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第1讲 三角形的边角关系教学内容 佳一动态数学思维秋季人教版，八年级第1讲“三角形的边角关系”.教学目标知识技能1.结合具体实例，使学生掌握三角形边角关系定理及推论；并掌握三角形的高、中线、角平分线以及外角等概念及性质.2.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，提高同学们推理能力和有条理地表达能力.数学思考1.通过合作探索理解并掌握三角形边角关系的一些性质，培养学生抽象概括与观察类推的能力.2.以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性.问题解决1.运用三角形的有关知识解决相应的数学问题.2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果. 情感态度在解决与三角形有关的问题时，锻炼学生推理，归纳的能力. 教学重点和难点教学重点三角形边角的关系，三角形的重要线段，三角形的内角和定理以及三角形的外角定理.教学难点难点：三角形的重要线段的掌握.教与学互动设计动画多媒体语言课件第一课时教学路径学生活动方案说明导入： 老师：同学们，在前几次课中表现的非常好。希望大家继续加油！我们今天学习一种大家非常熟悉的平面图形，你们认识下面这几个图形吗？学生：。老师：同学们，说的非常好。本节课我们将要继续研究三角形，同学们，你能用你所知道的三角形的知识解下面这道题吗？ (课件出示) 小颖的妈妈是某公司的一名工程师，她制作一个零件的形状如图所示，按规定BAC=90，B=21，C=20，检查工人量得BDC=130，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？小颖（点击头像出示）：连接AD并延长（动画展示），如图（1）所示.因为1=3+C，2=4+B，所以1+2=3+C+4+B=（3+4）+C+B=BAC+B+C.所以1+2=90+21+20=131，即BDC=131.由于零件中BDC=130，所以可以断定这个零件不合格.小萍：（点击头像出示）延长CD交AB于E（动画展示），如图（2）所示，因为1=C+A，CDB=1+B，所以BDC=C+A+B=20+90+21=131.由于零件中BDC=130，所以可以断定这个零件不合格.老师：同学们，我们现在各小组交流讨论一下，关于三角形我们都学过哪些内容吗？（同学们讨论，然后让同学们说，最后老师总结一下）回顾1.三角形的概念定义：由_直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.（下一步：在横线上填上：不在同一条）2.三角形的分类按角分：按边分：3.三角形的重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高.说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的_ _部.（下一步：在横线上填上：内） （2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的_部.（下一步：在横线上填上：内）（3）_三角形的三条高的交点在三角形的内部；_三角形的三条高的交点是三角形的顶点；_ _三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部.（下一步：在横线上分别填上：锐角 直角 钝角）4.三角形三边的关系定理：三角形任意两边的和 _第三边.推论：三角形任意两边的差 第三边.（下一步：在横线上分别填上：大于 小于）说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形也可以直接检验较小的两边的和是否大于第三边.5.三角形各角的关系定理：三角形的内角和是_度；推论：（1）当有一个角是90时，其余的两个角的和为90.（2）三角形的任意一个外角_和它不相邻的两个内角的和.（3）三角形的任意一个外角_任意一个和它不相邻的内角.（下一步：在横线上分别填上：180 等于 大于）说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角.老师：同学们，你能利用三角形所学的知识解决下面的问题吗？让我们来试试.探究类型之一 三角形的计数例1 如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有（ ）A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 学生独立完成此题.师指定学生讲解，并总结解决此类题的方法.师：这类型题目只要我们牢牢记住：按照一定的顺序来数才能保证不重不漏解析：连接AB，AD，BE，DE（用动画展示），如图.满足条件的三角形有ABE, ADE, BCE, ECD, ABC, ACD, BED, ABD.