初三数学复习正多形和圆.doc

初三数学复习正多形和圆一. 本周教学内容： 复习正多形和圆（一）知识要点 1. 正多边形： （1）各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形，仅各角相等，（如矩形）或仅各边相等（如菱形）的多边形不是正多边形。 （2）正多边形是轴对称图形，当边数n是偶数时，又是中心对称图形。正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，其圆心是该正多边形的中心。 （3）边数相同的正多边形是相似多边形，对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （4）正n边形可以分成2n个全等的直角三角形，有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决。 2. 有关圆的计算公式（R为半径；n为弧所对的圆心角的度数） （1）圆周长C2R （2）圆面积SR2 （5）弓形面积：S弓形S扇形S 3. 计算不规则图形的面积时常用割补法，利用图形的割补将问题转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算。 4. 圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长C，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧Cl2rl 5. 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C，半径等于圆锥的母线长l，若圆锥的底面半径为r， 例1. 已知：如图，等腰ABC的顶角A36，O和底边BC相切于中点D，并过两腰中点G、F，又和两腰相交于H、E 求证：五边形DEFGH是正五边形。 分析：正多边形的证明，可用定义或判定定理来证明。本题欲证DEFGH是正五边形，只需证，连结DG和DF，所以只需证明这些弧所对的圆周角相等，即可 证明：连结DG和DF D、G分别为BC、BA的中点 四边形AGDF为平行四边形 1=2=3=A=36 BC是O的切线 4=1=36 5=724=36 同理6=36 1=2=3=5=6 五边形DEFGH是正五边形。 例2. 分析：求等边三角形外接圆的面积，只要确定等边三角形的半径即可。我们从已知条件等边三角形的面积出发，等边三角形的面积可以用两个方法得到 （一）整体考虑；（二）分割成三个全等三角形。 解：（一）过A点作ADBC于D， 正三角形的半径：边心距：高=2：1：3 （二）设O为等边三角形的中心，连结OB、OC，作ODBC于D， R2=416 R=8 正三角形外接圆面积=64 例3. 已知，圆内接正方形的面积为32，求同圆内接正六边形的面积 分析：沟通圆内接正四边形和正六边形的同圆，则半径相同。显然是从正方形的面积中求出正四边形的半径，然后再利用外接圆半径求出正六边形面积 解：如图，连结AC、OE、OF，OMEF于M AC2=2BC2=64 AC=8 OE=OF=R4=4 EOF为等边三角形 例4. 图形的外轮廓线的长度 分析：外轮廓线的长度等于两圆周长和去掉公共弦在两圆中所对的劣弧长之和，关键是求圆心角AO1B和AO2B的度数。 解：连结AB，则O1O2垂直平分公共弦AB，设AO=x 解得：x=1，AB=2x=2，OA1=O1B=2 AO1B是等边三角形，AO1B=60 例5. 如图，已知三个皮带轮的半径都是10cm，圆心距AB=50cm，AC=30cm，BC=40cm，求：皮带的长度。 分析：皮带的长度是由三条线段，和三段圆弧构成，分别求出它们，再求和。 解：设皮带与C、B、A的切点分别是D、E、F、G、M、N，连结CD、CE、BF、BG、AM、AN 则有四边形BCFD、ACEM、ABGN都是矩形 AC2+BC2=302+402=2500=502=AB2 ACB=90，CAB+CBA=90 MAN=180CAB， FBG=180CBA DCE+MAN+FBG =90+180CAB+180CBA =360+90(CAB+CBA) =360 又C、A、B是等圆， 皮带总长是：AB+BC+AC+2R =50+40+30+210=（120+20）cm 例6. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆的三等分点，若半径为R，求阴影部分的面积。 分析：阴影部分的面积不是规则图形的面积，连结CD，则CDAB，于是ADC 解：连结OC、OD、CD COD=60，CDA=DAB=30 CDAB，SACD=SOCD 例7. 如图，以RtABC的直角边BC为直径画半圆，交斜边AB于D，若 分析：阴影面积等于ABC面积减去DBO面积，与扇形ODC面积的和，需求出BC长，DOC的度数 解：连结OD，由切割线定理知： AC2=ADAB，AC2=（ABBD）AB 在RtABC中， 例8. 把一个半圆面围成一个圆锥，则该圆锥轴截面三角形底角的度数是多少？ 解：设半圆DC的半径AC=R 半圆围成的圆锥底面O的半径OC=r R=2r ACO=60 例9. 已知RtABC的斜边AB=13cm，以直线BC为轴旋转一周得到一表面积为90cm2的圆锥，求这个圆锥的高？ 