利于学生学习，我们这个栏目在变化，当然也还不完善，希望我们一起探讨，一起来完善我们的数学学案，完善之后为我们中学的数学教学尽一份力量。我们现在设计是分为四个大栏目，一个栏目是学习引导，下面主要包括两个内容，一个是自主学习。就是指导学生如何自主的学习，阅读课本，查找资料等等。另一个是方法指导。对于上课的内容我们要给学生在哪些方面做指导？采用什么方法来指导？是对比的方法还是利用由特殊到一般的方法，还是通过看课本上数形结合的方法等等我们做一些指导。二、思考引导。学生看了课本上一些内容以后，教师就要开始提问题了，我们老师要针对课本上的内容，先提一些问题，比如学生不太懂的东西，或者是有启发性的问题，我们要提出一些问题。另外，我们变一些题目，因为现在大家更喜欢的是题目，我们要从命题里面变，并不是脱离课本的内容，我们要紧扣课本的例题，我们对它进行一些变式。三、总结引导。通过前面两个环节，我们应该引导学生进行总结，这节课内容看完以后由教师做一个引导，引导时我们可以采用一些框图，一些树状图或是列一个表格，这样可以让学生在知识点方面做一些总结，整理知识。四、拓展引导。课后我们再做什么？我们拓展引导，现在内容包括我们布置的课外作业，还包括课外的思考题，另外还希望学生课外查找一些资源，就是资源的链接。以上是我们学案数学学案设计要讲的第三大方面。我们学校老师现在整体对这个学案基本上都能够接受，但是我们还要处理以下几个关系，关键在课堂教学与学案之间的关系，我们学生怎么用和老师怎么用的关系，我们已经产生了这么几点共识。第一点共识是，学案是课堂教学的重要文本，学生要用，老师要用。第二，课堂教学应该紧紧围绕着学案来进行，学生的学习也要围绕学案进行。第三，我们编制的学案要通过我们的教学不断完善，它不是一成不变的。第四，学案是今后我们学生复习的重要资料，今后我们学生复习数学应该以学案为主要的文本。我们在实施学案过程中还面临着一些问题。第一，教师观念的转变，开始实施学案时很难，我们开始做学案的时候，先把学案发下去，要学生自主的学习，但是老师由于原先教学的习惯而忍不住要讲，所以还是讲的多。教师启发的多，问的多，没有放手让学生自己去看，老师觉得学生看不懂，还是讲讲比较好，所以整个课堂相当于老师在讲解，学生没有自主的空间。第二，我们的学案编制还有待于完善。第三，我们学案的发放时间问题。很多人问学案是起到学生课前预习的作用还是起到其他什么作用，是课前发还是提前一周发？如果现在我们做第一轮，我感觉要提前一周发给学生是很难的，这个工作量太大了，也很难做到。要是课前让老师提前发，学生现在也很难预习，因为预习成了一句空话，所以我认为发放时间也要有阶段性。现在我们大概总结出这么一个经验。我们第一轮做学案的时候，能够课堂带过去发给学生，能够结合看课文把学案用起来，课后再利用起来，我觉得已经足够了，第一轮结束以后，第二轮再来做学案的时候，我们上一届老师跟下一届老师沟通，把学案完善，完善之后老师提前一周发学案就没有问题了。让学生有充分的时间去做这个事，如果进一步完善了，以后成为学校的固定资料了，可能一个学期的学案跟课本一起发放，所以这个发放时间还在研究，关键是看怎么有利于学生的学习。第四，我们如何利用这个学案与课堂教学融合在一起，因为有些老教师可能还是以自己讲授为主，把学案放在一边。因为我们编制学案时是以一个老师为主，而另外的老师对学案可能没有理解，或者说理解的不透彻，所以他还是会把学案和课堂教学分裂开来，如何把学案与课堂教学融合起来，这可能是一个漫长的工作。以上是我们学校实施学案的一些简单情况，希望我们一起继续研究。四、高中数学必修 2 模块整体介绍张思明：各位老师大家好，欢迎大家继续参加高中数学新课程远程培训，我们这一讲是针对模块二做整体分析。请允许我先来介绍一下到场的嘉宾：首都师范大学博士生导师王尚志教、首都师范大学张饴慈教授，欢迎两位老师参加我们的讨论。对于模块二的整体分析，我们也从前面提到的几个环节入手。