2020高考数学（文）专项复习《平面向量》含答案解析

平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用61 向量的概念与运算【知识要点】1向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量(2)向量的模：向量的长度，记作：向量的夹角：两个非零向量a，b，作，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：a，b零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量相反向量：长度相等，方向相反的向量向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量记作ab向量垂直；a，b)90时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直2向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则(2)减法：三角形法则(3)数乘：记作：l a它的长度是：l al a它的方向：当l 0时，l a与a同向当l 0时，l a与a反向当l 0时，l a0(4)数量积：定义：ababcosa，b其物理背景是力在位移方向所做的功运算律：1(交换律)abba2(实数的结合律)l (ab)(l a)ba(l b)3(分配律)(ab)cacbc性质：设a，b是非零向量，则：ab0aba与b同向时，ababa与b反向时，abab特殊地：aaa2或夹角：|ab|a| |b|3向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2)减法：ab(x1x2，y1y2)(3)数乘：l a(l x1，l y1)(4)数量积：abx1x2y1y2(5)若a(x，y)，则(6)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(8)a在b方向上的正射影的数量为4重要定理(1)平行向量基本定理：若al b，则ab，反之：若ab，且b0，则存在唯一的实数l 使得al b(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使aa1e1a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)则：abx1y2x2y10，abx1x2y1y20(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则【复习要求】1准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题【例题分析】例1 向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个(1)(bc)a(ca)b与c垂直，(2)若acbc，则ab，(3)(ab)ca(bc)，(4)ababA0B1C2D3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以c(bc)a(ca)b与c垂直；(2)假命题acbcab；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；(3)假命题(ab)ca(bc)，实际上(ab)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(bc)是与a方向相同或相反的一个向量，向量a、c的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题ababcosa，b，且cosa，b1，所以abab解答：选C【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质例2 已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c( )ABCD【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解解：不妨设c(m，n)，则ac(1m，2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又c(ab)，则有3mn0，则有故选择D【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法例3 (1)已知向量，且A、B、C三点共线，求实数k的值(2)已知向量a(1，1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，求实数k的值【分析】(1)向量a与b(b0)共线存在实数m使amb当已知向量的坐标时，abx1y2x2y10(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题ab0abx1x2y1y20解：(1),A、B、C三点共线，即(4k)(5)(4k)(7)0，解得：(2)由(ka2b)a，得(ka2b)aka22ba2k2(23)0，所以k1【评析】向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数m使amb；当已知向量的坐标时，abx1y2x2y10若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合例4 已知：a2，b5，a，b60，求：ab；(2 ab)b；2ab；2 ab与b的夹角q 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：ababcosa，bx1x2y1y2，若a(x，y)，则解：a2，b5，a，b60，ababcosa，b5；(2ab)b2abbb102535；【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式例5 已知向量a(sinq ，cosq 2sinq )，b(1，2)()若ab，求tanq 的值；()若ab，0q p，求q 的值【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画解：()因为ab，所以2sinq cosq 2sinq ，于是4sinq cosq ，故()由ab知，sin2q (cosq 2sinq )25，所以12sin2q 4sin2q 5从而2sin2q 2(1cos2q )4，即sin2q cos2q 1，于是又由0q p知，所以，或因此，或例6 设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为( )(A)2(B)(C)1(D)【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：a，b，c是单位向量，(ac)(bc)ab(ab)cc2故选D例7 