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2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（文科数学）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3页至第4页全卷满分150分，考试时间120分钟 第卷（选择题 共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分）【2011广东文，1】1设复数满足，其中为虚数单位，则= ( ) A B C D 【答案】A 【解析】 【2011广东文，2】2已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为( ) A4 B3 C2 D1 【答案】C【解析】的元素个数等价于圆与直线的交点个数，显然有2个交点【2011广东文，3】3已知向量若为实数，则 ( ) A B C D 【答案】B【解析】 ，由，得，解得【2011广东文，4】4函数的定义域是( ) A B C D 【答案】C【解析】 且，则的定义域是【2011广东文，5】5不等式的解集是( ) A B C D【答案】D【解析】或，则不等式的解集为【2011广东文，6】6 已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为( ) A3 B4 C D 【答案】B【解析】，即，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线经过点时，取得最大值，【2011广东文，7】7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A20 B15 C12 D10 【答案】D【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有条【2011广东文，8】8设圆与圆外切，与直线相切则的圆心轨迹为( ) A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆【答案】A【解析】依题意得，的圆心到点的距离与它到直线的距离相等，则的圆心轨迹为抛物线【2011广东文，9】9如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( ) A B C D 【答案】C【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积，四棱锥的高为，则该几何体的体积【2011广东文，10】10设是R上的任意实值函数如下定义两个函数和；对任意,；则下列等式恒成立的是( ) A B C D【答案】B【解析】 对A选项 ， ，故排除A；对B选项 ，故选B；对C选项 ，故排除C；对D选项 ，故排除D解析二：二、填空题：本大题共5小题考生作答4小题每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题） 第卷（非选择题 共100分）二、填空题：（每小题5分，共20分）【2011广东文，11】11已知是递增等比数列，则此数列的公比 【答案】 2【解析】 或是递增的等比数列，【2011广东文，12】12设函数若，则 【答案】 【解析】，即，则【2011广东文，13】13为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x（单位：小时）与当于投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0405060604小李这 5天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 【答案】 0.5；0.53【解析】小李这5天的平均投篮命中率，线性回归方程，则当时，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【2011广东文，14】14（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0q p) 和（tR），它们的交点坐标为 【答案】 【解析】 表示椭圆，表示抛物线，或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为【2011广东文，15】15（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E、F分别为AD、BC上点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 【答案】 【解析】如图，延长， ， ， 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011广东文，16】16（本小题满分12分）已知函数，() 求的值； () 设求的值【解析】 () ；() ，即，即，【2011广东文，17】17（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩7076727072() 求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；() 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率【解析】 () ， () 从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：1，2，1，3，1，4，1，5，2，3，2，4，2，5，3，4，3，5，4，5，选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：1，2，2，3，2，4，2，5，故所求概率为解法二：（1），解得，标准差（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为，且，则基本事件有，共10种，这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有、共4种，则【2011广东文，18】18（本小题满分12分）如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的分别为的中点，分别为的中点() 证明：四点共面；() 设为中点，延长到,使得,证明：【解析】 () 中点，连接BO2直线BO2是由直线AO1平移得到共面 () 将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接/由平移性质得=HB解法二：证明：（1）连接依题意得是圆柱底面圆的圆心是圆柱底面圆的直径分别为,的中点，四边形是平行四边形四点共面（2）延长到，使得，连接，四边形是平行四边形，面面，面易知四边形是正方形，且边长，易知，四边形是平行四边形，平面【2011广东文，19】19（本小题满分14分）设,讨论函数的单调性【解析】 函数的定义域为当的判别式当有两个零点，且当内为增函数；当内为减函数；当内为增函数；当内为增函数；当在定义域内有唯一零点，且当内为增函数；当时，内为减函数。的单调区间如下表： （其中）解法二：函数的定义域为，令， 当时，令，解得，则当或时，当时，则在，上单调递增；在上单调递减 当时，则在上单调递增 当时，令，解得， 则当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减【2011广东文，20】20（本小题满分14分）设,数列满足：，() 求数列的通项公式；() 证明：对于一切正整数,【解析】 ()由，令当 当，当时， ()当时，欲证，只需综上所述解法二： 当时，则是以1为首项，1为公差的等差数列，即 当且时，当时，是以为首项，为公比的等比数列综上所述（2）证明： 当时，； 当且时，要证，只需证，即证即证即证即证，原不等式成立对于一切正整数，【2011广东文，21】21（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足() 当点在上运动时，求点的轨迹的方程；() 已知设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标； () 过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围【解析】 解法一：（1）如图所示，连接，则，动点满足或在的负半轴上，设 当时，化简得 当在的负半轴上时，综上所述，点的轨迹的方程为或（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴 若是抛物线上的动点，过作于由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有则当三点共线时，有最小值 求得此时的坐标为 若是的负半轴上的动点 显然有综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率点在抛物线内部，过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论： 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点 当时，直线与轨迹有且只有一个交点 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点综上所述，直线的斜率的取值范围是解法二：()如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由 （即）得，故的轨迹方程为综合和得，点M轨迹E的方程为()由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：；当时，过作垂直于的直线，垂足为，交E1于。再过H作垂直于的直线，交因此，（抛物线的性质）。（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）当时，则综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 () 由图3知，直线的斜率不可能为零设故的方程得：因判别式所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知，若与E2有交点，则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点因此，直线的取值范围是
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