2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(二)函数的概念及其性质(理科)

1 2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学 二 函数的概念及其性质 理科 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个选项是符合题目要求的 1 函数 y x 1 1 的图象的对称轴方程为 A x 1 B x 1 C y 1 D y 1 2 函数 y a 0 的定义域为 2a A 0 B 0 C 0 D 以上答案都不对 3 直角梯形 ABCD 如图 1 动点 P 从点 B 出发 由 B C D A 沿边运动 设点 P 运动的 路程为 x ABP 的面积为 f x 如果函数 y f x 的图象如图 2 所示 则 ABC 的 面积为 A 10 B 32 C 18 D 16 4 已知函数 f x 是 上的增函数 则实数 a 的取值范围是 2 4 1 ax A 0 13B 2 13C 1 0 D 1 2 5 若 f x x 2 ax b 3 x R 的图象恒过 2 0 则 a2 b2 的最小值为 A 5 B 4 C 14D 15 2 6 已知函数 f x g x x 3 则 f x g x 的奇偶性为 1 0 A 是奇函数不是偶函数 B 是偶函数不是奇函数 C 是奇函数也是偶函数 D 不是奇函数也不是偶函数 7 已知图甲为函数 y f x 的图象 则图乙中的图象 对应的函数可能为 A y f x B y f x C y f x D y f x 8 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 g x 是定义在 R 上的奇函数 且 g x f x 1 则 f 2011 f 2013 的值为 A 1 B 1 C 0 D 无法计算 9 某商店已按每件 80 元的成本购进某种上装 1000 件 根据市场预测 当每件售价 100 元 时可全部售完 若定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件 若要获得最大利润 则销售价应 定为 A 110 元 B 130 元 C 150 元 D 190 元 10 定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 1 f x 且在区间 1 0 上为递增 则 A f 3 f f 2 B f 2 f 3 f 2 C f 3 f 2 f D f f 2 f 3 11 已知函数 f x 和 g x 均为奇函数 h x af x bg x 2 在区间 0 上 有最大值 5 那么 h x 在 0 上的最小值为 A 5 B 1 C 3 D 5 12 已知定义在实数 R 上的函数 y f x 不恒为零 同时满足 f x y f x f y 且 当 x 0 时 f x 1 那么当 x 0 时 一定有 A f x 1 B 1 f x 0 C f x 1 D 0 f x 1 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 已知函数 f x 是 上的奇函数 则 g 1 23 0 xg 14 已知函数 f x x 2 2x 4 若 x1 x2 0 且 x1 x 2 则 f x 1 与 f x 2 的大小关系是 15 已知函数 f x x 2 2x a x 0 3 的任意三个不同的函数值总可以作为一个三角形的 三边长 则实数 a 的取值范围 16 设函数 f x x x bx c 给出下列 4 个命题 b 0 c 0 时 方程 f x 0 只有一个实数根 c 0 时 y f x 是奇函数 y f x 的图象关于点 0 c 对称 函数 f x 至多有 2 个零点 上述命题中的所有正确命题的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤 17 已知函数 f x a x2 bx c a 0 的图象过点 A 0 1 和 B 1 0 且 b2 4a 0 1 求 f x 的解析式 2 在 1 的条件下 当 x 2 2 时 g x f x kx 是单调函数 求实数 k 的取值 范围 18 已知定义在区间 0 1 上的两个函数 f x 和 g x 其中 f x x 2 ax 2 a 0 g x 21 1 求函数 f x 的最小值 m a 2 若对任意 x1 x 2 0 1 f x 2 g x 1 恒成立 求 a 的取值范围 4 19 函数 f x a 为常数 12 1 若 a 