分式训练(教师版).doc

一、条件分式求值类型1归一代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含相同字母积的分式，便可约分求值1已知3，求的值解：由已知条件3，得ab3ab.对待求式进行变形，得.将ab视为一个整体，代入得.类型2整体代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值2已知a2a12，求aa2的值解：由条件式得a2a1，故原式(a2a)11.3已知5，求的值解：显然xy0.将待求式的分子、分母同时除以xy，得5.4已知abc0，求c()b()a()的值解：原式c()1b()1a()1()(cba)3.abc0，原式3.类型3设辅助元代入法在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数k，往往立即可解5已知，求的值解：令k，则a2k，b3k，c4k.原式.6已知0，求的值解：设k0，则x3k，y4k，z7k.原式5.类型4构造互倒式代入法构造x2(x)22迅速求解，收到事半功倍之效7已知m24，求m和m的值解：在m24的两边都加上2，得(m)26，故m.同理(两边都减2)，可得m.8若x3，求x2的值解：x2(x)223227.类型5主元法若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰、解法简洁9已知3x4yz0，2xy8z0，求的值解：以x、y为主元，解方程组得原式1.10若4x3y6z0，x2y7z0(xyz0)，求代数式的值解：将已知条件看作关于x、y的二元一次方程组解得故原式 13.类型6倒数法已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分，然后将三个已知式相加，这样解非常简捷11已知x3，求的值解：(x)213218，.12已知三个数x、y、z满足2，.求的值解：先将三个已知条件中的分子化为相同，得到2，.取倒数，有，.将以上三个式子相加，得.两边再同时取倒数，得4.二、分式的运算题组1分式的混合运算1计算：(1)；解：原式1.(2)；解：原式.(3)()；解：原式. (4)(巴中中考)；解：原式. (5)(1)；解：原式x1. (6)(南充中考)(a2)；解：原式2(a3)2a6. (7)(x1)；解：原式. (8)(1).解：原式.题组2分式的化简求值2(舟山中考)先化简，再求值：(1)，其中x2 016.解：原式.当x2 016时，原式.3(湘潭中考)先化简，再求值：()，其中x2.解：原式.当x2时，原式.4(资阳中考)先化简，再求值：(a)(a2)，其中a满足a20.解：原式.当a20，即a2时，原式3.5(乐山中考)化简并求值：()，其中x、y满足|x2|(2xy3)20.解：|x2|(2xy3)20， 解得原式.当x2，y1时，原式.6(泰州中考)先化简，再求值：(1)，其中x满足x2x10.解：原式x.x2x10，x2x1.原式1.7(西宁中考)化简：，然后在不等式x2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值解：原式.不等式x2的非负整数解是0，1，2.答案不唯一，如：当x0时，原式2；当x1时，原式1；当x2时，原式.8化简求值：(a2b)，其中a，b满足解：原式.a，b满足原式.9(河南中考)先化简，再求值：(1)，其中x的值从不等式组的整数解中选取解：原式.解得1x，不等式组的整数解为x1，0，1，2，要使分式有意义，x只能取2，原式2.10(烟台中考)先化简：()，再从2x3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值解：原式.取x2，当x2时，原式4.(答案不唯一注：x1，0)三、分式方程的解法归类类型1利用常规步骤解分式方程1解分式方程：1；解：原方程可化为1.方程两边同乘以(x2)(x2)，得(x2)216(x2)(x2)整理，得4x8，解得x2.检验：当x2时，(x2)(x2)0，所以x2是原方程的增根，原方程无解类型2列项相消法解分式方程2解方程：.解：原方程变形为.整理，得0，去分母，得x32x0，解得x3.经检验，x3是原分式方程的解3解方程：.解：原方程变形为()()().整理，得，去分母，得2(x9)2x9x，解得x2.经检验，x2是原分式方程的解类型3两边通分法解分式方程4解方程：.解：两边通分，得，6x36，x6.经检验，x6是原分式方程的解5解方程：.解：移项，得，两边通分，得，x23x2x27x12，4x10，x2.5.经检验，x2.5是原分式方程的解四、巧用分式方程的解求值技巧1利用分式方程解的定义求字母的值1已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m22m的值解：解分式方程，得x3.将x3代入，得，解得m.m22m()22.技巧2利用分式方程有(无)解求字母的值2若关于x的方程2有解，求m的取值范围解：去分母并整理，得xm40.解得x4m.分式方程有解，x4m不能为增根又原方程若有增根，则增根为x3，4m3.解得m1.当m1时，原分式方程有解3已知关于x的方程m4无解，求m的值解：原方程可化为(m3)x4m8.由于原方程无解，故有以下两种情形：若整式方程无实根，则m30且4m80，此时m3；若整式方程的根是原方程的增根，则3，解得m1.经检验，m1是方程3的解综上所述，m3或1.技巧3利用分式方程有增根求字母的值4当m为何值时，分式方程会产生增根？解：去分母并整理，得(m2)x5m，假设产生增根x1，则有m25m，方程无解，不存在m的值，使原方程产生增根x1；假设产生增根x1，则有2m5m，解得m.当m时，分式方程产生增根技巧4利用分式方程解的正负性求字母的值5(齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程2的解为正数，求满足条件的正整数m的值解：原方程可化为x2(x2)m，x4m，方程解为正数，4m0，解得m4，正整数m可取1、2、3.