甘肃省2012年西北师大附中高三年级诊断考试试卷文科数学.doc

2012 年西北师大附中高三年级诊断考试试卷 数学 文科 温馨提示 考试时间 120 分钟 满分 150 分 考试结束后只交答题纸 祝您考试成 功 参考公 式 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 那么 P A B P A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么在 n 次独立重复试验中事 件 A 恰好发生 k 次的概率为 n 1 0 12 knknPCp 球的表面积公式 24sR 其中 R 表示球的半 径 球的体积公式 3v 其中 R 表示球的半径 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 集合 若 则 的值为 02Aa 21B 0 1246AB a A 1 B 2 C 3 D 4 2 是 的 cbd bcd 且 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必 要条件 3 若 是第四象限角 则 5tan12 sin A B C D 15 513513 4 记函数 的反函数为 则3xy ygx 0 A B C D 22 5 若变量 满足约束条件 135yx 则 的最大值为 xy 2zxy A 1 B 2 C 3 D 4 来 6 已知各项均为正数的等比数列 满足 12a 5 789a 10 则 56a n A 52 B C D 2 76 7 设 P 为曲线 C 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为23yx 则点 P 横坐标的取值范围为04 A B C D 12 10 01 12 8 正方体 ABCD 1中 1B与平面 1ACD所成角的余弦值为 A 3 B 3 C 23 D 63 9 从 名男生和 名女生中选 人组队参加某集体项目的比赛 其中至少有一名女生入选5 的组队方案数为 A B C D 1010120180 10 已知向量 满足 则 a b a b a b a b A B C D 256 11 设 是奇函数 则使不等式 成立的 的取值范围是 lg1fxa 0fx x A B C D 0 01 12 椭圆 21 xyab 的右焦点 F 其右准线与 x轴的交点为 在椭圆上存A 在点 满足线段 的垂直平分线过点 则椭圆离心率的取值范围是PA A B C D 20 0 2 21 1 2 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 定义在 R 上的函数 既是偶函数又是周期函数 若 的最小正周期是 且当 xf xf 时 则 的值为 2 0 xsin 3 f 14 若 则 的值为 092091 1 axaxR 20912aa 15 设抛物线 的焦点为 准线为 为抛物线上一点 为垂足 如28yx FlPPAl 果直线 的斜率为 3 那么 AF 16 球 的半径为 圆 是球 的一个小圆 是圆 上两点 若O21O12 B1O 两点间的球面距离为 则 B3 1AB 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 17 本小题满分 10 分 在 中 角 所对的边分别为 且满足 ABC abc25osA 3BAC 1 求 的面积 2 若 求 的值 6 18 本小题满分 12 分 在数列 中 na1 12nna 1 设 证明 数列 是等差数列 2b nb 2 求数列 的前 项和 nS 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 PABCD 中 底面 AB为矩形 底面 2 点 E是棱 P的中点 1 证明 E平面 2 若 1 求二面角 的平面角的余弦值 20 本小题满分 12 分 在举办的环境保护知识有奖问答比赛中 甲 乙 丙同时回答一道有关环境保护知识的问 题 已知甲回答对这道题目的概率是 甲 丙两人都回答错的概率是 乙 丙两人3412 都回答对的概率是 14 1 求乙 丙两人各自回答对这道题目的概率 2 求甲 乙 丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率 21 本小题满分 12 分 设 axxf213 1 若 在 上存在单调递增区间 求 的取值范围 a 2 当 时 在 上的最小值为 求 在该区间上的最大值 0 a xf 4 1 316 xf 22 本小题满分 12 分 已知双曲线 的左 右焦点分别为 过点 的动直线与双曲线相交于2xy 1F22 两点 AB 1 若动点 满足 其中 为坐标原点 求点 的轨迹方程 M11FABFO M 2 在 轴上是否存在定点 使 为常数 若存在 求出点 的坐标 若不存xCC 在 请说明理由 2012 年西北师大附中高三年级诊断考试试卷答案 