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立体几何练习题一、选择题1已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是A. 平面必平行于 B. 平面必与相交C. 平面必不垂直于 D. 存在的一条中位线平行于或在内2若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；（C）充要条件； （D）非充分非必要条件3如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48 （B）18 （C）24 （D）364已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（A） （B） （C） （D）5已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是（A） （B） （C） （D）7设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是A B CD8设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是AAC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若AB=AC，DB=DC，则AD=BCD若AB=AC，DB=DC，则ADBC9若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：；其中正确的命题有A0个 B1个 C2个 D3个10如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（A） （B） （C） （D）11如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（A）2 （B） （C） （D）12若是平面外一点，则下列命题正确的是（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行13对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线14对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（A）若则 （B）若则（C）若则（D）若、与所成的角相等，则15关于直线、与平面、，有下列四个命题： 若，且，则； 若，且，则； 若，且，则； 若，且，则。其中真命题的序号式A B C D16给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）417如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则（A） （B） （C） （D）18如图，平面平面， 与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB=12，则（A）4 （B）6 （C）8（D）9二、计算题1如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.（）求异面直接与所成角的余弦值；（）求二面角的大小；（）设点M在棱上，且为何值时，平面。【解】 解法一：平面， 又，由平面几何知识得：（）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形， 又 四边形是平行四边形。 是的中点，且又， 为直角三角形，在中，由余弦定理得：故异面直线PD与所成的角的余弦值为。（）连结，由（）及三垂线定理知，为二面角的平面角， 二面角的大小为（）连结，平面平面， 又在中， 故时，平面解法二： 平面 又，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，（）， ，。 。故直线与所成的角的余弦值为。（）设平面的一个法向量为，由于， 由 得 取，又已知平面ABCD的一个法向量，。又二面角为锐角， 所求二面角的大小为（）设，由于三点共线，平面 由（1）（2）知：，。 故时，平面。2. 如图,=l , A, B,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:（I） 直线AB分别与平面,所成角的大小；（II）二面角A1ABB1的大小。【解】 解法一：（）如图, 连接A1B,AB1, , =l ,AA1l, BB1l, AA1, BB1. 则BAB1,ABA1分别是AB与和所成的角.RtBB1A中, BB1= , AB=2, sinBAB1 = = . BAB1=45.RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sinABA1= = , ABA1= 30.故AB与平面,所成的角分别是45,30.（）BB1, 平面ABB1。在平面内过A1作A1EAB1交AB1于E，则A1E平面AB1B。过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45， AB1=B1B=. RtAA1B中，A1B= = 。由AA1A1B=A1FAB得 A1F= = ,在RtA1EF中，sinA1FE = = ， 二面角A1ABB1的大小为arcsin.解法二：（）同解法一.（） 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在tR,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), 点F的坐标为(t, t,1t).要使,须=0, 即(t, t,1t) (,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ，点F的坐标为（, ）, =(, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0, ）。 =(,).又=(,)(,1, 1)= =0, , A1FE为所求二面角的平面角.又cosA1FE= = = = = ,二面角A1ABB1的大小为arccos.3在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD，得PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1，由POBO,于是，PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0)，B(1,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,)。E是PB的中点，则E(,0,)。 于是=(,0,),=(0,).设与的夹角为，有cos=， =arccos。异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EFPA,FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在RtAOB中AO=ABcos30=OP,于是,在等腰RtPOA中,PA=,则EF=.在正ABD和正PBD中，DE=DF=. cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.4在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。【解】 （1） BCB1C1， ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)ABC=90,AB=BC=1， ACB=45,异面直线B1C1与AC所成角为45.（2）AA1平面ABC,ACA1是A1C与平面ABC所成的角，ACA1=45.ABC=90，AB=BC=1，AC= AA1=。三棱锥A1-ABC的体积V=SABCAA1=。5如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而 即 平面（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为（III） 设点E到平面ACD的距离为， 在中， 而 点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量。又 点E到平面ACD的距离 6如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为；（）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法：（I）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求。7 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。（）求二面角的平面角的余弦值；（）求点到平面的距离。【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面，从而AM, AMNM，所以为二面角的平面角。又=，MN=,连，得，在中，由余弦定理得。故所求二面角的平面角的余弦值为。（）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，。故点到平面AMN的距离为1。解法2：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，0）,C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以，。因为所以，同法可得。故为二面角的平面角。 故所求二面角AMN的平面角的余弦值为。（）设为平面AMN的一个法向量，则由得 故可取。设与n的夹角为，则。所以到平面AMN的距离为。1D 2A 3D 4B 5C 6B 7B8C 9C 10B 11C 12D 13C 14C15D 16D 17A 18B
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