全等三角形证明之能力拔高(经典题目)

1 全等三角形能力拔高题 姓名 一 角度转化问题 1 已知 如图 AB AE AD AC E B DE CB 求证 AD AC 2 已知 如图 AD AE AB AC DAE BAC 求证 BD CE 3 已知 如图 在 MPN 中 H 是高 MQ 和 NR 的交点 且 MQ NQ 求证 HN PM 2 4 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 l 经过顶点 C 过 A B 两点分别作 l 的垂线 AE BF E F 为垂足 当直线 l 不与底边 AB 相交时 求证 EF AE BF 5 已知 如图 AE AB BC AB AE AB ED AC 求证 ED AC 二 二次全等问题 1 已知 如图 线段 AC BD 交于 O AOB 为钝角 AB CD BF AC 于 F DE AC 于 E AE CF 求证 BO DO 3 2 已知 如图 AC 与 BD 交于 O 点 AB DC AB DC 若过 O 点作直线 l 分别交 AB DC 于 E F 两点 求证 OE OF 3 如图 E 在 AB 上 1 2 3 4 那么 AC 等于 AD 吗 为什么 4 已知 如图 DE AC BF AC AD BC DE BF 求证 AB DC 4 M FE CB A 5 已知 如图 AD 平分 BAC DE AB 于 E DF AC 于 F DB DC 求证 EB FC 练习 1 已知 B E 90 CE CB AB CD 求证 ADC 是等腰三角形 2 如图 AB AC ME AB MF AC 垂足分别为 E F ME MF 求证 MB MC 5 G F E D CB A 3 已知 ABC 和 ECD 都是等边三角形 且点 B C D 在一条直线上求证 BE AD 4 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC DE AB 交 AB于 E BC 30 BD CD 3 2 则 DE 5 如图 已知 EG AF 请你从下面三个条件中 再选出两个作为已知条件 另一个作为 结论 推出一个正确的命题 只写出一种情况 AB AC DE DF BE CF 已知 EG AF 求证 6 如图 在 Rt ABC 中 ACB 45 BAC 90 AB AC 点 D是 AB的中点 AF CD 于 H交 BC于 F BE AC 交 AF的延长线于 E 求证 BC 垂直且平分 DE E DC A B 6 思维拓展 证明线段的和 差 倍 分问题时 常采用 割长 补短 等方法 构造全等三角形 提示 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线 段相等 割 2 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 补 1 如图 已知 AC BD EA EB 分别平分 CAB 和 DBA CD 过点 E 求证 AB AC BD 2 如图 AD BC E 为 AB 的中点 DE 平分 ADC CE 平分 BCD 求证 AD BC CD A C E B D A B E C D 7 提升练习 1 如图所示 OP 为 MON 的平分线 请利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形 请在图 1 中作出 然后解答下列问题 1 如图 2 所示 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请写出 FE 与 FD 之间的数量关系 2 如图 3 所示 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而其他条件不变 1 中所 得的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 图 1 图 2 图 3 2 如图 已知 ABC 中 AB AC BAC 90 分别过 B C 向经过点 A 的直线 EF 作垂线 垂足为 E F 1 证明 EF 与斜边 BC 不相交时 则有 EF BE CF 如图 1 2 如图 2 EF 与斜边 BC 相交时 其他条件不变 你能得到什么结论 请给出证明 O P M N A B C D E B E A C D 8 3 已知 如图 所示 在 ABC 和 DE 中 ABC DAE BACDE 且点 在一条直线上 连接 MN 分别为 的中点 1 求证 NM 2 在图 的基础上 将 绕点 按顺时针方向旋转 180 其他条件不变 得 到图 所示的图形 请直接写出 1 中的两个结论是否仍然成立 4 已知 如图 是等边三角形 过 边上的点 作 交 于点 ABC ABDGBC AG 在 的延长线上取点 使 连接 GDED E 1 求证 2 过点 作 交 于点 请你连接 并判断 是怎样的三角F FEF 形 试证明你的结论 C EN DAB M 图 C A E M B D N 图 C G A E D B F 9 5 ABC 中 2120ABC 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 0 9 得 1 交 于点 E 1分别交 于 DF 两 点 如图 1 观察并猜想 在旋转过程中 线段 与 F有怎样的数量关系 并证明你 的结论 A D B E C F1 1 A D B E C F1 1 6 如图 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 AD 是 BC 边上的中线 过 C 作 AD 的垂线 交 AB 于点 E 交 AD 于点 F 求证 ADC BDE A B C D E F 10 7 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 M 是 AB 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边 经过点 D 且直角顶点 E 在 AB 边上滑动 点 E 不与点 A B 重合 另一条直角边与 CBM 的平分线 BF 相交于点 F 如图 14 1 当点 E 在 AB 边的中点位置时 通过测量 DE EF 的长度 猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 连接点 E 与 AD 边的中点 N 猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想 如图 14 2 当点 E 在 AB 边上的任意位置时 请你在 AD 边上找到一点 N 使得 NE BF 进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明 8 已知 中 为 边的中点 RtABC 90CD AB90EDF 绕 点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 EDF 当 绕 点旋转到 于 时 如图 1 易证DEA 12FCABCSS 11 当 绕 点旋转到 不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否EDF EAC和 成立 若成立 请给予证明 若不成立 又有怎样的数量关系 DEFS C ABCS 请写出你的猜想 不需证明 9 已知 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一动点 连接 AD 以 AD 为 一边且在 AD 的左侧作等腰直角 ADE 解答下列各题 如果 AB AC BAC 90 1 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图甲 线段 BD CE 之间的位置关系怎 样 说明理由 2 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图乙 1 中的结论是否还成立 为什么 A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D BC E 图 2 F 12 A D F C GEB 图 1 A D F C GEB 图 2 A D F C GEB 图 3 10 如图 1 在正方形 ABCD中 点 E F 分别为边 BC CD 的中点 AF DE 相交于点 G 则 可得结论 AF DE AF DE 不需要证明 1 如图 2 若点 E F 不是正方形 ABCD的边 BC CD 的中点 但满足 CE DF 则上面的 结论 是否仍然成立 请直接回答 成立 或 不成立 2 如图 3 若点 E F 分别在正方形 ABCD的边 CB的延长线和 DC的延长线上 且 CE DF 此时上面的结论 是否仍然成立 若成立 请写出证明过程 若不成立 请说 明理由 11 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中 点 且 EF 交正方形外角 的平分线 CF 于点 F 求证 AE EF 90AEF DCG 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 所以 MEF AEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上 除 B C 外 的任意一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为小颖的观 点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图 3 点 E 是 BC 的延长线上 除 C 点外 的任意一点 其他条件 不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 13