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第十四章 电磁场理论的基本概念 S S I I I I L L 图14-114-1平板电容器由半径为R的两块圆形极板构成，用长直电流给其充电， 使极板间电场强度增加率为dE/dt，L为两极板间以r为半径，圆心在电容器对称轴上，圆平面与极板平行的圆以L为边界，作曲面S使圆平面与S形成闭合曲面以包围电容器的一个极板，如图14-1所示，求通过曲面S的全电流，(1)rR 时分析 全电流定理指出，磁场强度沿闭合回路L的线积分等于通过以L为边界的曲面S的全电流，当回路L一定时，积分值是一定的，与所取曲面形状无关因此以r为半径的圆作为回路，通过圆平面的全电流应等于通过曲面S的全电流由于本题中通过S的传导电流是未知的，可以计算通过圆平面的全电流获得所需结果解 (1) rR时, 因为忽略边缘效应，平板电容器的电场局限在极板内，极板面积为，穿过以L为边界的圆平面的传导电流为零，电位移通量为，位移电流为所以穿过S面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为14-2 平板电容器的圆形极板半径为R=0.04m，放在真空中今将电容器充电，使两极板间的电场变化率为2.51012V/(m.s)求：(1)两极板间位移电流的大小；(2)r=0.02m处及r=0.06m处的磁感强度 R rI I E L图14-2分析通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场局限在两极板间 解 (1) 电容器的极板面积为，穿过以L为边界的圆平面的电位移通量为，位移电流为(2)在两极板间取半径为r的磁场线为安培回路L，当r=0.02mR时，因为电场局限在两极板间，求电位移通量时，只应计入极板的面积，位移电流为得14-3给极板面积S=3cm2的平板电容器充电，分别就下面两种情形求极板间的电场变化率dE/dt：(1) 充电电流I=0.01A；(2)充电电流I=0.5A分析 极板内的位移电流与极板外的传导电流在大小和方向上相同，给出传导电流的大小相当于给出位移电流的大小，再根据位移电流的定义便可求出dE/dt解 极板间位移电流为 (1) 当充电电流I=0.01A时，得(2)当充电电流I=0.5A时，得 a b c d 0.1 m 0.3 m图14-414-4平板电容器的正方形极板边长为0.3m，当放电电流为1.0A时，忽略边缘效应，求(1)两极板上电荷面密度随时间的变化率；(2)通过极板中如图14-4所示的正方形回路abcd间的位移电流的大小；(3)环绕此正方形回路的的大小分析若极板上电荷面密度，则对于平板电容器有D=解(1) 极板上电荷，根据传导电流的定义，有，得（2）正方形回路abcd间的位移电流为（3）正方形回路abcd的磁感强度环流为 1.3910-7 Wb/m14-5证明对任意形状电容器, 当电容量C不变化时, 位移电流为, 其中C为电容器电容, V为两极板电势差证 对任意形状的电容器, t时刻极板带电量 q=CV，当C不变时I14-6极板面积为S的一平板电容器与一电动势为E的电源相连接, 若电容器两极板间的距离d随时间变化, 且两极板相互离开的速度的大小为v. 在不考虑电源内阻及线路内阻的情况下, 忽略边缘效应, 求两极板间的位移电流.分析 两极板以速度v相互离开时, 电容器始终与电源相连, 不考虑电源内阻, 也不考虑线路内阻, 两极板的电势差正好为电源电动势于是可以计算出极板间场强和电位移矢量解 板间电位移矢量大小为D=vS14-7如图14-7所示，匀速直线运动的点电荷+q，以速度v向O点运动，在O点处画一半径为R的圆，圆面与v垂直(vc)，试计算通过此圆面的位移电流应用全电流定理计算圆边缘某一点的磁感强度设运动电荷与该点的距离为r, 把计算结果与运动电荷的磁感强度计算式作比较.分析 由运动电荷的磁感强度表示式可以看出，该磁场具有轴对称性，即以电荷运动方向为轴线，与轴线距离相等并与电荷距离相等处磁感强度大小相等、方向在垂直于轴线并以轴线为中心的圆的切线方向P r R v O 图14-7解 半径为R的圆中心到电荷的距离为x，其边缘到电荷的距离，如图14-7所示，当 vc时, 运动点电荷周围电场具有球对称性，以电荷为中心、r为半径的球的电位移通量为q，通过给定圆的电位移通量等于以r为半径以该圆为边界的球冠的通量球冠面积为，则通过给定圆的电位移通量为因=- v，则通过圆平面的位移电流为 (1)分析表明，运动电荷的磁场具有轴对称性，磁场线是垂直于轴线圆心在轴上的一系列同心圆设圆边缘某点P的磁感强度为B，磁场强度为H，以给定圆为积分回路L，应用全电流定理和(1)式，得由于，则因磁感强度方向在垂直于轴线的圆的切线方向，并利用矢量积的定义，可以将上式写成矢量式，为与运动电荷磁感强度计算公式相同
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