初一一元一次方程所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

第 1 页 共 26 页 初一一元一次方程所有知识点总结和常考题 知识点归纳 一 方程的有关概念 1 方程 含有未知数的等式就叫做方程 2 一元一次方程 只含有一个未知数 元 x 未知数 x 的指数都是 1 次 的方程叫做 一元一次方程 3 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 叫做方程的解 注 方程的解和解方程是不同的概念 方程的解实质上是求得的结果 它是一个数 值 或几个数值 而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程 方程的解 的检验方法 首先把未知数的值分别代入方程的左 右两边计算它们的值 其次比较两边 的值是否相等从而得出结论 二 等式的性质 等式的性质 1 等式两边都加上 或减去 同一个数 或式子 结果仍相等 用式子 形式表示为 如果 a b 那么 a c b c 等式的性质 2 等式两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 用 式子形式表示为 如果 a b 那么 ac bc 如果 a b c 0 那么 acbc 三 移项法则 把等式一边的某项变号后移到另一边 叫做移项 四 去括号法则 依据分配律 a b c ab ac 1 括号外的因数是正数 去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 2 括号外的因数是负数 去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变 五 解方程的一般步骤 1 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 2 去括号 按去括号法则和分配律 3 移项 把含有未知数的项移到方程一边 其他项都移到方程的另一边 移项要变号 4 合并 把方程化成 ax b a 0 形式 5 系数化为 1 在方程两边都除以未知数的系数 a 或乘未知数的倒数 得到方程的 解 x ba 六 用方程思想解决实际问题的一般步骤 1 审 审题 分析题中已知什么 求什么 找 明确各数量之间的关系 2 设 设未知数 可分直接设法 间接设法 表示出有关的含字母的式子 3 列 根据题意列方程 4 解 解出所列方程 求出未知数的值 5 检 检验所求的解是否是方程的解 是否符合题意 6 答 写出答案 有单位要注明答案 七 有关常用应用题类型及各量之间的关系 1 和 差 倍 分问题 增 长率问题 增长量 原有量 增长率 现在量 原有量 增长量 1 倍数关系 通过关键词语 是几倍 增加几倍 增加到几倍 增加百分之几 几 分之几 增长率 减少 缩小 来体现 2 多少关系 通过关键词语 多 少 大 小 和 差 不足 剩余 来体现 审题时要抓住关键词 确定标准量与比校量 并注意每个词的细微差别 第 2 页 共 26 页 2 等积变形问题 1 等积变形 是以形状改变而体积不变 等积 为前提 是等量关系的所在 常用等 量关系为 形状面积变了 周长没变 原料体积 成品体积 2 常见几何图形的面积 体积 周长计算公式 依据形虽变 但体积不变 圆柱体的体积公式 V 底面积 高 S h r 2h 长方体的体积 V 长 宽 高 abc 3 劳力调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 要注意调配对象流动的方向和数量 这类问题要搞 清人数的变化 常见题型有 1 既有调入又有调出 2 只有调入没有调出 调入部分变化 其余不变 3 只有调出没有调入 调出部分变化 其余不变 4 数字问题 要正确区分 数 与 数字 两个概念 同一个数字在不同数位上 表示的数值不同 这类问题通常采用间接设法 常见的解题思路分析是抓住数字间或新数 原数之间的关系寻找等量关系列方程 列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式 一 个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和 1 要搞清楚数的表示方法 一般可设个位数字为 a 十位数字为 b 百位数字为 c 十位数可表示为 10b a 百位数可表示为 100c 10b a 其中 a b c 均为整数 且 0 a 9 0 b 9 1 c 9 2 数字问题中一些表示 两个连续整数之间的关系 较大的比较小的大 1 偶数用 2n 表示 连续的偶数用 2n 2 或 2n 2 表示 奇数用 2n 1 或 2n 1 表示 5 工程问题 生产 做工等类问题 工作量 工作效率 工作时间 工 作 时 间工 作 量工 作 效 率 工 作 效 率工 作 量工 作 时 间 合做的效率 各单独做的效率的和 一般情况下把总工作量设为 1 完成某项任务的 各工作量的和 总工作量 1 分析时可采用列表或画图来帮助理解题意 工程问题常用等量关系 先做的 后做的 完成量 6 行程问题 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现 仔细读题 依照题意画出有 关图形 使图形各部分具有特定的含义 通过图形找相等关系是解决问题的关键 从而取 得布列方程的依据 最后利用量与量之间的关系 可把未知数看做已知量 填入有关的代 数式是获得方程的基础 1 行程问题中的三个基本量及其关系 路程 速度 时间 速 度路 程时 间 时 间路 程速 度 要特别注意 路程 速度 时间的对应关系 即在某段路程上所对应的速度和时间各是多 少 2 基本类型有 单人往返 各段路程和 总路程 各段时间和 总时间 匀速行驶时速度不 变 相遇问题 相向而行 快行距 慢行距 原总距 两者所走的时间相等或有提前 