宁波市2013年中考数学卷(含详细答案解析).doc

宁波市2013年中考数学卷一、选择题（每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）15的绝对值为（ ）A 5 B 5 C D 2下列计算正确的是（ ）A B C D3下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A B C D4在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）A B C D5备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学计数法表示为（ ）A元 B元 C元 D元6一个多边形的每个外角都等于72，则这个多边形的边数为（ ）A5 B6 C7 D87两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是( )A内含 B内切 C相交 D外切8如果三角形的两条边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（ ）A6 B8 C10 D129下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（ ） A B C D10如图，二次函数y=ax2bxc的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）Aabc0 B2ab0 Cabcb）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）A Ba=3b C Da=4b二、填空题（每小题3分，满分18分）13实数8的立方根是 14因式分解：x24= 15已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴对称，则该函数的解析式为 16数据2，1，0，3，5的方差是 17如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=，弦CD=DE=4，连接OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 18如图，等腰直角三角形ABC顶点A，C在x轴上，BCA=90，AC=BC=，反比例函数y=（x0）的图象分别与AB，BC交于点D，E当BDEBCA时，点E的坐标为 三、解答题（本大题有8小题，共76分）19（本题6分）先化简，再求值：（1a）（1a）（a2）2，其中a=320（本题7分）解方程：21（本题7分）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹，如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45和60，若此观测点离地面的高度CD为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）22（本题9分）2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如下图所示：（1）这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？（2）当0AQI50时，空气质量为优，求这11个城市当天的空气质量为优的频率；（3）求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量的平均数23(本题9分)已知抛物线y=ax2bxc与x轴交于点A（1，0），B（3，0）且过点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=x上，并写出平移后抛物线的解析式24（本题12分）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需155万元，预计全部销售后获毛利润共21万元（毛利润=（售价进价）销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润25（本题12分）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120，C=75，BD平分ABC，求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在1216的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A，B，C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90，AC是四边形ABCD的和谐线，求BCD的度数26（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，0），点P在射线AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD，过P，D，B三点作Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连接EF，BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，求证：BDE=ADP；设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2:1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案1【考点】绝对值【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值【解答】B【点评】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是02【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项【分析】a2a2=2a2，2aa=a，（a2）3=a6【解答】C3【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断【解答】D【点评】判断中心对称图形就是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合4【考点】概率公式【分析】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是=【解答】D【点评】概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率5【考点】科学记数法（表示较大的数）【分析】77亿=77 0000 0000=77109【解答】A【点评】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数6【考点】多边形内角与外角【分析】多边形的边数是36072=5【解答】A【点评】任何多边形的外角和都是360度7【考点】圆与圆的位置关系【分析】两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，又23=5，这两个圆外切【解答】D【点评】掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间8【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系【分析】设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，则2c10，14三角形的周长20，故7中点三角形周长10【解答】B9【考点】展开图折叠成几何体【分析】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体；C、剪去阴影部分后，能组成长方体；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体【解答】C【点评】空间想象能力10【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】根据图示知，抛物线开口方向向上，则a0抛物线的对称轴x=10，则b0抛物线与y轴交与负半轴，则c0，所以abc0故选项A错误；x=1，b=2a，2ab=0故选项B错误；对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（1，0），当x=1时，y=0，即abc=0故选项C错误；根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则=b24ac0，则4acb20故选项D正确【解答】D【点评】二次函数y=ax2bxc系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定11【考点】梯形；等腰三角形的判定与性质【分析】延长AE交BC于F，AE是BAD的平分线，BAF=DAF，AECD，DAF=AFB，BAF=AFB，AB=BFAB=，BC=4，CF=4=ADBC，AECD，四边形AFCD是平行四边形，AD=CF=【解答】B【点评】梯形问题，关键在于准确作出辅助线12【考点】整式的混合运算【分析】左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，AD=BC，即AEED=AEa，BC=BPPC=4bPC，AEa=4bPC，即AEPC=4ba，阴影部分面积之差S=AEAFPCCG=3bAEaPC=3b（PC4ba）aPC=（3ba）PC12b23ab，则3ba=0，即a=3b【解答】B13【考点】立方根【分析】（2）3=8，8的立方根是2【解答】2【点评】如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根14【考点】因式分解（运用公式法）【分析】x24=（x2）（x2）【解答】（x2）（x2）【点评】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点：两项平方项，符号相反15【考点】反比例函数的性质【分析】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，y=，即y=【解答】y=16【考点】方差【分析】这组数据2，1，0，3，5的平均数是（21035）5=1，则这组数据的方差是（21）2（11）2（01）2（31）2（51）2= 