我们先请两位老师给模块二教学上的定位做一个分析。王尚志：我们像模块一一样，还强调几个主题词，第一个还是整体，第二个是从局部到整体到局部，第三件事情，我们希望老师和我们一起来思考几何的教育价值，到底我们的几何课程的教育价值在哪。下面我们按照这样一个顺序，数学分析，标准分析，重点分析，教育分析，学情分析，教材分析，教学建议，学法指导来讨论下面的问题。我们分两个课时来讲，第一个是立体几何初步，我们在第二个课时里主要分析平面解析几何初步和“必修二”教学中应关注的几个问题。先请张老师对立体几何内容做一个数学的分析。张饴慈：好，我们首先对立体几何的教学做一个分析，我想几何学和立体几何学主要是研究空间图形的科学，我想对这一点我们一定要有一个很好的认识，因为几何是一个很直观视觉的艺术，所以它也是一个培养逻辑思维的载体。但是我觉得在前一段几何教学里面，就把它侧重于培养逻辑思维载体，把它作为一个主要的任务，做了很多技巧性很高的题目，但是对它研究空间图形，要求我们培养学生一个空间想象的能力，认识图形、把握图形的能力有所忽略，实际上我们应该看到培养逻辑思维能力，是各个学科共同的任务。而几何学主要是培养学生把握图形、认识图形的能力，而这种能力不仅是学习几何的一个基本能力，也是学习数学的基本能力。所以我想一定要回归到这个问题，就是认识到几何学科到底是研究什么东西，以这个作为我们立体几何初步最重要的认识。其次就是研究几何的方法。从整个数学来说，除了传统从中学就开始学习综合几何方法以外，将来大学或者中学现在也涉及到变换的问题。另外在高中将来主要学习的是用代数方法讨论几何问题。解析几何、向量几何、代数方法都可以解决，所以研究几何是有好几种方法的。这样我们要看到现在的立体几何出的问题，我们用的是综合几何的方法，但是在后面我们要用代数方法来讨论几何的问题，所以这个问题的定位需要清楚，在立体几何初步里，主要任务是培养学生对空间图形的把握能力，适当削弱了综合几何证明问题，一方面是因为综合几何的证明在整个数学里面，比如说他们的向量方法就不能比，向量方法不但是简单，是一个通性通法，而且它是一个作用非常大的方法，而综合几何虽然对逻辑思维能力有一定的作用，但是在后面的发展是有限的，能够对这个东西有一个比较整体的认识，就知道立体几何里面不把证明放在非常高的地位，而把认识图形放在主要问题的地位来看。 王尚志：我想补充张老师说的，就是综合几何大体上是这样来描述的，从我们通常所说的公理、定义出发，按照演绎的方式得到一些新的结论，这种方法通常我们所说的是综合几何的方法，而我们欧式几何大体上主要是按照综合几何的方法来展开的，但是也不尽然。那么所谓变换的方法，就是用我们通常所说的变换，比如我们通常所说的旋转、平移、对称都是变换，用这样一种视角来认识几何图形，我们通常叫变换几何，将来有相似，有射影，有所谓拓扑变换等等各种各样的变换来认识几何。那么另外一个用代数的方法去讨论几何问题，讨论图形问题。我们老师比较熟悉的解析几何，就是找到曲线和方程之间的关系，然后用处理方程代数方法去研究这个问题，然后去解决这个几何问题，大体上需要经历这样一个过程，几何到代数，再到几何。另外我们想特别说一下向量的办法，因为向量进入高中的数学，应该说改变了整个高中几何课程的结构，也改变了我们对于运算的认识，这一件事情我们老师必须有一个清醒的认识，所以我想在这里多说几句。刚才张老师也说了，综合几何的办法我们觉得随着数学的发展，它将融在变换几何，或者解析几何，向量几何，包括后面代数拓扑方法之中，它不会凸显作为一个基本办法，在后期的课程中独立地出现，所以我想我们没有必要过分强调这个综合几何的办法，这是我们老师需要关注的一件事情。另外我们需要认识，即或在欧式几何里，我们通常变换几何依然是非常重要的，比如说要证明通常我们所说的两个三角形全等是什么呢？首先我们是从重合开始说起的，重合就叫全等，那么怎么实现两个三角形重合呢？