解：如图，设底面圆的半径AC=r， 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆面积 解得r1=5或r2=18（舍去） AC=5 答：圆锥高为12cm。 例10. 弦AB=8，弦CD=4，求图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字） 解：作直径AE，连结BE A、B、C、D是圆周上的四个点， 又AE为O直径 ABE=90 一、选择题 1. 已知一个正n边形的一个外角等于一个内角的2倍，若它的边长为a，则它的半径为（ ） A. aB. C. D. 2. 正六边形的半径为1，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 正n边形的一个外角等于内角的，则该多边形的边数为（ ） A. 10B. 11C. 12D. 13 4. 如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（ ） A. 6：1B. C. 3：1D. 5. 正六边形的边心距等于6，则它的周长等于（ ） A. B. C. D. 6. 一条弧长等于12，它所对的圆心角等于120，则这条弧组成的扇形面积等于（ ） A. 216B. 108C. 864D. 54 7. 圆心角等于120，半径等于3，则圆心角所对的弧与弦组成的弓形面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 以下图形既是中心对称，又是轴对称的图形的是（ ） A. 平行四边形B. 正五边形C. 等腰梯形D. 正六边形 9. 下列各命题中正确的个数是（ ） （1）各边都相等的圆内接多边形是正多边形； （2）多边形的中心角随边长的增大而增大； （3）正n边形是中心对称图形； （4）既有内切圆又有外接圆的多边形是正多边形。 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 10. 正三角形的边长、高、外接圆半径、边心距的比是（ ） A. B. C. D. 11. 等腰RtABC中，A=Rt，BC=2，作其外接圆O，则长是（ ） A. B. C. D. 12. 半径为8cm的圆的圆内有相距为8的两条平行且相等的弦，则在圆内这两条平行弦间所夹的面积为（ ） A. B. C. D. 13. 如图（1），扇形OACB中，AOB=90，P与OA，OB都相切，并且与切于C点，则扇形OACB的面积与P面积的比为（ ） A. 21B. C. D. 14. 周长相等的正方形、正六边形的面积分别为S1和S2，则S1和S2之间的关系是（ ） A. S1S2D. S1S2 15. 已知C，D是以AB=2R为直径的半圆上三等分点，则弦AC，AD和CD围成的面积等于（ ） A. B. C. D. 16. 半径等于a的两个圆相交，若圆心距为则这两圆的公共部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. 如图（2），一个扇形的半径OA=OB=a，圆心角为45，以O为圆心，b长（ba）为半径画CD，阴影部分面积是_。 2. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且它们的面积相等，则这个扇形的弧所对的圆心角为_。 3. 如图（3），AB是O的一条弦，以半径OA为直径的O与弦AB相交于E，则阴影部分面积与弓形面积之比为_。 4. 如图（4），正ABC外切于圆，正方形DEFG内接于圆，若AB=6，则DE=_。 5. 一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为_。三、解答题及证明题 1. 如图（5），正五边形ABCDE的两条对角线AD，BE相交于P，求证PD2=APAD。 2. 如图（6），已知AB，CD是O的直径，以D为圆心，DA为半径的圆交CD于E，证明和所围成的新月形的面积等于ABC的面积。 3. 如图（7），P是圆内接正四边形ABCD中上一点，试求的值。 4. 如图（8），在RtABC中，AC=BC，的圆心为A，如果图中两个阴影部分面积相等，求AD：DB的值。 5. 如图（9），矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC为半径画交AD于F，交BA延长线于E，求阴影部分的面积。参考答案 一、选择题 1. D2. A3. C4. B 5. A6. A7. C8. D 9. A10. A11. B12. A 13. D14. C15. A16. D二、填空题 1. 2. 90 3. 3：1 4. 5. 三、解答题及证明题1. 证明：作此五边形的外接圆O，则 于是AEB=EDA 又PAE=EAD PAEEAD 即AE2=APAD （1） 又 BECD 同理BCAD BPDC是平行四边形 PD=BC=AE （2） 由（1）（2）可得PD2=APAD 2. 证明：连结AD，BD，设O的半径为r，新月形的面积为S，又知AB是直径 ADB=90，AD= 3. 提示：延长PB至E，使BE=PD，连结CE 易证BCEDCP PCE为等腰Rt 4. 提示：S扇形ADEF=SABC而S扇ADEF=AD2 即 5. 解：连结BF ABCD是矩形 BAD=90 BF=BC=2 AB=1 而