量 追及问题 同向而行 快行距 慢行距 原总距 两者所走的时间相等或有提前 第 3 页 共 26 页 量 环形跑道上的相遇和追及问题 同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一 圈的路程 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程 行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意 并注意两者运动时出发的时间和 地点 航行问题 顺水 风 速度 静水 风 速度 水流 风 速度 逆水 风 速度 静水 风 速度 水流 风 速度 水流速度 顺水速度 逆水速度 21 抓住两码头间距离不变 水流速和船速 静速 不变的特点考虑相等关系 即顺水逆 水问题常用等量关系 顺水路程 逆水路程 考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析 一切就一目了然 常见的还有 相背而行 行船问题 环形跑道问题 7 商品销售问题 1 10 商 品 成 本 价商 品 利 润商 品 利 润 率 2 商品销售额 商品销售价 商品销售量 3 商品销售利润 销售价 成本价 销售量 4 商品打几折出售 就是按原标价的百分之几十出售 如商品打 8 折出售 即按原 标价的 80 出售 关系式 商品售价 商品标价 折扣率 8 银行储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金 银行付给顾客的酬金叫利息 本金和利息合称本息和 存入银行的时间叫做期数 存期 利息与本金的比叫做利率 利息的 20 付利息税 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 利息税 利息 税率 20 3 利润 100 个个 注意利率有日利率 月利率和年利率 年利率 月利率 12 日利率 365 9 溶液配制问题 溶液质量 溶质质量 溶剂质量 溶质质量 溶液中所含溶质的 质量分数 常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系 分析时可采用列表的方法来帮助 理解题意 10 年龄问题 大小两个年龄差不会变 主要等量关系 抓住年龄增长 一年一岁 人人平等 11 时钟问题 将时钟的时针 分针 秒针的尖端看作一个点来研究 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析 常用数据 时针的速度是 0 5 分 分针的速度是 6 分 秒针的速度是 6 秒 12 配套问题 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系 13 比例分配问题 各部分之和 总量 比例分配问题的一般思路为 设其中一份为 x 利用已知的比 写出相应的代数式 第 4 页 共 26 页 14 比赛积分问题 注意比赛的积分规则 胜 负 平各场得分之和 总分 15 方案选择问题 根据具体问题 选取不同的解决方案 常考题 一 选择题 共 13 小题 1 下列运用等式的性质 变形正确的是 A 若 x y 则 x 5 y 5 B 若 a b 则 ac bc C 若 则 2a 3b D 若 x y 则 2 解方程 1 去分母 得 A 1 x 3 3x B 6 x 3 3x C 6 x 3 3x D 1 x 3 3x 3 代数式 3x2 4x 6 的值为 9 则 x2 6 的值为 A 7 B 18 C 12 D 9 4 已知关于 x 的方程 2x a 5 0 的解是 x 2 则 a 的值为 A 1 B 1 C 9 D 9 5 已知关于 x 的方程 4x 3m 2 的解是 x m 则 m 的值是 A 2 B 2 C D 6 某商品每件的标价是 330 元 按标价的八折销售时 仍可获利 10 则这种 商品每件的进价为 A 240 元 B 250 元 C 280 元 D 300 元 7 已知等式 3a 2b 5 则下列等式中不一定成立的是 A 3a 5 2b B 3a 1 2b 6 C 3ac 2bc 5 D a 8 把方程 3x 去分母正确的是 A 18x 2 2x 1 18 3 x 1 B 3x 2x 1 3 x 1 C 18x 2x 1 18 x 1 D 3x 2 2x 1 3 3 x 1 9 A 种饮料比 B 种饮料单价少 1 元 小峰买了 2 瓶 A 种饮料和 3 瓶 B 种饮料 一共花了 13 元 如果设 B 种饮料单价为 x 元 瓶 那么下面所列方程正确的是 A 2 x 1 3x 13 B 2 x 1 3x 13 C 2x 3 x 1 13 D 2x 3 x 1 13 10 若代数式 4x 5 与 的值相等 则 x 的值是 第 5 页 共 26 页 A 1 B C D 2 11 中央电视台 2 套 开心辞典 栏目中 有一期的题目如图所示 两个天平都 平衡 则三个球体的重量等于 个正方体的重量 A 2 B 3 C 4 D 5 12 某村原有林地 108 公顷 旱地 54 公顷 为保护环境 需把一部分旱地改造 为林地 使旱地面积占林地面积的 20 设把 x 公顷旱地改为林地 则可列方 程 A 54 x 20 108 B 54 x 20 108 x C 54 x 20 162 D 108 x 20 54 x 13 某个体商贩在一次买卖中 同时卖出两件上衣 售价都是 135 元 若按成 本计 其中一件盈利 25 另一件亏本 25 在这次买卖中他 A 不赚不赔 B 赚 9 元 C 赔 18 元 D 赚 18 元 二 填空题 共 12 小题 14 根据如图所示的程序计算 若输入 x 的值为 1 则输出 y 的值为 15 若 3a2 a 2 0 则 5 2a 6a2 16 如图所示是计算机程序计算 若开始输入 x 1 则最后输出的结果是 17 刘谦的魔术表演风靡全国 