比如说三个边都相等，重合不重合？我们需要变换来解决这个问题，实际上我们有一个假设，一个三角形作为一个钢体，通过平移，通过旋转，通过反射，是不变的。所以我们能使得不在同一个位置上的，两个三个边都相等的三角形能够重合，所以我们才说三个边相等的两个三角形是全等三角形。所以我们老师必须要认清这些东西。 张饴慈：也就是说实际上欧式几何，是在钢体变换下保持性质不变的那一类性质。 王尚志：所以我们下面要特别强调一下向量几何，向量几何是我们高中一个新内容，同时也是改变高中数学内容结构的一个新的载体。因为向量之所以重要，我们可以从几个角度来说，第一向量是代数的，可以算。我记得张老师曾经讲过，向量可以做加法，平行四边形法则，或者说三角形法则，都可以体现向量的运算。另外向量还有点乘，向量还有内积，通常我们所说的数量积，点乘，将来我们还要学习向量的叉乘，以及其他的向量运算。所以向量是一个具有丰富运算的载体，另外向量是个几何的东西，反映它是几何的东西，我觉得有两个维度，第一个可以帮助我们刻画几何的研究对象，可以帮助我们刻画点，可以帮助我们刻画直线，可以帮助我们刻画平面，简单的说一点一个方向可以唯一地确定，过这个点和这个向量垂直的唯一的一个平面。所以可以刻画它，所以可以得到平面向量方程，这是第一个角度。第二个角度，在我们几何或者立体几何里研究什么东西？研究两个事情，一个是点线面的位置关系，而主要的位置关系是平行和垂直。另一个就是研究他们的度量关系，无非是长度、角度、面积、体积，在高中阶段主要是长度和角度。向量为我们研究位置关系，特别是平行和垂直提供了非常方便的方法，比如说我们说向量在刻画垂直关系的时候，就是方向向量的点乘如果等于零，那么它就是垂直关系。平行关系的时候，就是方向向量共线就行了。那么同样向量可以帮助我们去解决距离和角度，所以我们看出作为向量来说，它是一个几何的对象。第三件事，一个东西既是代数，又是几何，它就自然而然成为连接代数和几何的一个桥梁。第四件事，就是向量有着丰富的物理学背景。第五件事，向量是一个重要的数学模型，因此向量的重要性，我们老师必须给予足够的认识，这一点我们辅助材料有比较详细的论述。那么，另外一件事，数学分析里张老师反复强调的，就是几何是培养学生空间想象力几何直观能力的，这不仅在学习几何中是重要的，而且对于整个数学学习也是非常重要的。 张饴慈：我们整个高中几何也是要从整体来看，你看立体几何初步这一块，你要对他的内容从局部到整体，但是在整个高中来看，为什么我们后面要说向量，因为你对向量有这样的认识，才知道为什么立体几何初步这里面有些证明为什么我们要削弱了，为什么我们现在要强调空间想象能力，就是整个定位比较清楚，因为我们整个在中学里面，在必修二里面是立体几何初步和解析几何初步。那么除了这个以外，在必修部分里面我们要讲平面向量，然后到了选一选二里面，我们要讲空间向量和立体几何。然后我们解析几何初步到了选修部分，我们要讲圆锥曲线，就是说整个这样一个结构我们要清楚的话，我们就不会过早的在立体几何里面算一些度量问题，角的大小，距离问题。我想要对整体的结构有一个认识，就能对它有一个清楚的认识，很多东西很简单就能处理掉了，不会在这里用非常大的力量做这些。王尚志：比如说我们通常所说，在现在的标准里面，关于平行和垂直判定性质，我们就不要求在立体几何初步里去证明，而放在空间向量与立体几何去证明，你要用向量的办法去处理这件事，就变得非常简洁，它的思路清晰，做起来也简单。这个对于我们整体把握几何课程，整体把握高中课题是非常重要的一件事情。张饴慈：我想刚才说的也是我们现在课标里面对几何的定位问题，一定把立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象能力、几何直观能力和逻辑推理的能力。那么我想前面这几个能力，是几何这门课所特有要培养的能力，逻辑推理能力也是我们几何的一部分，但是它是所有数学都共同的一个能力，我们并不是说不要逻辑推理能力，而是要把它放在一个适当的位置来讲。 