答案:在括号中出示答案C老师总结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法.老师：同学们，下面让我们再来看看怎么利用三角形的三边关系来解决问题吧.探究类型之二 三角形的三边关系类似性问题2 现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4学生独立完成本题，老师指定学生讲解，其他同学指正.课件出示解析：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，（下一步）也可以利用检验较小的两边的和是否大于第三边来判断三条线段能否组成三角形.课件出示答案B老师总结：利用三角形的三边关系来确定三条线段能否组成三角形.师：让我们来看看怎么做下面这道题？例2 边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是 4 （换颜色出现） .师：三角形的周长等于三角形三边长的和.因为等腰三角形的周长固定和这个三角形的边长整数，我们能得到什么呢？学生：能求出一边长的取值范围，进而能确定这边可能的取得整数值.师：如果我们设三角形的三边长分别为a,b,c,那你能得到什么他们三者满足什么关系？生1：三角形的三边长分别为a,b,c,a+b+c=20，生2：利用三角形三边的关系我们能得到三个不等式。师：同学们，说得非常好。我们会发现只通过这两个条件我们找到一边的取值范围还是很大？那我们还能怎么做呢？师：我们是不是可以假定a,b,c的大小关系，设abc，这样我们是能得到一个相对来说更小的一个范围呢？学生独立计算，然后找学生说说自己的答案，然后找其他同学指正，最后老师点评.课件出示解析：根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出三角形中一边长的范围，再求出其正整数解，进而求出满足条件的等腰三角形的个数.课件出示答案：设三角形的三边长分别为a,b,c且abc,a+b+c=20，则a7,又由b+ca得a10,所以7a10,所以a可能的整数值为7,8,9.（下一步）所以（a,b,c）为（9,9,2），（9,8,3）,(9,7,4),(9,6,5),(8,8,4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6),其中等腰三角形有（9,9,2），（8，8, 4），（8, 6，6），（7，7,6）.师：前面我们研究在一个图形中到底有几个三角形，还有三角形的三边关系.同学们，我们是不是该研究三角形的角之间有什么关系了？探究类型之三 三角形的内角和定理例3 已知三角形三个内角的度数分别是x，y，z，且x+ yz，则这个三角形是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形学生独立完成本题，老师指定学生讲解，其他同学指正.师：注意强调三角形的内角和为180，是在求跟三角形有关的角的度数时经常要使用的隐含条件.课件出示解析：根据三角形内角和定理，得x+y+z=180.(下一步)结合x+yz，求得z的取值范围,进而可以判断三角形的形状.课件出示答案：解： 因为已知三角形的三个内角度数分别为x，y，z，所以x+y+z=180，又x+yz，所以180-z90，所以这个三角形是钝角三角形.故选C.老师总结：利用三角形内角和为180建立等量关系是解决三角形跟角有关问题的一个隐含条件.老师：同学们，你们能应用三角形的有关角的知识解决下面这道题吗?让我们来看看.例4 如图（1），有一个五角星形ABCDE的图案，（1）你能说明A+B+C+D+E=180吗？（下一步出示）（2）当A点向下移动到BE上如图（2），上述结论是否仍然成立？（3）当A点移到BE的另一侧如图（3），上述结论是否仍然成立？请说明理由.老师：同学们，这道题跟我们所学的三角形有什么关系？你发现了什么？你有什么思路吗？找同学说说自己的解题思路，最后由老师讲解. 课件出示方法一：（1）连接CD（做动画）.将A,B,C,D,E的和转化为ACD的内角和.课件出示答案：解：（1）以题图（1）为例，说明如下：方法一：如图，连接CD，设BD与EC相交于点F,如图.在BEF中，B+E+3=180 在CDF中，1+2+4=180， 所以B+E+3=1+2+4所以B+E=1+2在ACD中，A+ACD+ADC=180，即A+ACF+1+ADF+2=180，所以A+ACF+ADF+B+E=180.方法二：课件出示解析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质来求即可.课件出示答案:解：以题图（1）为例，说明如下：设CE与BD、AD相交于F,如图.在BEF中，B+E+1=180.因为2=A+C，1=2+D,所以1=A+C +D，所以A+B+C+D+E=180.下一步（2）（3）：在老师的指导下，同学们自己完成（2）和（3）.老师总结：（1）在我们解决一些新问题时，往往需要我们将其转化为比较熟悉的问题，再加以解决.（2）本例中出现的“对顶三角形”（如图），有如下结论：1+23+4. 