小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒 当任意 实数对 a b 进入其中时 会得到一个新的实数 a 2 b 1 例如把 3 2 第 6 页 共 26 页 放入其中 就会得到 32 2 1 6 现将实数对 1 3 放入其中 得到实数 m 再将实数对 m 1 放入其中后 得到实数是 18 在等式 3 2 15 的两个方格内分别填入一个数 使这两个数是互为相 反数且等式成立 则第一个方格内的数是 19 我们知道 无限循环小数都可以转化为分数 例如 将 转化为分数时 可设 x 则 x 0 3 x 解得 x 即 仿此方法 将 化成分 数是 20 设 a b c d 为实数 现规定一种新的运算 ad bc 则满足等式 1 的 x 的值为 21 若 a 2b 3 则 9 2a 4b 的值为 22 如果 x 1 时 代数式 2ax3 3bx 4 的值是 5 那么 x 1 时 代数式 2ax3 3bx 4 的值是 23 方程 x 5 x 3 的解是 24 已知关于 x 的方程 3a x 3 的解为 2 则代数式 a2 2a 1 的值是 25 已知 x 2 是关于 x 的方程 a x 1 a x 的解 则 a 的值是 三 解答题 共 15 小题 26 解方程 27 解方程 28 已知 x 是方程 的根 求代数式 4m2 2m 8 m 1 的 值 29 某服装厂生产一种西装和领带 西装每套定价 200 元 领带每条定价 40 元 厂方在开展促销活动期间 向客户提供两种优惠方案 买一套西装送一条领带 西装和领带都按定价的 90 付款 现某客户要到该服装厂购买西装 20 套 领带 x 条 x 20 1 若该客户按方案 购买 需付款 元 用含 x 的代数式表示 若该客户按方案 购买 需付款 元 用含 x 的代数式表示 第 7 页 共 26 页 2 若 x 30 通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算 30 情景 试根据图中信息 解答下列问题 1 购买 6 根跳绳需 元 购买 12 根跳绳需 元 2 小红比小明多买 2 根 付款时小红反而比小明少 5 元 你认为有这种可能 吗 若有 请求出小红购买跳绳的根数 若没有请说明理由 31 某地为了打造风光带 将一段长为 360m 的河道整治任务由甲 乙两个工 程队先后接力完成 共用时 20 天 已知甲工程队每天整治 24m 乙工程队每天 整治 16m 求甲 乙两个工程队分别整治了多长的河道 32 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况 了解到该商场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件 并以每件 120 元的价格销售了 400 件 商场准备采取促销措施 将剩下的衬衫降价销售 请你帮商场计算一下 每件 衬衫降价多少元时 销售完这批衬衫正好达到盈利 45 的预期目标 33 某同学在 A B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同 书包单价也相 同 随身听和书包单价之和是 452 元 且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元 1 求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元 2 某一天该同学上街 恰好赶上商家促销 超市 A 所有商品打八折销售 超 市 B 全场购物满 100 元返购物券 30 元销售 不足 100 元不返券 购物券全场通 用 但他只带了 400 元钱 如果他只在一家超市购买看中的这两样物品 你能 说明他可以选择哪一家购买吗 若两家都可以选择 在哪一家购买更省钱 34 某地电话拨号入网有两种收费方式 用户可以任选其一 计时制 0 05 元 分 包月制 50 元 月 限一部个人住宅电话上网 此外 每一种上网方式都得加收通信费 0 02 元 分 1 某用户某月上网的时间为 x 小时 请你分别写出两种收费方式下该用户应 该支付的费用 2 若某用户估计一个月内上网的时间为 20 小时 你认为采用哪种方式较为 合算 35 为有效开展阳光体育活动 云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛 每场比赛都要决出胜负 每队胜一场得 2 分 负一场得 1 分 已知九年级一班 在 8 场比赛中得到 13 分 问九年级一班胜 负场数分别是多少 36 已知 a b 互为相反数 c d 互为倒数 m 的倒数等于它本身 则 的值是多少 37 先阅读下面例题的解题过程 再解决后面的题目 例已知 9 6y 4y2 7 求 2y2 3y 7 的值 第 8 页 共 26 页 解 由 9 6y 4y2 7 得 6y 4y 2 7 9 即 6y 4y2 2 所以 2y2 3y 1 所以 2y2 3y 7 8 题目 已知代数式 14x 5 21x2 的值是 2 求 6x2 4x 5 的值 38 已知 a 3 b 1 2 0 代数式 的值比 的值多 1 求 m 的 值 39 为鼓励居民节约用电 某省试行阶段电价收费制 具体执行方案如表 档次 每户每月用电数 度 执行电价 元 度 第一档 小于等于 200 0 55 第二档 大于 200 小于 400 0 6 第三档 大于等于 400 0 85 例如 一户居民七月份用电 420 度 则需缴电费 420 0 85 357 元 某户居民五 六月份共用电 500 度 缴电费 290 5 元 已知该用户六月份用电 量大于五月份 且五 六月份的用电量均小于 400 度 问该户居民五 六月份 各用电多少度 40 在 五 一 期间 小明 小亮等同学随家长一同到某公园游玩 下面是购买 门票时 小明与他爸爸的对话 如图 