王尚志：另外就是，我们在立体几何初步里面，讨论的一些位置关系，如果过早地强调用综合几何的办法去证明，可能会对一部分同学带来一定的困难和不必要的难度，所以这一点也是我们做这样一个选择的出发点。张饴慈：实际上有了这样一些推理的论证，对学数学的人来说，或者对一个中学数学老师来说，可能需要把握这样一个证明，但是对于高中生来说，并不要求我们把握这么难的理论。我去年曾经在江西听了一堂课，他们请了一个外省很有经验的数学老师，他总觉得标准说不要求证明判定定理，但培养逻辑思维还是应该来证明它，虽然标准不要求，虽然用的教材上没有这个证明，但是我觉得还是应该讲，结果他就在课堂上讲这个证明，自己讲着讲着，这个证明还没有讲对。有时候可以看到，这个证明还是很难的，既使对数学老师来说，也不见得是很容易的，何况对我们高中生来说，所以这个度要把握。 王尚志：特别是用综合几何的证明，有一些逻辑推理方面的要求，还是有一定的难度。我想在我们标准里面，还有一个内容的处理方式，有这么几句话，就是：直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算。特别是直观感知，我觉得这一件事情应该引起老师的注意，操作确认也是一样，有的时候让学生动动手，看看具体的图形，这是非常重要的。实际上我们立体几何的图形，在我们生活周围经常可以碰到，它都是我们思考立体几何问题的一个具体模型，所以我们在课程里面，还特别强调所谓长方体。张饴慈：关于直观感知，操作确认，有很多老师还是觉得不习惯，好像不证明总是不太好的，实际上就是和上次讲的必修一中指数函数和对数函数一样，我们也是直观感知，操作确认，也没有证明，在代数上就不觉得这不好，到了几何就觉得不好。我想这就是一个认识或者习惯的问题。 王尚志：我们在立体几何的标准里面，提出了用长方体模型贯穿始终，这是非常重要的。我想原因从数学上来说，是因为我们大部分所用的数学是在一个直角坐标系的框架下展开的，比如说我们将来大部分学的高等数学、概率统计、数理方程、复变函数，大体上都是在直角坐标系这个框架下展开的，而直角坐标系这样一个框架，实际上可以通过一个长方体来体现它的价值。因此，我们大部分的研究几何图形的对象是发生在长方体里，这是不严格地说，因此帮助学生在脑子里建立长方体的模型，并且贯穿始终对于理解立体几何的问题是非常重要的一件事情，而且长方体是看得见，摸得着的，我们生活的教室里，我们学习的教室就是一个很好的长方体的模型，我们既要帮助学生能在长方体内部来看待他们之间的关系，也能站在长方体的外部来看待图形之间的关系，这对于我们掌握和理解、解决一些立体几何图形问题是非常重要的。张饴慈：因为长方体模型从向量观点来看，就是向量的基本定理。就是把一般的向量用三个简单的向量来表示，而且这三个互相正交的向量就是我们的长方体问题，这样一个思想，把一个复杂的东西用简单的东西来表示，来处理，这是一个非常重要的数学理论思想。从理论上来说也是比较深刻的，从实际来说又是一个很具体，很直观，对孩子来说很好认识的一个东西，所以我想在这里要有意识地往这方面去想，去用这个问题。就是非常有意识地主动把一个问题嵌入到长方体模型，要培养这样一个习惯，把一般的问题用简单的问题表述出来，这样一种思维和习惯我觉得非常重要。 王尚志：我觉得在我们后面选择的这些课程中，很多老师非常好的用到了这件事情，比如说在立体几何的起始课，通过生活中的长方体和我们抽象的长方体，帮助学生完整地去了解我们立体几何研究的对象是什么，研究的方法是什么，我怎么样处理这个事情，是一个非常好的设计。那么在我们点线面的位置关系，特别是判定和性质定理里，也比较好的使用了长方体模型，帮助学生去理解和认识它们的位置关系，和它们的度量关系，我觉得都会发生非常好的一个作用。