初中数学常用的几种经典解题方法.doc

初中数学常用的几种经典解题方法 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10、客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。探索加强初中数学思想方法教学的路径 数学思想方法是中学数学的重要内容之一。数学教学大纲明确指出，中学数学课在进行课本知识教学的同时，大力加强数学思想方法的教学。以下是笔者对于中学数学思想方法教学的一些认识。一、加强数学思想方法教学是当前数学教育的紧迫任务当前数学思想方法教学中存在的问题在当前数学教学中，有些教师缺乏数学思想方法的教学。主要表现在：在判定教学目的时，对具体知识、技能训练的教学要求比较明确，而忽视数学思想方法的教学要求；在教学过程中，往往注重知识的结论，削弱知识形成过程中思想方法的训练；在知识应用过程中，仅偏重于就题论题，忽视数学思想方法的提炼；在小结时，注重知识系统的整理，而忽视思想方法的归纳等等。这样，致使数学教学停留在较低的层次上，学生没有领悟数学的真谛，不懂得数学的价值，不会运用数学概念、思想和方法去思考和解决问题；没有形成良好的思维品质，不具有创新意识。加强数学思想方法教学的目的与意义数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是由知识转化为能力的桥梁，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，是现代教学思想与传统教学思想的根本区别之一，是深化数学教学改革的突破口。同时，从宏观意义上讲，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力；从微观意义上讲，在数学教学和数学学习中，要再现数学的发现过程、提示数学思维活动的一般规律和方法。二、贯彻数学思想方法教学的有效途径由于数学思想方法是数学内容的进一步提炼和概括，是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，因此是一种隐性的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用。数学方法是处理、解决问题的一种方式、途径、手段，是对变换数学形式的认识，同样要通过数学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断实践中才能理解和掌握。要做到“精心提炼，着意渗透，反复孕育，经常应用，分层达到”，就必须重视以下途径：其一，教师要树立数学思想方法教学的核心观念，并准确、清晰地把握好中学数学教材中的数学思想方法。传统的教学忽视思想产生的提示，教学的重点是知识的讲授及有关技能、技巧的掌握，现代的教学则是把思想方法视为知识的核心，力求学生领悟、理解和掌握。在此基础上发展学生的思维能力。具体地讲，当知识的教学涉及和运用某种数学思想方法时，教师不应只是以精心讲授知识的方式附带地对这种数学思想方法作出讲解和强调，而应把这种数学思想方法以明显的方式列入教学内容，并把这种思想方法的掌握变成学生活动的直接目的。同时，教师要深入钻研数学教学大纲、教材，把初中数学教材中隐含的数学思想方法充分挖掘出来。一要把握好初中数学教材中隐含的数学思想方法的水平层次，数学思想方法分布于教材中各个知识点，根据大纲的要求，我们对初中数学教材中蕴含的数学思想方法的要求分成了解、理解、掌握三个层次。了解对数学思想方法的涵义有感性的初步的认识，能在有关的问题中识别它们。如：集体与对应思想，概率与统计思想等。理解对数学思想方法达到了理性认识，不仅能够说出它们是什么，而且能够知道它们的基本观点，有什么问题。如：符号思想，函数学思想等。掌握在对数学思想方法理解的基础上，通过训练，掌握其实质，能用它去解决一些问题。如：转化思想，数形结合思想，分类讨论思想，消元法，配方法等。二要把握某一数学思想方法在不同教材、不同阶段的水平层次，同一种数学思想方法在不同的年级（或不同的章节中）中，要求的层次也应该不同。如换元法在第一册二元一次方程组和分式时达到了解这个层次即可，在第三册一元二次方程时达到理解、掌握即可，而在第三册分式方程和第五册的高次方程、二元二次方程组时需达到灵活运用。其二，在课堂教学过程中，适时渗透数学思想方法。在学习新课中，其实质就是教师和学生一起体验、学习知识的发生、发展、形成的过程。实际上也是思想方法的发生、发展、形成过程。因此像概念的形成过程，命题、定理、公式法则的推导过程，方法的思考过程，规律被揭示过程等等，都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。一是在概念教学中渗透数学思想方法。从长期的教学效果看，如果学生只是机械地背会某一概念，对它的本质属性理解不深，就不可能灵活运用这一概念去解决实际数学问题。正确的做法应该是在概念教学中，充分地进行数学思想方法的渗透与提示。二是在命题、公式、法则教学中渗透数学思想方法。命题、公式、法则的教学是数学的重点，也是教学的难点。说是重点，即是要求学生重点掌握并能熟练运用的内容；说是难点，即是在教学中须精心设计才能较成功地引导学生归纳推导出来。命题、公式、法则的引入、推导、应用的教学，是渗透数学思想方法的大好时机。其教学设计应体现数学思想方法的着意渗透、延迟判断、小步推进、分层达到的推导思想。通过教学，启发诱导学生归纳总结出数学思想方法；通过教学设计，让学生领悟、提炼、概括出数学思想方法；通过解题应用，达到对数学思想的了解、理解和掌握。三是通过小结、复习和专题讲座，提炼、概括出数学思想方法。揭示知识之间的内在联系是小结复习的功能之一。由于同一内容可表现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点。故在课后小结、单元小结和复习以及总复习时，应该在纵横两方面整理出数学思想方法及其系统，同时适时开设专题讲座，讲清其来龙去脉、内涵外延、作用功能等等。这是学生掌握数学思想方法，也是进一步认识外显式的数学知识的有效途径。四是通过“问题解决”，掌握和深化数学思想方法。问题是数学的心脏。数学问题的解决过程，实质是命题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程；数学思想方法则是数学问题的解决的观念性成果，它存在于数学问题的解决之中。数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向。因此通过问题解决，培养数学意识，构造数学模型，提供数学想象，伴以实际操作，诱发创造动机，就把数学嵌入活的思维活动之中，并不断在学习数学、用数学的过程中，引导学生学习知识、掌握方法、形成思想、促进思维能力的发展。其三，分层施教，全面提高。学生的差异是客观存在的。在教学中对不同水平的学生提出不同要求，同时根据他们的学习效果，有效地实施个别辅导。对优生要适当拔高加深，鼓励学生自学、勤练、善思，教师辅以必要的点拨和讲解；对学困生要实施低起点，分散难点，多鼓励、多启发诱导的方法，既补基础知识更补数学思想的引导、揭示、提炼和应用。这样才能真正达到提高全体学生数学素养的目的。同时，在知识形成阶段，可选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代替数的思想方法，函数的思想方法，方程、极限和统计的思想方法等等。在知识推导阶段的解题教学中可选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法，在知识的总结性阶段可采用公理化、结构化等思想方法。总之，由于数学思想方法是基于数学知识又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解，内化为个体认知结构中对数学学习和问题有着生长点和开放面的稳定成分。教材内容的合理编排和高质量的教学设计是贯彻数学思想方法教学的基础和保证。教师要从数学的特征和中学数学内容出发，充分体现“观察实验思考猜想证明（或反驳）”这一数学知识的再创造过程和理解过程，展现概念的提出过程、结论的探索过程和解题的思考过程，对数学具有归纳、演绎两个侧面的全面认识；从使个体掌握知识、形成能力和良好思维品质的全方位要求出发，去精心设计一个单元、一堂课的教学目标、问题提出、情境创设等教学过程的各个环节.