试根据图中的信息 解答下列问题 1 小明他们一共去了几个成人 几个学生 2 请你帮助小明算一算 用哪种方式购票更省钱 说明理由 第 9 页 共 26 页 初一一元一次方程所有知识点总结和常考题提高难题压 轴题练习 含答案解析 参考答案与试题解析 一 选择题 共 13 小题 1 2013 秋 克东县期末 下列运用等式的性质 变形正确的是 A 若 x y 则 x 5 y 5 B 若 a b 则 ac bc C 若 则 2a 3b D 若 x y 则 分析 利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案 解答 解 A 根据等式性质 1 x y 两边同时加 5 得 x 5 y 5 B 根据等式性质 2 等式两边都乘以 c 即可得到 ac bc C 根据等式性质 2 等式两边同时乘以 2c 应得 2a 2b D 根据等式性质 2 a 0 时 等式两边同时除以 a 才可以得 故选 B 点评 本题主要考查等式的性质 运用等式性质 1 必须注意等式两边所加上 的 或减去的 必须是同一个数或整式 运用等式性质 2 必须注意等式两边所 乘的 或除的 数或式子不为 0 才能保证所得的结果仍是等式 2 2013 相城区模拟 解方程 1 去分母 得 A 1 x 3 3x B 6 x 3 3x C 6 x 3 3x D 1 x 3 3x 分析 去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数 注意分数 线的括号的作用 并注意不能漏乘 解答 解 方程两边同时乘以 6 得 6 x 3 3x 故选 B 点评 解方程的过程就是一个方程变形的过程 变形的依据是等式的基本性 质 变形的目的是变化成 x a 的形式 在去分母的过程中注意分数线起到括号 的作用 并注意不能漏乘没有分母的项 3 2008 枣庄 代数式 3x2 4x 6 的值为 9 则 x2 6 的值为 A 7 B 18 C 12 D 9 分析 观察题中的两个代数式 3x2 4x 6 和 x2 6 可以发现 3x2 4x 3 x 2 因此 可以由 代数式 3x2 4x 6 的值为 9 求得 x2 1 所以 第 10 页 共 26 页 x2 6 7 解答 解 3x 2 4x 6 9 方程两边除以 3 得 x2 2 3 x2 1 所以 x2 6 7 故选 A 点评 代数式中的字母表示的数没有明确告知 而是隐含在题设中 首先应 从题设中获取代数式 x2 的值 然后利用 整体代入法 求代数式的值 4 2013 晋江市 已知关于 x 的方程 2x a 5 0 的解是 x 2 则 a 的值为 A 1 B 1 C 9 D 9 分析 将 x 2 代入方程即可求出 a 的值 解答 解 将 x 2 代入方程得 4 a 5 0 解得 a 9 故选 D 点评 此题考查了一元一次方程的解 方程的解即为能使方程左右两边相等 的未知数的值 5 2008 武汉 已知关于 x 的方程 4x 3m 2 的解是 x m 则 m 的值是 A 2 B 2 C D 分析 此题用 m 替换 x 解关于 m 的一元一次方程即可 解答 解 由题意得 x m 4x 3m 2 可化为 4m 3m 2 可解得 m 2 故选 A 点评 本题考查代入消元法解一次方程组 可将 4x 3m 2 和 x m 组成方程组 第 11 页 共 26 页 求解 6 2013 枣庄 某商品每件的标价是 330 元 按标价的八折销售时 仍可获利 10 则这种商品每件的进价为 A 240 元 B 250 元 C 280 元 D 300 元 分析 设这种商品每件的进价为 x 元 则根据按标价的八折销售时 仍可获 利 l0 可得出方程 解出即可 解答 解 设这种商品每件的进价为 x 元 由题意得 330 0 8 x 10 x 解得 x 240 即这种商品每件的进价为 240 元 故选 A 点评 此题考查了一元一次方程的应用 属于基础题 解答本题的关键是根 据题意列出方程 难度一般 7 2015 秋 昌图县期末 已知等式 3a 2b 5 则下列等式中不一定成立的是 A 3a 5 2b B 3a 1 2b 6 C 3ac 2bc 5 D a 分析 利用等式的性质 等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整 式 所得的结果仍是等式 等式的两边同时乘以或除以同一个数 除数不 为 0 所得的结果仍是等式 对每个式子进行变形即可找出答案 解答 解 A 根据等式的性质 1 可知 等式的两边同时减去 5 得 3a 5 2b B 根据等式性质 1 等式的两边同时加上 1 得 3a 1 2b 6 D 根据等式的性质 2 等式的两边同时除以 3 得 a C 当 c 0 时 3ac 2bc 5 不成立 故 C 错 故选 C 点评 本题主要考查了等式的基本性质 难度不大 关键是基础知识的掌 握 8 2008 十堰 把方程 3x 去分母正确的是 A 18x 2 2x 1 18 3 x 1 B 3x 2x 1 3 x 1 C 18x 2x 1 18 x 1 D 3x 2 2x 1 3 3 x 1 分析 同时乘以各分母的最小公倍数 去除分母可得出答案 解答 解 去分母得 18x 2 2x 1 18 3 x 1 故选 A 点评 本题考查了解一元一次方程的步骤 去分母 去括号 移项 合并同 第 12 页 共 26 页 类项和系数化为 1 在去分母时一定要注意 不要漏乘方程的每一项 9 2009 吉林 A 种饮料比 B 种饮料单价少 1 元 小峰买了 2 瓶 A 种饮料和 3 瓶 B 种饮料 一共花了 13 元 如果设 B 种饮料单价为 x 元 瓶 那么下面所列 方程正确的是 A 2 x 1 3x 13 B 2 x 1 3x 13 C 2x 3 x 1 13 D 2x 3 x 1 13 分析 要列方程 首先要根据题意找出题中存在的等量关系 由题意可得到 买 A 饮料的钱 买 B 饮料的钱 