微积分综合练习题及参考答案

1 综合练习题 1 函数 极限与连续部分 1 填空题 1 函数 的定义域是 答案 且 2ln 1 xf 2 x3 2 函数 的定义域是 答案 24 l xf 1 3 函数 则 答案 74 2 xxf xf 3 2 xf 4 若函数 在 处连续 则 答案 0 13sin xkf k1 k 5 函数 则 答案 xxf2 1 f 1 2 xf 6 函数 的间断点是 答案 3 2 y 7 答案 1 xxsinlm 8 若 则 答案 2i40k 2 k 2 单项选择题 1 设函数 则该函数是 2e xy A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 答案 B 2 下列函数中为奇函数是 A B C D xsin2e x 1ln 2x 2x 答案 C 3 函数 的定义域为 5ln 4 xy A B C 且 D 且5 x 0 x5 x4 答案 D 4 设 则 1 2xf xf 2 A B 1 x2x C D 2 1 答案 C 5 当 时 函数 在 处连续 k 0 2 xkexfx A 0 B 1 C D 3 答案 D 6 当 时 函数 在 处连续 k 0 1 2xkxf A 0 B 1 C D 答案 B 7 函数 的间断点是 23 2 xf A B 1x 3 x C D 无间断点 答案 A 3 计算题 1 423lim2 x 解 412lim 1lili22 xxxx 2 39li23 x 解 23461li 3lilim323 xxxx 3 4586li24 x 解 321lim 42lili 424 xxxx 3 综合练习题 2 导数与微分部分 1 填空题 1 曲线 在 点的切斜率是 1 xf 答案 2 2 曲线 在 点的切线方程是 xfe 0 答案 1 y 3 已知 则 xf3 f 答案 ln2x 27 f 1 4 已知 则 xl f 答案 f 2 5 若 则 x e 0 f 答案 xf 2 0 2 单项选择题 1 若 则 xxfcose 0 f A 2 B 1 C 1 D 2 因 coses xf xx ininecosx 所以 0 f 1 0 0 答案 C 2 设 则 yx lg2dy A B C D 1d1ln0ln10 xd1dx 答案 B 3 设 是可微函数 则 xfy 2 cosf 4 A B xfd 2 cos xfd2sin co C D in 答案 D 4 若 其中 是常数 则 3si axf xf A B C D 23cosx6insin xcos 答案 C 3 计算题 1 设 求 xy12e y 解 2xx 1 e x 2 设 求 y3cos4siny 解 i co2xx 2cs3s 3 设 求 xye1 y 解 2 x 4 设 求 xycosln y 解 i 123x xtan231 综合练习题 3 导数应用部分 1 填空题 1 函数 的单调增加区间是 yx 312 答案 2 函数 在区间 内单调增加 则 应满足 2axf 0 a 答案 0 2 单项选择题 5 1 函数 在区间 是 2 1 xy A 单调增加 B 单调减少 C 先增后减 D 先减后增 答案 D 2 满足方程 的点一定是函数 的 0 xf xfy A 极值点 B 最值点 C 驻点 D 间断点 答案 C 3 下列结论中 不正确 A 在 处连续 则一定在 处可微 xf0 0 x B 在 处不连续 则一定在 处不可导 C 可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D 函数的极值点一定发生在不可导点上 答案 B 4 下列函数在指定区间 上单调增加的是 A B C D xsinxe2xx 3 答案 B 3 应用题 以几何应用为主 1 欲做一个底为正方形 容积为 108m3 的长方体开口容器 怎样做法用 料最省 解 设底边的边长为 m 高为 m 容器的表面积为 m2 怎样做法所用xhy 材料最省即容器如何设计可使表面积最小 由已知 22108 h 所以 xxxy43242 令 解得唯一驻点 0432 xy 6 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以 是函数的极小值点6 也是最小值点 故当 m m 时用料最省 6 31082 h 2 用钢板焊接一个容积为 4 底为正方形的开口水箱 已知钢板的费 用为 10 元 m2 焊接费 40 元 问水箱的尺寸如何选择 可使总费用最低 最 低总费用是多少 解 设水箱的底边长为 m 高为 m 表面积为 m2 且有xhS24xh 6 所以 164 22xhxS 2 令 得 0 x 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以当 m m 时水2 x1h 箱的表面积最小 此时的费用为 元 1604 2 S 3 欲做一个底为正方形 容积为 32 立方米的长方体开口容器 怎样做 法用料最省 解 设底边的边长为 m 高为 m 所用材料 容器的表面积 为 m2 xhy 由已知 223 h 所以 xxxy1284 令 解得唯一驻点 0182 y 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以 是函数的极小值点4 也是最小值点 故当 m m 时用料最省 4 x23 h 请结合作业和复习指导中的题目进行复习 综合练习题 4 一元函数积分部分 1 填空题 1 若 的一个原函数为 则 xf 2lnx f 答案 2 2 若 则 cxf2sid xf 答案 co 3 若 答案 x sin 4 2de 答案 cx2 5 sin 7 答案 cx sin 6 若 则 cxFf d xfd 32 答案 321 7 若 则 cxf xf 1 2 答案 F122 8 d cos in12 xx 答案 3 9 e12 l dxx 答案 0 10 02 答案 2 单项选择题 1 下列等式成立的是 A B d xff d xff C D x 答案 C 2 以下等式成立的是 A B 1d lnx cosdsinxx C D 3lx 答案 D 3 xfd A B c cxf C D xf 211 答案 A 4 下列定积分中积分值为 0 的是 8 A B xxd2e1 xxd2e1 C D cos 3 sin 答案 A 5 设 是连续的奇函数 则定积分 xf axf d A 0 B C D 0 d axff00 2af 答案 A 6 下列无穷积分收敛的是 A B 0dinxs 1dx C D 1 02ex 答案 D 3 计算题 1 xd 2 10 解 cxx 110 2 d 2 2 xdsin2 解 cx 1ossi1i2 3 dxx e2e 4 xx 4 22ln0 解 ed 4 de22ln0l xx 31025163e31ln0 5 xln51e 解 27 16 0 ln51 0 ln51 l 1dl 12e1 ee xxd 9 6 xde10 解 1ed010 xxx 7 20dsin 解 1sindcocsi 202020 xxx 综合练习题 5 积分应用部分 1 填空题 1 已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 且曲线过 则该曲线的 xfy x1 5 4 方程是 答案 12 xy 2 由定积分的几何意义知 答案 ad02 42a 3 微分方程 的特解为 答案 1 y xye 4 微分方程 的通解为 答案 3 c3 5 微分方程 的阶数为 答案 4xyxysin4 7 2 单项选择题 1 在切线斜率为 2x 的积分曲线族中 通过点 1 4 的曲线为 A y x2 3 B y x2 4 C D 1 答案 A 2 下列微分方程中 是线性微分方程 A B yyx ln2 xye2 C D e lnsin 答案 D 3 微分方程 的通解为 0 y A B C D x xy y 0 y 答案 C 4 下列微分方程中为可分离变量方程的是 10 A B yx d yx d C D sin 答案 B