1 证明 f x 在 2 上为单调递增函数 2 若 a 0 且当 x 1 2 时 f x 的值域为 3 求 a 的值 4 20 已知函数 f x x x m 2x 3 m R 1 若 m 4 求函数 y f x 在区间 1 5 的值域 2 若函数 y f x 在 R 上为增函数 求 m 的取值范围 21 已知函数 f x a c R b N a 0 b 0 是奇函数 在区间 21xb 0 上 函数有最小值 2 且 f 1 5 1 求 f x 的解析式 2 函数 f x 图象上是否存在两点关于点 1 0 对称 若存在 求出这些点的坐标 若不存在 说明理由 5 22 对于定义域为 D 的函数 y f x 若同时满足 f x 在 D 内单调递增或单调递减 存在区间 a b D 使 f x 在 a b 上的值域为 a b 那么把函数 y f x x D 叫做 同族函数 1 求 同族函数 y x2 x 0 符合条件 的区间 a b 2 是否存在实数 k 使函数 y k 是 同族函数 若存在 求实数 k 的取值范围 2x 若不存在 请说明理由 6 2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学 二 函数的概念及其性质 理科 答案 1 解 把函数 y x 的图象向右平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 可得 y x 1 1 的图象 函数 y x 为偶函数 其图象关于 y 轴对称 即对称轴方程为 x 0 函数 y x 1 1 的图象关于 x 1 对称 函数 y x 1 1 的对称轴为 x 1 故选 A 2 解 由 a2x 0 且 a2 0 解得 x 0 函数 y 的定义域为 x x 0 0 故选 A x 3 解 由题意知 BC 4 CD 5 AD 5 过 D 作 DG AB AG 3 由此可求出 AB 3 5 8 S ABC AB BC 8 4 16 12 故选 D 4 解 由已知条件得 205a a 2 13 实数 a 的取值范围是 2 故选 B 13 5 解 把 2 0 代入二次函数解析式得 4 2a b 3 0 即 2a b 1 解得 b 1 2a 则 a2 b2 a2 1 2a 2 5a2 4a 1 5 a 2 51 所以当 a b 时 a 2 b2 的最小值为 故选 D 51 6 解 f x g x 若 x 0 则 x 0 3 x 则 f x x 3 x3 f x 若 x 0 则 x 0 则 f x x 3 x3 f x 故函数为偶函数不是奇函数 故选 B 7 7 解 比较图甲与图乙中两个函数的图象 x 0 时 函数图象与原函数图象相同 只有 B 符合 观察图乙中函数的图象 图象关于 y 轴对称 故图乙中的图象对应的函数为偶函数 选项 B 仍符合 故选 B 8 解 f x 1 g x g x f x 1 又 f x 为偶函数 f x 1 f x 1 f x 1 于是 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 0 f 2011 f 2013 f 2012 1 f 2012 1 0 故选 C 9 解 假设提高售价 x 元 获得总利润 y 元 由题意得 y 20 x 1000 5x 80 5x 5x 2 500 x 20000 0 x 200 x N 对称轴 x 50 当 x 50 即售价定为 150 元时 利润最大 ymax 5 2500 500 50 20000 32500 售价定为 150 元时 利润最大 故选 C 10 解 因为 f x 1 f x 所以 f x 2 f x 1 f x f x 所以 f x 是以 2 为周期的函数 又 f x 为偶函数 且在 1 0 上递增 所以 f x 在 0 1 上递减 又 2 为周期 所以 f x 在 1 2 上递增 在 2 3 上递减 故 f 2 最大 又 f x 关于 x 2 对称 且 离 2 近 所以 f f 3 故选 A 2 11 解 令 F x h x 2 a f x bg x 则 F x 为奇函数 x 0 时 h x 5 x 0 时 F x h x 2 3 又 x 0 时 x 0 F x 3 F x 3 F x 3 h x 3 2 1 故选 B 8 12 解 对任意 x y R 恒有 f x y f x f y 可令 x 1 y 0 可得 f 0 1 f 0 f 1 因为当 x 0 时 f x 1 故 f 1 1 0 所以 f 0 1 再取 x y 可得 f 0 f y y f y f y 1 所以 f y 同理得 f x 1 fy1 f 当 x 0 时 x 0 根据已知条件得 f