总印数 13 元 明确了等量关系再列方程就不那 么难了 解答 解 设 B 种饮料单价为 x 元 瓶 则 A 种饮料单价为 x 1 元 根据小峰买了 2 瓶 A 种饮料和 3 瓶 B 种饮料 一共花了 13 元 可得方程为 2 x 1 3x 13 故选 A 点评 列方程题的关键是找出题中存在的等量关系 此题的等量关系为买 A 中饮料的钱 买 B 中饮料的钱 一共花的钱 13 元 10 2015 济南 若代数式 4x 5 与 的值相等 则 x 的值是 A 1 B C D 2 分析 根据题意列出方程 求出方程的解即可得到 x 的值 解答 解 根据题意得 4x 5 去分母得 8x 10 2x 1 解得 x 故选 B 点评 此题考查了解一元一次方程 其步骤为 去分母 去括号 移项合并 把未知数系数化为 1 求出解 11 2008 乌兰察布 中央电视台 2 套 开心辞典 栏目中 有一期的题目如图 所示 两个天平都平衡 则三个球体的重量等于 个正方体的重量 A 2 B 3 C 4 D 5 分析 由图可知 2 球体的重量 5 圆柱体的重量 2 正方体的重量 3 圆柱体 的重量 可设一个球体重 x 圆柱重 y 正方体重 z 根据等量关系列方程即可 第 13 页 共 26 页 得出答案 解答 解 设一个球体重 x 圆柱重 y 正方体重 z 根据等量关系列方程 2x 5y 2z 3y 消去 y 可得 x z 则 3x 5z 即三个球体的重量等于五个正方体的重量 故选 D 点评 此题的关键是找到球 正方体 圆柱体的关系 12 2015 杭州 某村原有林地 108 公顷 旱地 54 公顷 为保护环境 需把一 部分旱地改造为林地 使旱地面积占林地面积的 20 设把 x 公顷旱地改为林 地 则可列方程 A 54 x 20 108 B 54 x 20 108 x C 54 x 20 162 D 108 x 20 54 x 分析 设把 x 公顷旱地改为林地 根据旱地面积占林地面积的 20 列出方程 即可 解答 解 设把 x 公顷旱地改为林地 根据题意可得方程 54 x 20 108 x 故选 B 点评 本题考查一元一次方程的应用 关键是设出未知数以以改造后的旱地 与林地的关系为等量关系列出方程 13 2015 随县模拟 某个体商贩在一次买卖中 同时卖出两件上衣 售价都 是 135 元 若按成本计 其中一件盈利 25 另一件亏本 25 在这次买卖中 他 A 不赚不赔 B 赚 9 元 C 赔 18 元 D 赚 18 元 分析 要知道赔赚 就要先算出两件衣服的原价 要算出原价就要先设出未 知数 然后根据题中的等量关系列方程求解 解答 解 设在这次买卖中原价都是 x 元 则可列方程 1 25 x 135 解得 x 108 比较可知 第一件赚了 27 元 第二件可列方程 1 25 x 135 解得 x 180 比较可知亏了 45 元 两件相比则一共亏了 18 元 故选 C 点评 此题的关键是先算出两件衣服的原价 才能知道赔赚 不可凭想象答 题 二 填空题 共 12 小题 第 14 页 共 26 页 14 2016 安顺 根据如图所示的程序计算 若输入 x 的值为 1 则输出 y 的 值为 4 分析 观察图形我们可以得出 x 和 y 的关系式为 y 2x 2 4 因此将 x 的值代 入就可以计算出 y 的值 如果计算的结果 0 则需要把结果再次代入关系式求 值 直到算出的值 0 为止 即可得出 y 的值 解答 解 依据题中的计算程序列出算式 1 2 2 4 由于 12 2 4 2 2 0 应该按照计算程序继续计算 2 2 2 4 4 y 4 故答案为 4 点评 解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序 由于代入 1 计算出 y 的值是 2 但 2 0 不是要输出 y 的值 这是本题易出错的 地方 还应将 x 2 代入 y 2x2 4 继续计算 15 2009 江苏 若 3a2 a 2 0 则 5 2a 6a2 1 分析 先观察 3a2 a 2 0 找出与代数式 5 2a 6a2 之间的内在联系后 代入求 值 解答 解 3a 2 a 2 0 3a 2 a 2 5 2a 6a2 5 2 3a 2 a 5 2 2 1 故答案为 1 点评 主要考查了代数式求值问题 代数式中的字母表示的数没有明确告知 而是隐含在题设中 把所求的代数式变形整理出题设中的形式 利用 整体代入 法 求代数式的值 第 15 页 共 26 页 16 2013 秋 西安期末 如图所示是计算机程序计算 若开始输入 x 1 则最 后输出的结果是 11 分析 首先要理解该计算机程序的顺序 即计算顺序 观察可以看出当输入 1 时可能会有两种结果 一种是当结果 5 此时就需要将结果返回重新 计算 直到结果 5 才能输出结果 另一种是结果 5 此时可以直接输出结 果 解答 解 将 x 1 代入代数式 4x 1 得 结果为 3 3 5 要将 3 代入代数式 4x 1 继续计算 此时得出结果为 11 结果 5 所以可以直接输出结果 11 点评 此题的关键是明确计算机程序的计算顺序 17 2013 鞍山 刘谦的魔术表演风靡全国 小明也学起了刘谦发明了一个魔 术盒 当任意实数对 a b 进入其中时 会得到一个新的实数 a2 b 1 例如 把 3 2 放入其中 就会得到 32 2 1 6 现将实数对 1 3 放入其中 得到实数 m 再将实数对 m 1 放入其中后 得到实数是 9 分析 观察可看出未知数的值没有直接给出 而是隐含在题中 需要找出规 律 代入求解 解答 解 根据所给规则 m 1 2 3 1 3 最后得到的实数是 32 1 1 9 点评 依照规则 首先计算 m 的值 再进一步计算即可 隐含了整体的数学 思想和正确运算的能力 18 2005 绍兴 在等式 3 2 15 的两个方格内分别填入一个数 使这两 个数是互为相反数且等式成立 则第一个方格内的数是 3 分析 根据相反数的定义 结合方程计算 解答 解 设第一个 