在ABC，已知，求角A，B，C的大小【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题解：设BCa，ACb，ABc由得，所以又A(0，p)，因此由得，于是所以，因此，即由知，所以，从而，或，即，或，故，或【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要练习61一、选择题1平面向量a，b共线的充要条件是( )Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量Cl R，bl aD存在不全为零的实数l 1，l 2，l 1al 2b02已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，l ab与a垂直，则l 是( )A1B1C2D23已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为( )ABC(3，2)D(1，3)4设ABC的三个内角A，B，C，向量，若mn1cos(AB)，则C( )ABCD二、填空题5设a(2k2，4)，b(8，k1)，若a与b共线，则k值为_6已知向量，若，则 m_7已知M(3，2)，N(5，1)，则P点坐标为_8已知a21，b22，(ab)a0，则a和b的夹角是_三、解答题9已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值10已知向量a与b同向，b(1，2)，ab10(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a11若向量a与b的夹角为60，b4，(a2b)(a3b)72，求向量a的模62 向量的应用【知识要点】1向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识；2以向量为载体考查三角函数的知识；3在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力例1若，求证三角形ABC是正三角形，【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论证明，即与BC边上的中线垂直，所以ABAC，同理BCBA，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD中，若，判断四边形ABCD的形状【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究解答1从几何意义上设若k0，则ABC，BCD，CDA，DAB都是钝角，与四边形内角和为360矛盾，舍；同理k0时，也不可能，故k0，即四边形ABCD为矩形解答2从运算上，同理；于是，同理，得到四边形ABCD是平行四边形；，四边形ABCD为矩形【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状例3 已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，求角A，B的大小【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A角的三角方程，从而求出三角形的内角A，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角解： ，即，三角形内角acosBbcosAcsinC，sinAcosBsinBcosAsin2C，即sin(AB)sin2C，sinC1，【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如等都说明M是AB中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息例4 已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)(1)若，求c的值；(2)若c5，求sinA的值【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如利用数量积求出cosA进而求sinA；余弦定理正弦定理解：(1)由可得3(c3)160解得(2)法一当c5时，可得AB5，BC5，ABC为等腰三角形，过B作BDAC交AC于D，可求得故法二【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题例5 若等边ABC的边长为，平面内一点M满足，则_解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0，0)，利用向量坐标运算，求得，从而求得，运用数量积公式解得为2另外，还可以通过向量的几何运算求解解：，得到【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性例6 已知向量a(cosa，sina)，b(cosb ，sinb )，c(1，0)()求向量bc的长度的最大值；()设，且a(bc)，求cosb 的值【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：bc(cosb 1，sinb )，则bc2(cosb 1)2sin2b 2(1cosb )1cosb 1，0bc24，即0bc2当cosb 1时，有bc2，所以向量bc的长度的最大值为2解法2：b1，c1，bcbc2当cosb 1时，有bc(2，0)，即bc2，bc的长度的最大值为2(2)解法1：由已知可得bc(cosb 1，sinb )，a(bc)cosa cosb sina sinb cosa cos(a b )cosa a(bc)，a(bc)0，即cos(a b )cosa 由，得，即或b 2kp，(kZ)，于是cosb 0或cosb 1解法2：若，则，又由b(cosb ，sinb )，c(1，0)得a(bc)，a(bc)0，即cosb (cosb 1)0sinb 1cosb ，平方后sin2b (1cosb )21cos2b ，化简得cosb (cosb 1)0解得cosb 0或cosb 1，经检验，cosb 0或cosb 1即为所求例7 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角求ABC的面积【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)mn，asinAbsinB，即，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab，ABC为等腰三角形解(2)由题意可知mp，mp0，即a(b2)b(a2)0，abab，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)例8 