学生相互探讨 教师引导学生复习（如果三角形的外角，三角形的角平分线，三角形的高还没有学，可以由老师当做新课讲解）分类讨论 探究多种解法运用生活的实际问题来激起学习的兴趣第二课时教学路径学生活动学生方案老师：我们前面主要研究三角形的内角之间的关系，我们接下来研究怎么利用三角形的外角的性质来解决问题.同学们，你还记得什么是三角形的外角？三角形的外角有什么性质?老师找同学回答.老师：同学们回答的非常好，我们都记住三角形的外角概念及性质，接下来我们看看同学们对三角形的外角知识的运用是不是也很熟练呢？看下面的题.探究类型之四 三角形的外角和例5 如图，ABC中，A，B，C的外角分别记为，若：=3 ：4 ：5，则A ：B ：C =（ ）A.3 ：2 ：1 B.1 ：2 ：3C.3 ：4 ：5 D.5 ：4 ：3找学生独立解题，老师指定学生说说自己的解题步骤，其他同学指正.师：注意强调三角形的内角和为360，是在求跟三角形有关的角的度数时经常要使用的隐含条件课件出示解析：设=3x,=4x,=5x.(下一步)根据三角形的外角和等于360列方程，再求A，B，C的度数.课件出示答案：解：设=3x，=4x，=5x，则3x+4x+5x=360.解得 x=30.即=90，=120，=150，所以A=180-=180-90=90，B=180-=180-120=60，C=180-=180-150=30,所以A ：B ：C=90：60：30=3：2：1.老师引导学生说出：（1）三角形的外角和等于360；（2）方程思想是解决几何计算问题时常用思想.类似性问题5.将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为 .由同学们自己独立完成，老师请同学回答具体的做题步骤，老师最后出示答案.课件出示答案：75.类似性问题6.如图所示，求A+B+C+D+E+F的度数.请同学们思考：1、 此题能用前面所讲的例4的解题方法来解吗？2、 这道题能利用三角形的外角的性质来解吗？由学生回答问题，老师讲评.课件出示解析：方法一：设BE，CF，AD相互交于G，H，K，如图.HGC=B+C, GHD=D+E, FKH=A+F.又因为HGC，GHD，FKH是GKH的外角，所以HGC+GHD+FKH=360.所以A+F+B+C+D+E=360.方法二：设BE，CF，AD相互交于G，H，K，如图.因为在AFK中，A+F+4=180,在BCG中，B+C+5=180,在EDH中，D+E+6=180,所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因为1+3+2180，14，25，36，所以A+F+B+C+D+E=360.探究类型之五 三角形与平行线的综合运用例6 如图，直线ACBD，连接AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成.四部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成PAC，APB，PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角的度数是0） （1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD； （2）当动点P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.（1） 学生自己独立思考，由学生自己独立完成此题的（1），老师请同学说说自己的解题思路.生1：延长BP交直线AC于点E. ACBD，PEA=PBD. APB=PAE+PEA, APB=PAC+PBD.生2：过点P作FPAC， PAC=APF. ACBD， FPBD. FPB=PBD.APB=APF+FPB=PAC+PBD.师：如果在第二部分上述结论是不是成立？说说你的理由.生：不成立，直接通过画图来说明就可以.（3）对于第三问，学生分组讨论动点P的具体位置都可以在哪里.会有什么样的结论.生1：动点P在射线BA的右侧生2：动点P在射线BA上生3：动点P在射线BA的左侧.学生独立完成解题过程，然后找学生说说自己的答案,最后老师点评.（1）解法一：课件出示解析：延长BP交AC于点E，运用平行线的性质和三角形外角定理.课件出示答案:证明：如图（1），延长BP交直线AC于点E(用动画)，如图. ACBD,PEA=PBD. APB=PAE+PEA, APB=PAC+PBD.解法二：课件出示解析：利用平行线的性质来解题.课件出示答案：证明：如图（2），过点P作FPAC(做动画)，如图. PAC=APF. ACBD, FPBD. FPB=PBD.APB=APF+FPB=PAC+PBD.（2）课件出示解析：动画画图课件出示答案:由观察可知：不成立.（3）课件出示解析:运用平行线的性质或三角形外角的性质即可.课件出示答案：（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB.（证明）按钮：如图（3），连接PA,PB（作动画），设PB交AC于M，如图. ACBD， PMC=PBD.又 PMC=PAM+APM， PBD=PAC+APB .（b）当动点P在射线BA上时，结论是PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD（任写一个即可）.（证明）按钮：证明：如图（4）. 点P在射线BA上，APB=0. ACBD ，PBD=PAC，PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD.（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是PAC=APB+PBD.（证明）按钮：证明：如图（5），连接PA，PB(做动画)，设PB交AC于F，如图. ACBD ， PFC=PBD. PAC=APF+PFA， PAC=APB+PBD.老师总结：解此类探索性命题的关键是由图形提供的信息，探索、猜想、归纳出点在不同位置上有关角之间的变化规律.师：前面讲的你都学会了吗？下面让我们做几道练习题来练一练.类似性问题1：1.如图所示，已知ABC是直角三角形，且BAC=30，直线EF与ABC的两边AC,AB分别交于M,N,那么CME+BNF=（）A.150 B.180 C.135 D.不能确定学生独立完成，师指定学生说说自己的解题思路，其他同学指正3.如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D,E分别在边AB，AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2= （ ）A.150 B.210 C.105 D.75学生独立完成，师指定学生说说自己的解题思路，其他同学指正课件出示解析：ADE是由ABC沿DE翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75，AED+ADE=AED+ADE=180-75=105，1+2=360-2105=1504.如图，BDC=98，C=38，B=23，则A的度数是 （ ）A.150 B.210 C.105 D.75学生独立完成，老师找学生说说自己的解题思路.课件出示解析：连接AD并延长（作动画）.利用三角形的外角性质可得BDC=BAC+B+C.课堂总结我们对三角形的有关性质有了进一步的理解，希望大家在以后的学习中能继续和老师一起学习. 学生独立完成学生独立完成 探求多种解法分类讨论类似性问题：1.A2.B3.A解析：ADE是由ABC沿DE翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75，AED+ADE=AED+ADE=180-75=105，1+2=360-2105=150故选A4. C5. 756.方法一：解：设BE，CF，AD相互交于G，H，K，如图.HGC=B+C, GHD=D+E, FKH=A+F.又因为HGC，GHD，FKH是GKH的外角，所以HGC+GHD+FKH=360.所以A+F+B+C+D+E=360.方法二： 解：设BE，CF，AD相互交于G，H，K.因为在AFK中，A+F+4=180,在BCG中，B+C+5=180,在EDH中，D+E+6=180,所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因为1+3+2180，14，25，36，所以A+F+B+C+D+E=360. 练习册答案：1.C 2.A3.B解析：只有当a2=2,a3=a1+a2=3,a4=a2+a3=5,a5=a3+a4=8,a6=a4+a5=13时，7条线段中任意三条都不能构成三角形，故a6=13.故选B.4.C5.7,6,3或7,6,26.407.1208.9.解：由题意易得五边形ABCDE的内角和为540.因为五边形ABCDE的内角都相等，所以E=EDC=C=5405=108.在AED和BCD中，1+2=180-E=72，3+4=180-C=72.又因为1=2，3=4，所以1=36，3=36，所以x=EDC-1-3=36.补充练习1. 如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分ADC，BM平分ABC，且A27，M33，求C的度数解：因为DM平分ADC，BM平分ABC，所以CDM= ADC, MBC= ABC.由题意易得：CCDMMMBC，即同理，由、得因此C392.三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题(1)把一个三角形分成面积相等的4块(至少给出两种方法)；(2)在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4块，则四边形的一块(阴影部分)恰好可放养几只羊?答案：(1)略(2)连结OC 利用方程组得阴影部分有28只羊.
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