为 x 则第二个 为 x 依题意得 第 16 页 共 26 页 3x 2 x 15 解得 x 3 故第一个方格内的数是 3 故答案为 3 点评 学会分析 学会总结 学会举一反三是解决此类问题的关键 19 2014 荆州 我们知道 无限循环小数都可以转化为分数 例如 将 转化为分数时 可设 x 则 x 0 3 x 解得 x 即 仿此方 法 将 化成分数是 分析 设 x 则 x 0 4545 根据等式性质得 100 x 45 4545 再 由 得方程 100 x x 45 解方程即可 解答 解 法一 设 x 0 45 则 x 0 45 1 100 x 解得 x 45 99 5 11 法二 设 x 则 x 0 4545 根据等式性质得 100 x 45 4545 由 得 100 x x 45 4545 0 4545 即 100 x x 45 99x 45 解方程得 x 故答案为 点评 此题主要考查了一元一次方程的应用 关键是正确理解题意 看懂例 题的解题方法 20 2014 甘孜州 设 a b c d 为实数 现规定一种新的运算 ad bc 则满足等式 1 的 x 的值为 10 分析 根据题中的新定义化简已知方程 求出方程的解即可得到 x 的值 解答 解 根据题中的新定义得 1 去分母得 3x 4x 4 6 第 17 页 共 26 页 移项合并得 x 10 解得 x 10 故答案为 10 点评 此题考查了解一元一次方程 其步骤为 去分母 去括号 移项合并 将未知数系数化为 1 求出解 21 2015 苏州 若 a 2b 3 则 9 2a 4b 的值为 3 分析 原式后两项提取 2 变形后 把已知等式代入计算即可求出值 解答 解 a 2b 3 原式 9 2 a 2b 9 6 3 故答案为 3 点评 此题考查了代数式求值 熟练掌握运算法则是解本题的关键 22 2013 沈阳 如果 x 1 时 代数式 2ax3 3bx 4 的值是 5 那么 x 1 时 代 数式 2ax3 3bx 4 的值是 3 分析 将 x 1 代入代数式 2ax3 3bx 4 令其值是 5 求出 2a 3b 的值 再将 x 1 代入代数式 2ax3 3bx 4 变形后代入计算即可求出值 解答 解 x 1 时 代数式 2ax3 3bx 4 2a 3b 4 5 即 2a 3b 1 x 1 时 代数式 2ax3 3bx 4 2a 3b 4 2a 3b 4 1 4 3 故答案为 3 点评 此题考查了代数式求值 利用了整体代入的思想 是一道基本题型 23 2014 厦门 方程 x 5 x 3 的解是 x 7 分析 方程去分母 移项合并 将 x 系数化为 1 即可求出解 解答 解 去分母得 2x 10 x 3 解得 x 7 故答案为 x 7 点评 此题考查了解一元一次方程 其步骤为 去分母 去括号 移项合并 将未知数系数化为 1 即可求出解 第 18 页 共 26 页 24 2015 甘孜州 已知关于 x 的方程 3a x 3 的解为 2 则代数式 a2 2a 1 的值是 1 分析 先把 x 2 代入方程求出 a 的值 再把 a 的值代入代数式进行计算即 可 解答 解 关于 x 的方程 3a x 3 的解为 2 3a 2 3 解得 a 2 原式 4 4 1 1 故答案为 1 点评 本题考查的是一元一次方程的解 熟知解一元一次方程的基本步骤是 解答此题的关键 25 2015 常州 已知 x 2 是关于 x 的方程 a x 1 a x 的解 则 a 的值是 分析 把 x 2 代入方程计算即可求出 a 的值 解答 解 把 x 2 代入方程得 3a a 2 解得 a 故答案为 点评 此题考查了一元一次方程的解 方程的解即为能使方程左右两边相等 的未知数的值 三 解答题 共 15 小题 26 2015 秋 垫江县期末 解方程 分析 先去分母 再去括号 移项 合并同类项可求出方程的解 解答 解 去分母得 15x 3 x 2 5 2x 5 3 15 去括号得 15x 3x 6 10 x 25 45 移项 合并同类项得 x 38 点评 本题考查解一元一次方程的解法 注意 在去分母时 应该将分子用 括号括上 切勿漏乘不含有分母的项 27 2013 梧州 解方程 第 19 页 共 26 页 分析 方程去括号 移项合并 将 x 系数化为 1 即可求出解 解答 解 方程去括号得 3x 2 8 x 移项合并得 2x 6 解得 x 3 点评 此题考查了解一元一次方程 其步骤为 去分母 去括号 移项合并 将未知数系数化为 1 求出解 28 2013 秋 白河县期末 已知 x 是方程 的根 求代数式 4m 2 2m 8 m 1 的值 分析 此题分两步 1 把 代入方程 转化为关于未知 系数 m 的一元一次方程 求出 m 的值 2 将代数式 化简 然后代入 m 求值 解答 解 把 代入方程 得 解得 m 5 原式 m 2 1 26 点评 本题计算量较大 求代数式值的时候要先将原式化简 29 2015 秋 岱岳区期末 某服装厂生产一种西装和领带 西装每套定价 200 元 领带每条定价 40 元 厂方在开展促销活动期间 向客户提供两种优惠方案 买一套西装送一条领带 西装和领带都按定价的 90 付款 现某客户要到该服装厂购买西装 20 套 领带 x 条 x 20 1 若该客户按方案 购买 需付款 40 x 3200 元 用含 x 的代数式表 示 若该客户按方案 购买 需付款 3600 36x 元 用含 x 的代数式表示 2 若 x 30 通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算 分析 1 方案 需付费为 西装总价钱 20 条以外的领带的价钱 方案 需付费为 西装和领带的总价钱 90 2 把 x 30 代入 1 中的两个式子算出结果 比较即可 解答 解 1 方案 需付费为 200 20 x 20 40 40 x 3200 元 方案 需付费为 200 20 40 x 0 9 3600 36x 元 第 