上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷数学(附解答).doc

上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷高二数学本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题(3分12=36分 )（第9题）1、已知，则2、一个等差数列的前4项是，则等于_ 3、行列式的值为_4、关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 5、若，则化简后的最后结果等于_6、在四边形ABCD中，则四边形ABCD的形状是_7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种（用数字作答）。8、设数列的首项且前项和为.已知向量，满足，则_9、右上图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 10、如图，在中，点D在BC上，且；点E在AC上，且。AD与BE的交点为F。若设，于是可得出：，于是由，可求出_ 11、在共有2009项的等差数列 中，有等式成立,类比上述性质，相应的，在共有2011项的等比数列中，有等式 成立。12、在n个红球及n个白球，总计2n个球中取出m（）个球的方法数是，该方法数我们还可以用如下方法得到：只取m个红球；取个红球，1个白球；取个红球，2个白球；。于是可得到组合数公式：，按如上方法化简下式得到的结果是：_（其中）二、选择题(3分4=12分)13、已知数列中，（kN+），用数学归纳法证明能被4整除时，假设能被4整除，应证（ ） （A）能被4整除 （B）能被4整除 （C）能被4整除 （D）能被4整除14、若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素的含义如下：表示语文成绩，表示数学成绩，表示英语成绩，表示语数外三门总分成绩表示第名分数。若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（ ）（A）语文 （B）数学 （C）外语 （D）都一样15、若等边的边长为，平面内一点满足，则（ ）（A） 2 （B）3 （C） （D）16、关于的齐次线性方程组的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵，使得，（表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则（ ）（A），且 （B），且 （C），且 （D），且 三、解答题(9分+9分+10分+10分+14分=52分)17、已知向量，的夹角为60，且，设，（1）求； （2）试用来表示的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围； 18、用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组解的情况并求解。19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题（1）一共有多少个没重复数字的四位数？（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？（3）（2）中的第100个数字是多少？Ti15输出Ti20、把公差为2的等差数列的各项依次插入等比数列的第1项、第2项、第n项后，得到数列：，记数列的前项和为，已知，（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的第2010项；（3）设 ，阅读框图写出输出项，并说明理由21、若数列中， ，。请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。（1）可考虑利用算法来求的值，其中m为给定的数据。右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的_（请填出全部答案）cba -2a+4cb -5a+7ci i+1caa -2c+4bb -5c+7bi i+1(A) (B) cbb -5a+7ca -2a+4ci i+1ca, db(C) (D)a -2c+4db -5c+7di i+1（2）我们可证明当时，及均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。证明：是等比数列，过程如下：所以是以为首项，以_为公比的等比数列；同理是以为首项，以_为公比的等比数列（3）若将写成列向量形式，则存在矩阵A，使，请回答下面问题：写出矩阵A=_ ； 若矩阵，矩阵，其中矩阵只有一个元素，且该元素为中所有元素的和，请写出满足要求的一组：_； 矩阵中的唯一元素是_。计算过程如下：上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期高二数学期终试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题(312=36 )1、已知，则答案：12、一个等差数列的前4项是，则等于_ 答案：23、行列式的值为_答案：34、关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 答案：45、若，则化简后的最后结果等于_。答案：6 6、在四边形ABCD中，则四边形ABCD的形状是_答案：矩形7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种（用数字作答）。答案：72（第9题）8、设数列的首项且前项和为.已知向量，满足，则_答案： 9、右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 答案：（或或）ABCEFD10、如图，在中，点D在BC上，且；点E在AC上，且。AD与BE的交点为F。若设，于是可得出：，于是由，可求出_。 答案：，由，于是：。11、在共有2009项的等差数列 中，有等式成立,类比上述性质，相应的，在共有20011项的等比数列中，有等式 成立。答案：12、在n个红球及n个白球，总计2n个球中取出m（）个球的方法数是，该方法数我们还可以用如下方法得到：只取m个红球；取个红球，1个白球；取个红球，2个白球；。