已知向量，其中(1)求ab及ab；(2)若f(x)ab2l ab的最小值是，求l 的值【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识解：(1)或(2)f(x)ab2l abcos2x4l cosx2cos2x4l cosx12(cosxl )22l 21当l 0时；f(x)的最小值是1，不可能是，舍；当0l 1时，f(x)的最小值是，解得当l 1时，f(x)的最小值是，解得，舍；【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备练习62一、选择题1若为a，b，c任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是( )A(ab)ca(bc)B(ab)cacbcCm(ab)mambD(ab)ca(bc)2设，且ab，则a 的值是( )ABCD3在ABC中，且ab0，则ABC的形状为( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形4已知：ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，则点P与ABC的位置关系是( )AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在AC边上二、填空题5若向量a，b满足a1，b2，且a与b的夹角为，则ab_6已知向量a(cosq ，sinq )，向量，则2ab的最大值是_7若，且(a2b)(2ab)，则x_8已知向量，且，则向量_三、解答题9平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，b1，求a2b10P在y轴上，Q在x轴的正半轴上，H(3，0)，M在直线PQ上，当点P在y轴移动时，求点M的轨迹C方程11已知向量a(sinq ，1)，(1)若ab，求q ；(2)求ab的最大值习题6一、选择题1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2 a3b( )A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)2给出下列五个命题：a2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2；若ab0，则a0或b0；其中正确命题的序号是( )ABCD3函数y2x1的图象按向量a平移得到函数y2x1的图象，则( )Aa(1，1)Ba(1，1)Ca(1，1)Da(1，1)4若a21，b22，(ab)a0，则a与b的夹角为( )A30B45C60D905已知在ABC中，则O为ABC的( )A内心B外心C重心D垂心二、填空题6已知p(1，2)，q(1，3)，则p在q方向上的正射影长为_；7如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)8给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动若，其中x，yR，则xy的最大值是_9已知向量a(2，4)，b(1，1)，若向量b(al b)，则实数l 的值_；若，则向量a与c的夹角为_；10已知a3，b4，ab2，则ab_三、解答题11已知(1)证明：ab；(2)若kab与3akb平行，求实数k；(3)若kab与kab垂直，求实数k12设向量a(cos23，cos67)，b(cos68，cos22)，uatb，(tR)(1)求ab(2)求u的模的最小值13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求cosC；(2)若，且ab9，求c14已知函数f(x)kxb的图象与x，y轴相交于点A，B，分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量)函数g(x)x2x6，(1)求k，b的值；(2)当x满足f(x)g(x)时，求函数的最小值15已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若f(x)ab在区间(1，1)上是增函数，求t的取值范围参考答案练习61一、选择题1D 2A 3A 4C二、填空题53或5 64 7 845三、解答题9由已知，所以，得x110(1)由已知设a(l ，2l )且l 0，abl 4l 10，l 2，所以a(2，4)；(2)(bc)a(22)a0116练习62一、选择题1D 2C 3C 4D二、填空题5 64 76或9 8三、解答题9 由已知a2，a2b2a24ab4b24421cos60412.10解答：设M(x，y)，M在直线PQ上, ，即y24x(除原点)11解：()若ab，则sinq cosq 0，由此得，所以()由a(sinq ，1)，b(1，cosq )得当时，ab取得最大值，即当时，ab最大值为习题6一、选择题1B 2B 3A 4B 5D二、填空题6 7、 82 9l 3；90 10三、解答题11(2)k；(3)k112答案：(1)，(2)13解答：(1)，又sin2Ccos2C1 解得tanC0，C是锐角 (2)又ab9 a22abb281a2b241c2a2b22abcosC36c614略解：(1)由已知得，B(0，b)，则，于是k1，b2(2)由f(x)g(x)，得x2x2x6，即(x2)(x4)0，得2x4，由于x20，则，其中等号当且仅当x21，即x1时成立的最小值是315略解：解法1：依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，则f (x3x22xt若f(x)在(1，1)上是增函数，则在(1，1)上可设f (x)0f (x)0t3x22x，在区间(1，1)上恒成立，考虑函数g(x)3x22x，由于g(x)的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使t3x22x在区间(1，1)上恒成立tg(1)，即t5而当t5时，f(x)在(1，1)上满足f(x)0，即f(x)在(1，1)上是增函数故t的取值范围是t5解法2：依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f (x)3x22xt若f(x)在(1，1)上是增函数，则在(1，1)上可设f (x)0f (x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当f (1)t10，且f (1)t50时，f (x)在(1，1)上满足f (x)0，即f(x)在(1，1)上是增函数故t的取值范围是t5