20 页 共 26 页 2 当 x 30 元时 方案 需付款为 40 x 3200 40 30 3200 4400 元 方案 需付款为 3600 36x 3600 36 30 4680 元 4400 4680 选择方案 购买较为合算 点评 解决问题的关键是读懂题意 找到所求的量的等量关系 30 2014 抚州 情景 试根据图中信息 解答下列问题 1 购买 6 根跳绳需 150 元 购买 12 根跳绳需 240 元 2 小红比小明多买 2 根 付款时小红反而比小明少 5 元 你认为有这种可能 吗 若有 请求出小红购买跳绳的根数 若没有请说明理由 分析 1 根据总价 单价 数量 现价 原价 0 8 列式计算即可求解 2 设小红购买跳绳 x 根 根据等量关系 小红比小明多买 2 跟 付款时小红 反而比小明少 5 元 即可列出方程求解即可 解答 解 1 25 6 150 元 25 12 0 8 300 0 8 240 元 答 购买 6 根跳绳需 150 元 购买 12 根跳绳需 240 元 2 有这种可能 设小红购买跳绳 x 根 则 25 0 8x 25 x 2 5 解得 x 11 故小红购买跳绳 11 根 点评 考查了一元一次方程的应用 解题关键是要读懂题目的意思 根据题 目给出的条件 找出合适的等量关系列出方程 再求解 31 2013 泰州 某地为了打造风光带 将一段长为 360m 的河道整治任务由 甲 乙两个工程队先后接力完成 共用时 20 天 已知甲工程队每天整治 24m 乙工程队每天整治 16m 求甲 乙两个工程队分别整治了多长的河道 分析 设甲队整治了 x 天 则乙队整治了 20 x 天 由两队一共整治了 第 21 页 共 26 页 360m 为等量关系建立方程求出其解即可 解答 解 设甲队整治了 x 天 则乙队整治了 20 x 天 由题意 得 24x 16 20 x 360 解得 x 5 乙队整治了 20 5 15 天 甲队整治的河道长为 24 5 120m 乙队整治的河道长为 16 15 240m 答 甲 乙两个工程队分别整治了 120m 240m 点评 本题是一道工程问题 考查了列一元一次方程解实际问题的运用 设 间接未知数解应用题的运用 解答时设间接未知数是解答本题的关键 32 2015 泰州 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况 了解到 该商场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件 并以每件 120 元的价格销 售了 400 件 商场准备采取促销措施 将剩下的衬衫降价销售 请你帮商场计 算一下 每件衬衫降价多少元时 销售完这批衬衫正好达到盈利 45 的预期目 标 分析 设每件衬衫降价 x 元 根据销售完这批衬衫正好达到盈利 45 的预期 目标 列出方程求解即可 解答 解 设每件衬衫降价 x 元 依题意有 120 400 120 x 100 80 500 1 45 解得 x 20 答 每件衬衫降价 20 元时 销售完这批衬衫正好达到盈利 45 的预期目标 点评 本题考查了一元一次方程的应用 解答本题的关键是读懂题意 找出 合适的等量关系 列出方程求解 33 2011 桂林模拟 某同学在 A B 两家超市发现他看中的随身听的单价相 同 书包单价也相同 随身听和书包单价之和是 452 元 且随身听的单价比书 包单价的 4 倍少 8 元 1 求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元 2 某一天该同学上街 恰好赶上商家促销 超市 A 所有商品打八折销售 超 市 B 全场购物满 100 元返购物券 30 元销售 不足 100 元不返券 购物券全场通 用 但他只带了 400 元钱 如果他只在一家超市购买看中的这两样物品 你能 说明他可以选择哪一家购买吗 若两家都可以选择 在哪一家购买更省钱 分析 1 根据随身听和书包单价之和是 452 元 列方程求解即可 2 根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择 比较钱数少的则购 买更省钱 解答 解 1 设书包单价为 x 元 则随身听的单价为 4x 8 元 根据题意 得 4x 8 x 452 第 22 页 共 26 页 解得 x 92 4x 8 4 92 8 360 答 书包单价为 92 元 随身听的单价为 360 元 2 在超市 A 购买随身听与书包各一件需花费现金 452 80 361 6 元 因为 361 6 400 所以可以选择超市 A 购买 在超市 B 可花费现金 360 元购买随身听 再利用得到的 90 元返券 加上 2 元现 金购买书包 总计花费现金 360 2 362 元 因为 362 400 所以也可以选择在 B 超市购买 因为 362 361 6 所以在超市 A 购买更省钱 点评 本题要注意不同情况的不同算法 要考虑到各种情况 不要丢掉任何 一种 此类题目贴近生活 有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能 力 34 2004 南山区 某地电话拨号入网有两种收费方式 用户可以任选其一 计时制 0 05 元 分 包月制 50 元 月 限一部个人住宅电话上网 此外 每一种上网方式都得加收通信费 0 02 元 分 1 某用户某月上网的时间为 x 小时 请你分别写出两种收费方式下该用户应 该支付的费用 2 若某用户估计一个月内上网的时间为 20 小时 你认为采用哪种方式较为 合算 分析 1 第一种是费用 每分钟的费用 时间 通信费 第二种的费用 月费 通信费 2 分别计算 x 20 时对应的费用 再进行比较 解答 解 1 采用计时制应付的费用为 0 05 x 60 0 02 x 60 4 2x 元 采用包月制应付的费用为 50 0 02 x 60 50 1 2x 元 2 若一个月内上网的时间为 