于是可得到组合数公式：，按如上方法化简下式得到的结果是：_（其中）原式=（或）二、选择题(34=12)13、已知数列中，（kN+），用数学归纳法证明能被4整除时，假设能被4整除，应证（ A ） （A）能被4整除 （B）能被4整除（C）能被4整除 （D）能被4整除14、若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素的含义如下：表示语文成绩，表示数学成绩，表示英语成绩，表示语数外三门总分成绩表示第名分数。若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（ B ）（A）语文 （B）数学 （C）外语 （D）都一样15、若等边的边长为，平面内一点满足，则（ C ）（A） 2 （B）3 （C） （D）解一、 解二：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.16、关于的齐次线性方程组的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵，使得，（表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则 （ C ）（A），且 （B），且 （C），且 （D），且 解：方程组有非零解，于是系数行列式，解法一：将选项中带入，验证为零，于是答案在C或D中；解法二：将该行列式展开可得到，于是。所以，设矩阵，由AB得到零矩阵，得知，。由于只需考虑行列式B的值是否为0，即是否为零。解法一：作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相反数时，（不妨选），于是D不对，只能选C。解法二：按照书中推导三元方程组的解答方法证明，具体过程如下： （书中P100页，y，z前系数为0方法一致）解法三：由行列式性质可将第1行，第2行元素加到第3行中去，行列式的值不变，于是新行列式的第三行各元素均为0，行列式的值为0。解法四：全部展开，理论上可以得到值为0，我没算过。三、解答题(9+9+10+10+14=52)17、已知向量，的夹角为60，且，设，（1）求； （2）试用来表示的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围； 解： （1）； 3分 （2） 3分 （3）夹角为钝角，于是且与不平行。其中，而，于是实数t的取值范围是。 3分，其中没排除平行情况扣2分18、用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组解的情况并求解。解：,（各1分共3分）（1） 当时，方程组有唯一解，解为（2分，其中解1分）（2） 当时，方程组无解；（2分）当时，方程组有无穷多组解，此时方程组化为，令，原方程组的解为。（2分，没写出解扣1分）19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题（1）一共有多少个没重复数字的四位数？（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？（3）（2）中的第100个数字是多少？解：（1）；2分 （2）1，2开头的数字有，31开头的数字有个，32开头的数字只有3214，3215，3216比3241小，于是3241是第120+12+3+1=136个数。4分 答135的得2分（3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是2开头的数字。21，23，24开头的数字各有个，总计36个，于是2513是第60+36+1=97个数，第98、99个数依次是2514，2516。所以第100个数字是2531。 4分 相差1个数字即答2516及2534的得2分Ti15输出Ti20、把公差为2的等差数列的各项依次插入等比数列的第1项、第2项、第n项后，得到数列：，记数列的前项和为，已知，（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的第2010项；（3）设 ，阅读框图写出输出项，并说明理由解：（1）由题意，故-1分所以， 2分，总计3分（2）数列中的第2010项即数列中的第1005项，于是；3分（3）解法一：显然，当时，于是。 而当时，于是，计算 ， 所以满足条件的项只有两项， 解法二：由于 所以=当时 递增当时 递减 通过计算 所以满足条件的项只有两项， 4分，无论什么方法只要写出输出项2分，理由2分21、若数列中， ，。请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。（1）可考虑利用算法来求的值，其中m为给定的数据。右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的_（请填出全部答案）cba -2a+4cb -5a+7ci i+1caa -2c+4bb -5c+7bi i+1(B) (B) cbb -5a+7ca -2a+4ci i+1ca, db(C) (D)a -2c+4db -5c+7di i+1答案：ACD 3分（2）（证明2分每空1分）我们可证明当时，及均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。证明：是等比数列，过程如下：所以是以为首项，以_3_为公比的等比数列；同理是以为首项，以_2_为公比的等比数列（3）（每空1分，过程4分）若将写成列向量形式，则存在矩阵A，使，请回答下面问题：写出矩阵A=_ ； 若矩阵，矩阵，其中矩阵只有一个元素，且该元素为中所有元素的和，请写出满足要求的一组：_； 矩阵中的唯一元素是_计算过程如下：答案：，一组的值可以为，（满足形式即可） 矩阵中唯一元素为。解：由于矩阵中所有元素的和等于中所有元素的和的和，于是可先求中四个元素之和。（填空，可利用能进行矩阵运算的计算器大概两分钟可得出，计算和分别为4，8，16，32归纳得出中元素之和为，但的通项很难归纳得出）解法一：由，利用问题（2），得出于是所以，中元素之和为，从而中所有元素的和为。解法二：由，可知当时，中元素之和就等于，于是由问题（2）可知当时，即，于是由，所以，即的元素之和为，从而中所有元素的和为。解法三：注意到，于是所以于是（注：解法三不具有通用性，本题中恰好，于是运算可进行下去。）