那么，另外我们还会讲到空间直角坐标系，也可以充分利用长方体这样一个模型，去完成这样一个考虑。另外还有长方体模型提供的一个非常好的思考，就是我们标准里不仅要强调从局部到整体，是点线面基本图形组成的图形，另外我们还要强调另一面，就是从整体到局部，学生的认知更习惯于从整体到局部。 王尚志：孩子们都是先看见一个整个的东西，然后再看局部。另外我想我们这次课标里强调直观感知，操作确认，先直观上得到一些几何图形性质，然后再去通过推理论证，再来证明这个性质是对的，我想不仅是几何上如此，在整个数学中发现探索都是这样一个过程，我想这个东西非常重要，首先先要有这么一个过程，然后才是论证。而不是简单地先把已知条件给你了，然后你再去论证，也不知道这个结论就出来了，这个东西就违背了我们的认识。这些都是我们在几何教学中的一些变化，我觉得这些变化实际上都是从老师的经验中总结出来的变化，比如说从整体到局部，我记得我们在制作标准的时候，看到了很多很优秀老师的教案，他们都是从整体出发，帮助学生在我们整体的图形中去认识这些局部图形之间的关系，所以我想这一点宝贵的经验是我们应该珍惜的东西，也希望把它贯穿在我们教学过程中。 张饴慈：通过刚才说的，立体几何的初步我们的重点就是帮助学生逐步形成空间想象和几何直观能力，这就是我们的重点。那么对于立体几何这一部分内容，具体到初步这一部分内容，主要是点线面的位置关系，特别是平行和垂直的关系。 王尚志：我想要形成空间想象力和几何直观能力，应该说我们是通过四个载体。第一个就是直观图，你怎么样把空间的图形在平面上表示出来，这是我觉得一个非常重要的载体。第二个载体就是三视图，我们怎么样能把三视图，一个空间图形通过三视图来认识这个空间图形，那么我们还会有适当的载体，怎么样通过三视图，帮助学生去想象它的空间原来的图形是什么，这是第二个重要的载体。第三个重要的载体就是刚才张老师强调的，一个核心的内容，就是我们通常所说基本几何图形的位置关系和度量关系，而位置关系和度量关系的基本图形，位置关系和基本关系的认识，我们是从整体到局部的，我们强调这样一个纬度。那么第四个载体就是我们要帮助学生掌握几种基本的几何图形，就是通常我们所说柱，锥，台，球，因为在我们日常生活中碰到绝大部分的图形，都可以用这样一些最基本的几何图形去近似地表达它们。那么我们去了解，不仅要把握这些图形，还要去掌握这些图形的表面积的求法和体积的求法，当然我们这些都不是能严格证明的，这些严格证明都需要我们有新的工具才能完成这个证明。通过这样四个载体，来帮助学生形成空间想象力和几何直观能力，我想这是我们几何课程的重点。张饴慈：另外就是点线面的位置关系，特别是平行和垂直基本位置关系，我们是依托长方体为载体，来认识这样一个问题，这是我们的重点。那么其中平行和垂直，我们也讲到判定定理和性质定理。 王尚志：就是说平行和垂直重要性，不仅仅是在高中几何课程中，到我们大学几何课程中仍然是最基本的位置关系，仍然是我们必须反复强调的东西。 张饴慈：另外这里还涉及到三种数学语言的转换，对几何图形的描述就自然语言，图形语言，还有就是符号语言，就是能够比较熟练的对这三种语言进行转换，特别是符号语言。 王尚志：但是这三种语言，我们几何课程做出的贡献，应该是强化图形的语言。我觉得这一点是非常重要的。思明是不是把教学建议给我们老师谈一谈。张思明：我们老师在实践过程中经常提出来，就是像图形语言作为立体几何是最核心的，像刚才符号语言，第一模块里也分析了，包括函数图形单调性的时候，也有这种语言的转化，那么我们在立体几何里面特别强调图形的作用。所以我想在给老师们在模块教学中提出的建议，头一条王老师开始提到的关键字，就是我们思考问题，备课，做教学设计，包括让学生感知立体几何的知识有一个核心的过程，就是从局部、整体，再到局部，我们要把一个过程变成教学设计的习惯，要变成学生思考问题的习惯。