20 小时 则计时制应付的费用为 84 元 包月制 应付的费用为 74 元 很明显 包月制较为合算 点评 表示费用的时候注意单位的统一 正确代值计算比较大小 解决问题 的关键是读懂题意 找到所求的量的等量关系 35 2015 云南 为有效开展阳光体育活动 云洱中学利用课外活动时间进行 班级篮球比赛 每场比赛都要决出胜负 每队胜一场得 2 分 负一场得 1 分 已知九年级一班在 8 场比赛中得到 13 分 问九年级一班胜 负场数分别是 多少 分析 设胜了 x 场 那么负了 8 x 场 根据得分为 13 分可列方程求解 解答 解 设胜了 x 场 那么负了 8 x 场 根据题意得 2x 1 8 x 13 第 23 页 共 26 页 x 5 8 5 3 答 九年级一班胜 负场数分别是 5 和 3 点评 本题考查了一元一次方程的应用 还考查了学生的理解题意能力 关 键设出胜的场数 以总分数做为等量关系列方程求解 36 2009 秋 毕节地区校级期末 已知 a b 互为相反数 c d 互为倒数 m 的倒数等于它本身 则 的值是多少 分析 根据题意得 a b 0 cd 1 m 1 以整体的形式代入所求的代数式即 可 解答 解 a b 互为相反数 a b 0 c d 互为倒数 cd 1 m 的倒数等于它本身 m 1 当 a b 0 cd 1 m 1 时 0 1 1 1 1 0 当 a b 0 cd 1 m 1 时 原式 0 1 1 1 1 2 故原式的值有两个 0 或 2 点评 本题考查的是相反数 倒数和一个数的平方的问题 又考查了代数式 求值的方法 同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力 37 2013 秋 冠县校级期末 先阅读下面例题的解题过程 再解决后面的题 目 例已知 9 6y 4y2 7 求 2y2 3y 7 的值 解 由 9 6y 4y2 7 得 6y 4y 2 7 9 即 6y 4y2 2 所以 2y2 3y 1 所以 2y2 3y 7 8 题目 已知代数式 14x 5 21x2 的值是 2 求 6x2 4x 5 的值 第 24 页 共 26 页 分析 根据已知条件可得到一个等式 对等式变形 可求出 3x2 2x 的值 再 整体代入所求代数式即可 解答 解 14x 5 21x 2 的值是 2 14x 21x 2 7 即 2x 3x2 1 3x 2 2x 1 则 6x2 4x 5 2 3x 2 2x 5 7 点评 做此类题的时候 应先得到只含未知字母的代数式的值为多少 把要 求的式子整理成包含那个代数式的形式 38 2015 秋 鞍山期末 已知 a 3 b 1 2 0 代数式 的值比 的值多 1 求 m 的值 分析 先根据 a 3 b 1 2 0 求出 a b 的值 再根据代数式 的值 比 的值多 1 列出方程 1 把 a b 的值代入解出 x 的 值 解答 解 a 3 0 b 1 2 0 且 a 3 b 1 2 0 a 3 0 且 b 1 0 解得 a 3 b 1 由题意得 即 解得 m 0 m 的值为 0 点评 考查了非负数的和为 0 则非负数都为 0 要掌握解一元一次方程的一 般步骤是 去分母 去括号 移项 合并同类项 化系数为 注意移项要变 第 25 页 共 26 页 号 39 2014 淄博 为鼓励居民节约用电 某省试行阶段电价收费制 具体执行 方案如表 档次 每户每月用电数 度 执行电价 元 度 第一档 小于等于 200 0 55 第二档 大于 200 小于 400 0 6 第三档 大于等于 400 0 85 例如 一户居民七月份用电 420 度 则需缴电费 420 0 85 357 元 某户居民五 六月份共用电 500 度 缴电费 290 5 元 已知该用户六月份用电 量大于五月份 且五 六月份的用电量均小于 400 度 问该户居民五 六月份 各用电多少度 分析 某户居民五 六月份共用电 500 度 就可以得出每月用电量不可能都 在第一档 分情况讨论 当 5 月份用电量为 x 度 200 度 6 月份用电 500 x 度 当 5 月份用电量为 x 度 200 度 六月份用电量为 500 x 度 x 度 分别建立方程求出其解即可 解答 解 当 5 月份用电量为 x 度 200 度 6 月份用电 500 x 度 由题 意 得 0 55x 0 6 500 x 290 5 解得 x 190 6 月份用电 500 x 310 度 当 5 月份用电量为 x 度 200 度 六月份用电量为 500 x 度 200 度 由题 意 得 0 6x 0 6 500 x 290 5 方程无解 该情况不符合题意 答 该户居民五 六月份分别用电 190 度 310 度 点评 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用 一元一次方程的解法 的运用 分类讨论思想的运用 总价 单价 数量是解答关键 40 2009 安顺 在 五 一 期间 小明 小亮等同学随家长一同到某公园游玩 下面是购买门票时 小明与他爸爸的对话 如图 试根据图中的信息 解答下 列问题 第 26 页 共 26 页 1 小明他们一共去了几个成人 几个学生 2 请你帮助小明算一算 用哪种方式购票更省钱 说明理由 分析 1 设成人数为 x 人 则学生人数是 12 x 人 根据共需 350 元列方 程求解 2 只需计算购买 16 人的团体票和 1 中的 350 进行比较 解答 解 1 设成人人数为 x 人 则学生人数为 12 x 人 则 35x 12 x 350 解得 x 8 故学生人数为 12 8 4 人 成人人数为 8 人 2 如果买团体票 按 16 人计算 共需费用 35 0 6 16 336 元 336 350 所以 购团体票更省钱 答 有成人 8 人 学生 4 人 购团体票更省钱 点评 此题主要是正确理解题意 在第二问中 虽然不够团体购票的人数 但可以多买几张 享受团体购票的优惠 从而进行比较