又方程的解不能是增根，4m2，m2，正整数m只能取1、3.6当a为何值时，关于x的方程的解为负数？解：去分母，得(x1)(x3)x(x2)xa，解得x.由题意可得：x0， 且x2、3，解得a3.即2且3，解得a12.当a3且a12时，原分式方程的解为负数五、分式方程应用题的常见类型类型1工程问题1某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队再单独施工45天可完成求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为12(十堰中考)甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x5)个字，由题意，得，解得x45.经检验，x45是原方程的解答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字3(广东中考)某工程队修建一条1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，结果提前4天完成任务(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)在这项工程中，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米，得4，解得x100.经检验，x100是原方程的解答：这个工程队原计划每天修建100 m.(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，可得，解得y20.经检验，y20是原方程的解答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十4一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天根据题意，得，解得x20，经检验，x20是方程的解且符合题意15x30.答：甲公司单独完成工程需20天，乙公司需30天(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y1 500)元，根据题意，得12(yy1 500)102 000，解得y5 000.甲公司单独完成此项工程所需的施工费为205 000100 000(元)；乙公司单独完成此项工程所需的施工费为30(5 0001 500)105 000(元)甲公司的施工费较少类型2行程问题5(娄底中考)甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟(1)求乙骑自行车的速度(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？解：(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意，得2，解得x300.经检验，x300是方程的解答：乙骑自行车的速度为300米/分钟(2)3002600(米)答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米6从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1 800 km，高铁开通后，高铁列车的行程约为860 km，运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度解：设特快列车的平均速度为x km/h，根据题意可列出方程为16，解得x91.检验：当x91时，2.5x0.所以x91是方程的解答：特快列车的平均速度为91 km/h.类型3销售问题7某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用的文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元请问该学校九年级学生有多少人？解：设九年级学生有x人，根据题意，得0.8，整理得0.8(x88)x，解得x352.经检验，x352是方程的解答：这个学校九年级学生有352人8华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2 500元，购买B品牌足球花费了2 000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；(2)华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3 260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？解：(1)设购买一个A品牌足球需x元，则购买一个B品牌足球需(x30)元，根据题意，得2，解得x50.经检验，x50是原方程的解则x3080.答：购买一个A品牌足球需50元，购买一个B品牌足球需80元(2)设本次购买a个B品牌足球，则购进A品牌足球(50a)个，根据题意，得50(18%)(50a)800.9a3 260，解得a31.a取正整数，a最大值为31.答：此次华昌中学最多可购买31个B品牌足球9(常德中考)某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 985元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？解：(1)设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，根据题意，得10，解得x15.经检验，x15是此方程的解，则2x30.答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件(2)设第二批衬衫每件售价为y元，根据题意，得30(200)15(y)1 985，解得y172.答：第二批衬衫每件至少要售172元