王尚志：我觉得这一件事是我们特别希望强调的一个思维，就是我们学习数学也好，无论是很多数学家和在大学进行数学教学，我觉得本质上和中学是一样的，我们认识每一个局部的概念，认识某一个局部的方法，一定要把它放在整体中去认识，我们才有可能真正地抓住它的本质，那么我们增加了对整体认识的维度，然后再从整体回到局部，才能清楚在这个局部的教学中，我们应该强调什么，应该达到什么，就是我们最主要的目标。我们后期课程可能还有跟进，这样的一个认识我同意思明说的，是非常重要的一件事情。 张思明：第二个建议就是我们要突出，就是从具体到抽象，我们确定标准里写到的十六字方针，就是直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。在这个过程中我们要把它看成是一个过程，不要省略前面那个东西，在这个过程里面，核心我们要直观感知，在动作里面我们要强调过程，很多老师最简单，最省事的办法我们提出这个东西，线面垂直是什么什么，这个过程在我们后面提出的课案里面，我们都突出表现了老师建立一个几何的命题过程，过程的开头都是具体到抽象，直观感知，应该变成我们这一轮教学里面特别要注意的地方。 张饴慈：尽管几何好像已经是很直观的，但是还有一个从具体到抽象的问题，比如说抽象的直线，那么给到长方体的直线，学生的感觉就立刻不一样了，所以尽管几何是很形象的东西，但是还是要由具体到抽象，还是要把握最基本的东西。张思明：第三个建议就是我们反复强调的一个模型，就是长方体的模型，这个模型刚才两位老师都强调了它的作用，特别是从数学的价值，包括正交基，包括一些数学发展中的作用，都提到了。我们还有一个角度，在后面的课程中我们会看到唐山一中的王军老师的课例，他甚至把若干年高考题里面的长方体模型的作用都提炼了一下，发现了绝大部分题都是可以用长方体来描述这样的关系的。以长方体作为载体，我们在这里面强调的教学建议是有实际意义的，这个是非常重要的，就是它放在那里，老师有意识地引导学生，在考虑问题画出长方体，或者拿出长方体的模型，把对应的关系转移到长方体，这件事情非常重要。 张饴慈：比如说长方体你也可以来体会，就是说长方体的重要性再体会到垂直的重要性，这是一个平行垂直充分体现在长方体里，为什么长方体那么重要，那么好，因为有垂直的关系，垂直的关系反映出来就能够简单，像这些东西要有一个很好的认识。张思明：第四个建议，就是我们推理论证的把握，在这里面我们提到了，我们加强了直观感知，具体到抽象，我们要处理合情推理和演绎推理的平衡，什么地方我们要把合情推理也作为一个发现的过程，让学生去体会这个过程，而把这个过程更加显性化，这个过程的作用是什么，这个我也想请王老师来分析一下，为什么我们在这里面也强调合情推理，是不是演绎推理不重要了，或者我们怎么样表现这种平衡？王尚志：我想在数学里面有两种基本的推理方式，一种是归纳，我们通过所说的合情推理，大体上指的归纳，当然归纳有不严格的地方，但是我们设想一下，我们数学的概念是怎么得到的，我们是从具体问题，通过归纳把它核心含义总结抽象出来得到的概念，我们的结论是怎么得到的，不是演绎出来的，是我们通过观察、分析和对某些问题的思考，我们逐渐形成了一些猜想，得到一些结论，然后我们再通过演绎去证明这件事情是正确的，因此我们不应该单纯地强调演绎推理，而忽视了归纳推理的作用。所以，在我们讲概念，在我们讲结论，在我们讲探索，证明思路的过程中，经常要用到我们通常所说的归纳推理，也就是我们通常所说的合情推理，所以我觉得不应该把这两者对立起来，而应该看到他们各自应该发挥的作用，当我们要验证这个结果的时候，或许演绎推理能够发挥更重要的作用，但是我们为了去产生一个东西，寻求一个证明思路的时候，或许我们需要尝试，我们需要猜想，我们需要运用归纳推理，来帮助我们找到结论，或者找到证明结论的思路。张饴慈：实际上探索、猜想、归纳是创新发展的一个动力，最后你要来落实对和错，你可能是猜错了，可能是归纳错了，最后是一个演绎论证对和错的问题，但是前面这些东西都是靠这些来论证，没有靠形式推理来推出一个重要的结果。 