数学 文科 一 选择题 5 分 12 60 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D A D B C A A D B D A D 二 填空题 5 分 4 20 分 13 14 15 16 231 82 三 解答题 本大题共 6 小题 每小题 70 分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 17 1 25cosA 34cos sin55A 又 3BC bbc sin2ASc 2 或 5b 6 5 1c 5c 由余弦定理得 22os20abA 18 1 即 1nn 1na 1nb 为等差数列 nb 2 1nb12na 012 nS A A1nn 两式相减 得 01122nnnS A A 19 1 证明 由 底面 得 由 知 为等腰直角三PBCDPBAPB 角形 又点 是棱 的中点 故 由题意知 又 是 在面 内EBEACD 的射影 由垂线定理得 从而 平面 因 所以 BCPPABEPABCAE 平面 2 解 由 1 知 平面 又 得 平面 故 DCD AE 在 中 PBRt A2 1212 ABPBE 从而在 所以 为等边三角形 2 C又中 E 取 的中点 连接 则EFDCF 因 1 且 则 为等腰直角三角形 连接 则 BBE BFC 所以 为所求的二面角的平面角 连接 在 中 R 3 21 263sin 2 CDBCEBFCDF 所以 故二面角 的平面角的余弦值为 3co DE 3 解二 1 如图 以 为坐标原点 射线 分别为 轴 轴 轴正半AABPxyz 轴 建立空间直角坐标系 设 则 D 0 a 0 2 0 aCB 2 EP 于是 0 0 aBCA 2 aP 则 所以 平面 PEAEBC 2 解 设平面 的法向量为 由 1 知 平面 nE 故可取 2 0 1 An 设平面 的法向量 则 DEC 22zyxn 02 DCn 02 En 由 1 得 从而 A0 1 0 21 故 所以 可取 22 zyx 2 2yzx 0 22 n则 从而 所以二面角 的平面角的余弦值为 3 cos2121 nnBECD 3 20 1 设乙 丙各自回答对的概率分别是 12P 根据题意 得21231 4 P 解得 138 2 2 4385 p 21 1 在 上存在单调递增区间 即存在某个子区间 使 xf 32 nm 得 由 在区间 上单0 axax21 2 xf 调递减 则只需 即可 由 解得 0 32 f 093 f 9 所以 当 时 在 上存在单调递增区间 91a xf 2 令 得两根 0 xf 2811a 2811ax 2812ax 所以 在 上单调递减 在 上单调递增f 1 x 1 当 时 有 所以 在 上的最大值为20 a42 xf 4 2xf 又 即067 4 af 所以 在 上的最小值为 得 x 1 31608 af a2 x 从而 在 上的最大值为 f 2 22 解 由条件知 设 1 20 F 2 1 Axy 2 Bxy 解法一 1 设 则 则 Mxy 1F 11F 由 得221 FBxO O 即126y 214xy 于是 的中点坐标为 AB 当 不与 轴垂直时 即 x1248yyx 1212 8yx 又因为 两点在双曲线上 所以 两式相减得AB 21y2xy 即 1212122 xxy 212 4 y 将 代入上式 化简得 8y 6xy 当 与 轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx12x 80 M 所以点 的轨迹方程是 M 6 4y 2 假设在 轴上存在定点 使 为常数 xCm AB 当 不与 轴垂直时 设直线 的方程是 AB 2 1ykx 代入 有 2xy 222 1 4 0kx 则 是上述方程的两个实根 所以 12 214kx214kx 于是 21212 CABxmk 221 4kkxm 2224 1k 2 22 2 4 1 1mk 因为 是与 无关的常数 所以 即 此时 CAB k40m 1CAB 1 当 与 轴垂直时 点 的坐标可分别设为 xAB 2 2 此时 12 1 故在 轴上存在定点 使 为常数 x0C 解法二 1 同解法一的 I 有 124xy 当 不与 轴垂直时 设直线 的方程是 ABxAB 2 1kx 代入 有 2y 222 1 4 0kx 则 是上述方程的两个实根 所以 12x 214kx 21212 24 kykx 由 得 24k21yk 当 时 整理得0k y4xy 224 4 1xyxy 2 6 4x 当 时 点 的坐标为 满足上述方程 0kM 0 当 与 轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx12x 80 M 故点 的轨迹方程是 6 4y 2 假设在 轴上存在定点点 使 为常数 x Cm AB 当 不与 轴垂直时 由 I 有 AB211kx 241kx 以上同解法一的 2