【解答】【点评】一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2=（x1）2（x2）2（xn）217【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】弦AB=BC，弦CD=DE，点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，BOD=90，过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，FOG=45，在四边形OFCG中，FCD=135，过点C作CNOF，交OG于点N，则FCN=90，NCG=13590=45，CNG为等腰三角形，CG=NG=2过点N作NMOF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，OG=ONNG=6，在RtOGD中，OD=2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD=10【解答】10【点评】解答本题的关键是求出圆O的半径18【考点】反比例函数综合题【分析】如图，BCA=90，AC=BC=2，反比例函数y=（x0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，BAC=ABC=45，且可设E（a，），D（b，），C（a，0），B（a，2），A（2a，0），易求直线AB的解析式是y=x2a又BDEBCA，BDE=BCA=90，直线y=x与直线DE垂直，点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3又点D在直线AB上，=b2a，即2a22a3=0，解得a=，点E的坐标是（，）【解答】（，）【点评】注意双曲线的对称性的应用19【考点】整式的混合运算（化简求值）【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算【解答】解：原式=1a2a24a4=4a5，当a=3时，原式=125=1720【考点】解分式方程【分析】【解答】解：方程的两边同乘（x1），得3=x5（x1），解得x=2，检验，将x=2代入（x1）=10，x=2是原方程的解【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根21【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）【分析】在RtACD和RtCDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=ADBD即可求出AB的值【解答】解：由题意得，EAC=45，FCB=60，EFAB，CAD=ECA=45，CBD=FCB=60在RtCDB中，tanCBD=，BD=17，AD=CD=51米，AB=ADBD=5117答：A，B之间的距离为（5117）米【点评】根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形22【考点】条形统计图；频数与频率；算术平均数；中位数；众数；极差【分析】（1）极差=最大值最小值；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；（2）从条形统计图中找出这11个城市当天的空气质量为优的城市个数，再除以城市总数；（3）根据平均数的计算方法进行计算【解答】解：（1）极差：8037=43；众数：50；中位数：50；（2）这11个城市中当天的空气质量为优的有6个，这11个城市当天的空气质量为优的频率为；（3）=（5060573755）=518【点评】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据23【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）利用交点式得出y=a（x1）（x3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=x2【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x1）（x3），把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，故抛物线解析式为y=（x1）（x3），即y=x24x3，y=x24x3=（x2）21，顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=x上【点评】根据平移性质得出平移后解析式24【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为155万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润【解答】解：（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意，得解得答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得0.4（20a）025（302a）16，解得a5设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得W=0.03（20a）0.05（302a）=0.07a2.1，k=0.070，W随a的增大而增大，当a=5时，W最大=245答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大最大毛利润为2.45万元25【考点】四边形综合题【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明ABD和BDC是等腰三角形；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在弧BC上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形；（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30的直角三角形性质求出BCD的度数【解答】解：（1）ADBC，ABCBAD=180，ADB=DBCBAD=120，ABC=60BD平分ABC，ABD=DBC=30，ABD=ADB，ADB是等腰三角形在BCD中，C=75，DBC=30，BDC=C=75，BCD为等腰三角形，BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图： （3）AC是四边形ABCD的和谐线，ACD是等腰三角形AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，AB=AC=BC，ACD=ADC，ABC是正三角形，BAC=BCA=60BAD=90，CAD=30，ACD=ADC=75，BCD=6075=135如图5，当AD=CD时，AB=AD=BC=CDBAD=90，四边形ABCD是正方形，BCD=90；如图6，当AC=CD时，过点C作CEAD于E，过点B作BFCE于F，AC=CD，CEAD，AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=BFE=90，四边形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC，BF=BC，BCF=30AB=BC，ACB=BACABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15，BCD=153=45【点评】解答如图6这种情况容易忽略，应合理运用分类讨论思想26【考点】一次函数综合题【分析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx4，把（4，0）代入求得k；（2）先证出BODCOD，得出BOD=CDO，再根据CDO=ADP，得出BDE=ADP；先连结PE，根据ADP=DEPDPE，BDE=ABDOAB，ADP=BDE，DEP=ABD，得出DPE=OAB，再证出DFE=DPE=45，最后根据DEF=90，得出DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；（3）当=2时，过点F作FHOB于点H，则DBO=BFH，再证出BODFHB，得出FH=2，OD=2BH，再根据FHO=EOH=OEF=90，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x，联立y=x4求出点P的坐标；当=时，连结EB，同理可求出点P的坐标【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx4，代入（4，0）得4k4=0，解得k=1，则直线AB的函数解析式为y=x4；（2）由已知得OB=OC，BOD=COD=90，又OD=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP；连结PE，ADP是DPE的一个外角，ADP=DEPDPE，BDE是ABD的一个外角，BDE=ABDOABADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45DF是Q的直径，DEF=90，DEF是等腰直角三角形，DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FHOB于点H，DBOOBF=90，OBFBFH=90，DBO=BFH又DOB=BHF=90，BODFHB，=2，FH=2，OD=2BHFHO=EOH=OEF=90，四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4ODDE=EF，2OD=4OD，解得OD=，点D的坐标为（0，），直线CD的解析式为y=x由解得则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）可得ADB=EDP，而ADB=DEBDBE，EDP=DAPDPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF是等腰直角三角形过点F作FGOB于点G，同理可得BODFGB，=，FG=8，OD=BGFGO=GOE=OEF=90，四边形OEFG是矩形，OE=FG=8，EF=OG=42ODDE=EF，8OD=42OD，OD=，点D的坐标为（0，），直线CD的解析式为y=x，由解得点P的坐标为（8，4）综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，4）【点评】综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组