王尚志： 那么张老师说的这一点特别重要，因为特别是我们新课程强调培养学生的创新意识，所谓创新我觉得需要有两方面，一个是思维的支持，应该支持创新思维的最重要的数学思维方式应该是归纳，归纳、猜想，这是非常重要的一点。另外一个就是问题意识，那么产生问题一般不严格，只是根据这些现象，提出一些猜想，产生一些问题，并没有证明这个问题，所以这些都是创新的基础，所以我们在课程中，在几何课程中应该去强调这些，我觉得这个对于我们数学教育的价值是一个新的思考，也是一个进步。 张饴慈：非常有名的数学家叫F.克莱茵，他是变换几何的创立者，他在谈到欧几里得和阿基米德区别的时候，欧几里得的几何里面反映不出来这个结论是怎么得出来的，都是一些最后的验证式的，就是已经把结论猜出来，猜了以后来验证对不对，而真正符合现代科学认识，现代科学发展规律，还是阿基米德这样的思维，就是探索和探究，把这个过程给弄出来，最后再来一个证明。另外当然阿基米德还有一些优点，关注应用，关注计算，这都是欧几里得的缺点，虽然欧几里得在我们数学中有很大的作用，但是从现代数学比较来说，它的思维模式可能偏重在逻辑推理上。 王尚志：我想刚才张老师说的这本书，就是F.克莱茵写的一个高观点下的初等数学，我建议老师可以参考一下这本书。另外一本书就是张饴慈老师翻译的什么是数学，是美国另外一个非常著名数学家叫柯朗，写的一本书，我们很多中国数学家都非常推崇这本书，很多大的数学家都建议，中学生或者中学老师都读这本书。张饴慈：爱因斯坦都对这本书有很高的评价。 王尚志：非常高的评价，我建议老师们看看这些书，能打开我们的眼界，从我们长期一些比较狭隘的视角跳出来，会对数学有新的认识，会对数学有新的体会。那么这样我们在教学生学数学的时候会带来一个非常好的效果。张思明：在这个过程里面，我们也想就第一模块的教学提一些学法指导的建议，首先我们从前面的分析反复强调长方体模型，在建立直观认识的过程中的作用，所以我想我们的老师应该用长方体模型自觉引导学生，学会使用长方体，来认识点线面之间的位置关系。比如说可以让每个学生动手做一个，在每一个问题里面让学生具体地摸一摸，指一指哪个线和哪个面有怎样的关系，还有我们也可以让学生感受到我们观察长方体的两种角度，一种我们坐在教室里面，在里面看到周围的长方体就是教室，也可以走出教室，在操场上看到的楼，也是另外一个长方体。那么像这样的过程里面，我们应该把它变成教学的一个过程，帮助学生自觉认识长方体的作用，并在自己理解各种几何性质的时候，在长方体中找到对应的对象。 张饴慈：我觉得帮助学生，老师首先要习惯于用长方体来思考问题，每碰到问题，你要主动认识这个问题，这样你可以帮助学生来认识这一点，现在我觉得我们老师对长方体自己的认识不太够，还是要加强。王尚志：有一些老师跟我谈体会的时候，非常感慨地说，他的教学中，要把长方体从立体几何初步的起始课，一直到最后贯穿始终，我觉得这个建议希望我们老师能够参考，这是一个非常好、也非常重要的思路。我觉得在我们教学中，和对学生的指导中，要把它贯穿下来。张思明：我觉得还有一个学法的建议，就是要让学生养成，画图、做图、用图思考的习惯，我觉得这个习惯当然不仅仅是在这，在上一个模块里，在函数里面我们也希望这样，但是立体几何更突出，这种图包括需要的时候画出直观图，三视图，或者平移图截面，一定要用图表现出来，这个画图过程实际上是学生在空间和平面中做变换的思考过程，而这种习惯对学生培养空间想象力非常重要。 王尚志：我非常同意思明说的。 张饴慈：因为我想在整个数学里面，我们老强调数形结合，特别对我们几何来说，就更离不开图了，就是说这个习惯的培养，不仅是在几何里面，整个数学里面一定要培养，能画图一定画图，想问题就用图来想，用图来讲问题真的是太重要了，立刻能够让问题简单化了。 王尚志：我个人有这样的一个习惯，就是要画图，用图来说事情。