算经十书《九章算术》难题汇编卷一（方田）

九章算术难题汇编卷一 方田一今有田广十五步，从十六步。问为田几何？荅曰：一亩。二又有田广十二步，从十四步。问为田几何？荅曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。三今有田广一里，从一里。问为田几何？荅曰：三顷七十五亩。四又有田广二里，从三里。问为田几何？荅曰：二十二顷五十亩。里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。五今有十八分之十二。问约之得几何？荅曰：三分之二。六又有九十一分之四十九。问约之得几何？荅曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。七今有三分之一，五分之二。问合之得几何？荅曰：十五分之十一。八又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？荅曰：得一、六十三分之五十。九又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？荅曰：得二、六十分之四十三。合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。一0今有九分之八，减其五分之一。问余几何？荅曰：四十五分之三十一。一一又有四分之三，减其三分之一。问余几何？荅曰：十二分之五。减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。一二今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。一三又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？荅曰：九分之八多，多六十三分之二。一四又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。一五今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。一六又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。一七今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？荅曰：人得一钱、二十一分钱之四。一八又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？荅曰：人得二钱、八分钱之一。经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。一九今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？荅曰：三十五分步之十二。二0又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？荅曰：十一分步之七。二一又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？荅曰：九分步之四。乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。二二今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？荅曰：十八步。二三又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？荅曰：一百二十步、九分步之五。二四又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？荅曰：一亩二百步、十一分步之七。大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。二五今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？荅曰：一百二十六步。二六又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？荅曰：二十三步、六分步之五。术曰：半广以乘正从。二七今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？荅曰：九亩一百四十四步。二八又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？荅曰：二十三亩七十步。术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。二九今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？荅曰：一亩一百三十五步。三0又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？荅曰：四十六亩二百三十二步半。术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。三一今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？荅曰：七十五步。三二又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？荅曰：十一亩九十步、十二分步之一。术曰：半周半径相乘得积步。又术曰：周径相乘，四而一。又术曰：径自相乘，三之，四而一。又术曰：周自相乘，十二而一。三三今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？荅曰：一百二十步。三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？荅曰：五亩六十二步、四分步之一。术曰：以径乘周，四而一。三五今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？荅曰：一亩九十七步半。三六又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？荅曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。三七今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？荅曰：二亩五十五步。三八又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？荅曰：四亩一百五十六步、四分步之一。术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。