x 1 即 1 fx 变形得 0 f x 1 故选 D 13 解 由题意 g 1 f 1 f 1 2 1 3 1 故答案为 1 14 解 根据题意 x 1 x2 x 2 0 f x 1 f x 2 x 22 2x2 4 x22 2x2 4 4x2 0 f x 1 f x 2 故答案为 f x 1 f x 2 15 解 由 f x x 2 2x a x 1 2 a 1 x 0 3 得到 f x 的最大值为 f 3 a 3 最小值为 f 1 a 1 由题意可知 2 a 1 a 3 解得 a 5 则实数 a 的取值范围是 a 5 故答案为 a 5 16 解 当 b 0 c 0 时 f x x x c 结合图形知 f x 0 只有一个实 2xc 数根 故 正确 当 c 0 时 f x x x bx 有 f x f x x x bx 故 y f x 是奇函数 故 正确 y f x 的图象可由奇函数 f x x x bx 向上或向下平移 c 而得到 y f x 的 图象与 y 轴交点为 0 c 故函数 y f x 的图象关于 0 c 对称 故 正确 举例可得 方程 x x 5x 6 0 有三个解 6 2 3 即三个零点 故 错误 故答案为 17 解 1 由题设得 f 0 c 1 f 1 a b 1 0 b a 1 9 代入 b2 4a 0 得 a 1 2 4a 0 即 a 1 2 0 解得 a 1 b 2 所以 f x x 2 2x 1 2 g x f x kx x2 2x 1 kx x2 2 k x 1 因为当 x 2 2 时 g x f x kx 是单调函数 所以 2 或 2 k k 解得 k 2 或 k 6 实数 k 的取值范围是 2 6 18 解 1 由 f x x 2 2 得 m a a4 2 043a 2 令 0 x 0 1 则 g x 0 g 0 20000 11 xxx x 0 x 0 0 0 00 1 xx 即 g x 0 g 0 函数 g x 在 0 1 上为增函数 值域为 0 12 由题设 得 f x 2 min g x 1 max 故 或 解得 0 a 2 014a 3a 所求 a 的取值范围为 0 52 19 解 1 证明 若 a 1 则 f x 12 设任意 x1 x 2 2 且 x1 x 2 则 f x 1 f x 2 12 211 x 12 x 因为 x1 2 0 x 2 2 0 且 x1 x2 0 10 则 f x 1 f x2 0 即 f x 1 f x 2 所以 f x 在 2 上是增函数 2 若 a 0 且当 x 1 2 时 同理可证明 f x 在 1 2 上为减函数 所以 f 2 f x f 1 即 f x 1 a 14a 因为当 x 1 2 时 f x 的值域为 3 4 所以 解得 a 2 134a 20 解 1 f x x x 4 2x 3 6 分 23 64xx 2 1 4 3x x 1 5 f x 在 1 3 上递增 在 3 4 上递减 在 4 5 上递增 f 1 2 f 3 6 f 4 5 f 5 12 f x 的值域为 2 12 10 分 2 f x x x m 2x 3 2 3 xm 22 3 mxx 因为 f x 在 R 上为增函数 所以 2 m 2 15 分 2 21 解 1 因为函数 f x 是奇函数 21abc 所以 f x f x 即 化简得 c 0 22x 11 因为 a 0 b 0 所以当 x 0 时 f x 212axb 当且仅当 即 x 时 等号成立 1 所以 a b2 f x b x b 由 f 1 b 解得 b 2 51 又 b N 所以 b 1 a b 2 1 故 f x 21 2 设存在两点 P1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 关于点 1 0 对称 则有 120 xy 122yx 代人 化简 得 解得 或12 12x 12x 所以存在点 1 2 1 2 关于点 1 0 对称 22 解 1 由题意 函数 f x x2 在 a b 上单调递增 则 解得 20ab 01ab 即所求的区间为 0 1 2 若函数 y k 是 同族函数 2x 则存在区间 a b 在区间 a b 上 函数 y f x 的值域为 a b 而函数 y k 在定义域内单调递增 所以 则 a b 是关于 x 的方程 x k 的两个实数根 2akb 2 即方程 x2 2k 1 x k 2 2 0 x 2 x k 有两个不相等的实数根 记 f x x 2 2k 1 x k2 2 12 当 k 2 时 有 解得 k 2 0 2 1fk 94 当 k 2 时 有 无解 0 21fk 综上所述 实数 k 的取值范围是 2 94 13