我想希尔伯特写过两本书，一本书就是经常被宣传的几何基础，实际上希尔伯特在同时期还写了另外一本书，叫直观几何。中译本已经不多了，后来我找到了中译本和英译本，我专门把它的前言翻出来，实际上希尔伯特特别强调图形的作用，他说图形有三个基本作用，第一个作用图形可以帮助我们去表达问题，就是我们一个问题画一个图，这个事情就变得很容易理解，这是第一个。第二个图形能够帮助我们寻找解决问题的思路。第三件事图形能够帮助我们记忆和理解我们所得到的结果。比如说我在大学讲分析，讲隐函数存在定理的时候，我就让学生记住一个图，记住一个图就等于记住隐函数的证明过程。所以，我觉得养成一个作图，用图思考分析的习惯，是我们应该给学生反复提供的一个学法指导。 张饴慈：比如说一个不等式，用一个图来表示出不等式，这个不等式就记得很清楚了，很多东西要有意识做这个东西。张思明：最后一个学法指导建议，我想是这样的，就是在这一课里面，很多老师说对好学生，或者学有余力的这种同学，又没有证明的要求，到底还能用什么方法来帮助学生提高空间想象能力，我们想这部分内容也可以做一些相关小课题，让学生在探究过程中加深对几何之间位置关系的理解，比如说我们有这样的载体，削土豆的方式，做一个正方体灌水的方式，来看一个截面，正方体的截口是什么形状的，可能出现什么形状，然后把这个问题做实验，然后探究，我想这些过程，包括一个直线和一个平面垂直要多少根线，就能确定这样的垂直关系，都可以把这个过程来变成学生体验空间关系的一个载体。王尚志：我在一个农村的中学就看过这样的课，老师就买了土豆，然后发给大家，学生有一个刀子，当然让学生小心一点，就是通过切土豆来帮助学生认识刚才思明提出来的问题，来帮助学习形成空间想象力和几何直观能力，他真的去操作，他真的是切出这个土豆，然后去理解各种截面的情况。这个注水也是一个日本人做的，就用一个玻璃立方体，然后有一个口，往里灌不同的水量，然后来旋转立方体的位置，就可以看出截面的形状。里面打上彩色的水，看得非常清楚，学生就可以探索，甚至还可以寻求证明的思路。 张思明：我们以前的立体几何题可能是老师出出来的，然后让学生证，学生不知道产生这样的问题是从哪来的，比如我们可以说拿一个刀去截正方体，那个截口为什么不会出现直角三角形，如果是三角形的话，如果截口出现了六边形，一定满足什么条件，为什么不会出现截口是正五边形，比如说这样的问题让学生去思考，他才能去理解两个平行平面被第三个平面所截，截口一定是平行的。这样的性质就变成了很自然应用的过程，在这些过程中可能会加强学生对几何性质，或者平行和垂直性质应用的这些理解。 张饴慈：你看俄国（沙奈金）他们写的几何，突破了我们简单逻辑论证的东西，就非常丰富，七巧板等各种各样的东西，都非常有助于孩子培养图形把握的能力，这才是对几何图形的认识，而不是局限于过去老证三垂线定理，好像只有这些东西不一样。王尚志：我觉得我们希望老师能开发一些探究的几何问题，那么我想这些探究应该是中国数学老师的一种创造载体。那么这样我们想一些办法来帮助我们的学生，又好玩，又有趣，然后又能帮助学生去建立空间想象力，我觉得这样的尝试是非常重要的一件事情。希望，期待我们老师能够开发出一些好的几何探究问题，可以作为数学的探究，我觉得这个是很好的一件事情。比如说我们老师还曾经做过类似的问题，就是扛着一个大柜子能不能进门，能不能拐弯，还有一些烟筒的拐角，我想这一些都可以成为我们探究的一个非常好的载体。 张思明：那么在这一节课里面，我们一起讨论了模块二里面，立体几何初步的把握，在我们贯彻的核心词里，我们看到了局部、整体、局部，同时也强调了一些大家关注的地方，比如说长方体模型的作用，怎么引导学生建立空间想象力变成日常教学具体可以操作的行为。在下一讲里我们将结合模块二的另外一个专题，解析几何初步来进行具体的分析，这一讲我们就到这里，我们希望老师和我们一起提供更多的帮助学生建立空间想象力的经验，我们一起来分享，谢谢大家的参与，我们下节课再见。