中考数学与函数有关的压轴题(解答题五).docx

中考数学与函数有关的压轴题（解答题五）21（2014甘肃白银,第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x23向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3（1）求点M、A、B坐标；（2）联结AB、AM、BM，求ABM的正切值（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为，当=ABM时，求P点坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；（2）过点B作BEAO于E，过点M作MFAO于M，然后求出EAB=EBA=45，同理求出FAM=FMA=45，然后求出ABE和AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出BAM=90，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；（3）过点P作PHx轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用的正切值列出方程求解即可解答：解：（1）抛物线y=x23向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x1）23，顶点M（1，3），令x=0，则y=（01）23=2，点A（0，2），x=3时，y=（31）23=43=1，点B（3，1）；（2）过点B作BEAO于E，过点M作MFAO于M，EB=EA=3，EAB=EBA=45，同理可求FAM=FMA=45，ABEAMF，=，又BAM=180452=90，tanABM=；（3）过点P作PHx轴于H，y=（x1）23=x22x2，设点P（x，x22x2），点P在x轴的上方时，=，整理得，3x27x6=0，解得x1=（舍去），x2=3，点P的坐标为（3，1）；点P在x轴下方时，=，整理得，3x25x6=0，解得x1=（舍去），x2=，x=时，x22x2=，点P的坐标为（，），综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，）点评：本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论22. （ 2014福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作ABx轴与B，先根据旋转的性质得OA=OA=2，AOA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA=1，AB=OB=，则A点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=（x1）2+的顶点解答：解：（1）二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作ABx轴于点B，线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，OA=OA=2，AOA=2，在RtAOB中，OAB=30，OB=OA=1，AB=OB=，A点的坐标为（1，），点A为抛物线y=（x1）2+的顶点点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质23. 2014广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上直线y=1与y轴交于点H（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，求证：FM平分OFP；（3）当FPM是等边三角形时，求P点的坐标考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PBy轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，PFM=PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得FMH=30，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案解答：（1）解：二次函数图象的顶点在原点O，设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，二次函数的解析式为y=x2；（2）证明：点P在抛物线y=x2上，可设点P的坐标为（x，x2），过点P作PBy轴于点B，则BF=x21，PB=x，RtBPF中，PF=x2+1，PM直线y=1，PM=x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMx轴，MFH=PMF，PFM=MFH，FM平分OFP；（3）解：当FPM是等边三角形时，PMF=60，FMH=30，在RtMFH中，MF=2FH=22=4，PF=PM=FM，x2+1=4，解得：x=2，x2=12=3，满足条件的点P的坐标为（2，3）或（2，3）点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通24. （2014广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点求此抛物线的解析式；若P是此抛物线上任一点，过P作PQy轴且与直线y=2交于Q点，O为原点求证：OP=PQ考点：二次函数综合题分析：（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值（2）直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线r：y=kx+k2+1根据无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（bk）xk2=0中=0这虽然是个方程，但无法求解这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回=中，若不能使其结果为0，则应舍去求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=x2+1上，则可设其坐标为（x，x2+1），进而易求OP，PQ解答：（1）解：l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1k）x+1=0B与A关于原点对称，0=xA+xB=，k=1y=ax2+x+1=a（x+）2+1，顶点（，1）在y=x上，=1，解得 a=（2）解：无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点当k=1时，r：y=x+2，代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b1）x1=0，=0，（b1）2+4a=0，当k=2时，r：y=2x+5，代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b2）x4=0，=0，（b2）2+16a=0，联立得关于a，b的方程组 ，解得 或 r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（bk）xk2=0，=当时，=0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点当时，=，显然虽k值的变化，不恒为0，所以不合题意舍去C：y=x2+1证明：根据题意，画出图象如图1，由P在抛物线y=x2+1上，设P坐标为（x，x2+1），连接OP，过P作PQ直线y=2于Q，作PDx轴于D，PD=|x2+1|，OD=|x|，OP=， PQ=2yP=2（x2+1）=，OP=PQ点评：本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握25.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2x3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得MAD的面积与CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）令y=0，解方程x2x3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：若BCAP1，确定梯形ABCP1此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；若ABCP2，确定梯形ABCP2先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标解：（1）y=x2x3，当y=0时，x2x3=0，解得x1=2，x2=4当x=0，y=3A点坐标为（4，0），D点坐标为（2，0），C点坐标为（0，3）；（2）y=x2x3，对称轴为直线x=1AD在x轴上，点M在抛物线上，当MAD的面积与CAD的面积相等时，分两种情况：点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，C点坐标为（0，3），M点坐标为（2，3）；点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3当y=4时，x2x3=3，解得x1=1+，x2=1，M点坐标为（1+，3）或（1，3）综上所述，所求M点坐标为（2，3）或（1+，3）或（1，3）；（3）结论：存在如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BCx轴，则P1与D点重合，P1（2，0）P1A=6，BC=2，P1ABC，四边形ABCP1为梯形；若ABCP2，此时梯形为ABCP2A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，3），直线AB的解析式为y=x6，可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，3）代入，得b=3，直线CP2的解析式为y=x3点P2在抛物线y=x2x3上，x2x3=x3，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，P2（6，6）ABCP2，ABCP2，四边形ABCP2为梯形综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（2，0）或（6，6）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键=*以上是由明师教育编辑整理=