初三数学二次函数与圆知识点总结

初三数学知识点总结 1 一元二次方程的一般形式 a 0 时 ax 2 bx c 0 叫一元二次方程的一般形式 研究一元二次方程的有 关问题时 多数习题要先化为一般形式 目的是确定一般形式中的 a b c 其中 a b c 可能 是具体数 也可能是含待定字母或特定式子的代数式 2 一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法要求灵活运用 其中直接开平方法虽然简单 但是 适用范围较小 公式法虽然适用范围大 但计算较繁 易发生计算错误 因式分解法适用范围较大 且计算简便 是首选方法 配方法使用较少 3 一元二次方程根的判别式 当 ax2 bx c 0 a 0 时 b 2 4ac 叫一元二次方程根的判别式 请注意 以下等价命题 0 有两个不等的实根 0 有两个相等的实根 0 无实根 0 有两个实根 等或不等 4 一元二次方程的根系关系 当 ax2 bx c 0 a 0 时 如 0 有下列公式 acxabx a2c4bx 1 21212 5 当 ax2 bx c 0 a 0 时 有以下等价命题 以下等价关系要求会用公式 c2121 b 2 4ac 分析 不要求背记 1 两根互为相反数 ab 0 且 0 b 0 且 0 2 两根互为倒数 c 1 且 0 a c 且 0 3 只有一个零根 a 0 且 0 c 0 且 b 0 4 有两个零根 c 0 且 b 0 c 0 且 b 0 5 至少有一个零根 a 0 c 0 6 两根异号 c 0 a c 异号 7 两根异号 正根绝对值大于负根绝对值 ac 0 且 b 0 a c 异号且 a b 异号 8 两根异号 负根绝对值大于正根绝对值 0 且 0 a c 异号且 a b 同号 9 有两个正根 ac 0 b 0 且 0 a c 同号 a b 异号且 0 10 有两个负根 0 a 0 且 0 a c 同号 a b 同号且 0 6 求根法因式分解二次三项式公式 注意 当 0 时 二次三项式在实数范围内不能分解 ax2 bx c a x x1 x x2 或 ax 2 bx c a2c4bxa24x 7 求一元二次方程的公式 x2 x 1 x2 x x 1x2 0 注意 所求出方程的系数应化为整数 8 平均增长率问题 应用题的类型题之一 设增长率为 x 1 第一年为 a 第二年为 a 1 x 第三年为 a 1 x 2 2 常利用以下相等关系列方程 第三年 第三年 或 第一年 第二年 第三年 总和 9 分式方程的解法 0 1 值 或 原 方 程 的 每 个 分 母验 增 根 代 入 最 简 公 分 母公 分 母两 边 同 乘 最 简去 分 母 法 0 2 分 母 值验 增 根 代 入 原 方 程 每 个换 元凑 元 设 元 换 元 法 10 二元二次方程组的解法 0 3 2 4 10 2 3 10 4 321 3 2 1 分 组 为应注 意 的 方 程 中 含 有 能 分 解 为方 程 组 分 解 降 次 法 程中 含 有 一 个 二 元 一 次 方方 程 组法 代 入 消 元 11 几个常见转化 或 x x4 x x x2 1x 2 1x x x 1 21212121212 221212121212 4 2 21221 两 边 平 方 为 和分 类 为 2 34x3 916x 34x 2121221 因 为 增 加 次 数两 边 平 方 一 般 不 用和分 类 为或 0 x 1x BsinAco 1csAsin 9BAsin Asin 2121 22 注 意 隐 含 条 件可 推 出 由 公 式时且如 0 x x 5 2121 注 意 隐 含 条 件的 关 系 式推 导 出 含 有公 式等 式 面 积例 如 几 何 定 理 相 似 形系可 利 用 图 形 中 的 相 等 关时若 为 几 何 图 形 中 线 段 长 k 6 辅 助 未 知 元 引 入些 线 段 的 比 并 且 可 把 它 们 转 化 为 某比 例 式 等 积 式 等 条 件角 三 角 形 三 角 函 数 如 题 目 中 给 出 特 殊 的 直 7 知 数 的 关 系但 总 可 求 出 任 何 两 个 未般 求 不 出 未 知 数 的 值 少 一 个 时 一方 程 个 数 比 未 知 数 个 数一 般 可 求 出 未 知 数 的 值数 时方 程 个 数 等 于 未 知 数 个 1 垂径定理及推论 如图 有五个元素 知二可推三 需记忆其中四个定理 即 垂径定理 中径定理 弧径定理 中垂定理 几何表达式举例 CD 过圆心 CD AB 2 平行线夹弧定理 圆的两条平行弦所夹的弧相等 几何表达式举例 3 角 弦 弧 距 定理 同圆或等圆中 等角对等弦 等弦对等角 等角对等弧 等弧对等角 等弧对等弦 等弦对等 优 劣 弧 等弦对等弦心距 等弦心距对等弦 几何表达式举例 1 AOB COD AB CD 2 AB CD AOB COD 4 圆周角定理及推论 1 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如图 3 等弧对等角 等角对等弧 4 直径对直角 直角对直径 如图 5 如三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 如图 1 2 3 4 几何表达式举例 1 ACB 21 AOB 2 AB 是直径 ACB 90 3 ACB 90 AB 是直径 4 CD AD BD ABC 是 Rt 5 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外 角都等于它的内对角 几何表达式举例 ABCD 是圆内接四边形 CDE ABC C A 180 6 切线的判定与性质定理 如图 有三个元素 知二可推一 需记忆其中四个定理 1 经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 2 圆的切线垂直于经过切点的半径 3 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 4 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 几何表达式举例 1 OC 是半径 OC AB AB 是切线 2 OC 是半径 AB 是切线 OC AB 3 A B C D O A B C D E O AC BC AD BD AE BE A B C D E F O A B C O A B C D E A B C O A BC D AB CD AC BD A B C O 7 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角 几何表达式举例 PA PB 是切线 PA PB PO 过圆心 APO BPO 8 弦切角定理及其推论 1 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 2 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 3 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 如图 几何表达式举例 1 BD 是切线 BC 是 弦 CBD CAB 2 ED BC 是切线 CBA DEF 9 相交弦定理及其推论 1 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的乘积相等 2 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两 条线段长的比例中项 几何表达式举例 1 PA PB PC PD 2 AB 是直径 PC AB PC 2 PA PB 10 切割线定理及其推论 1 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项 2 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等 几何表达式举例 1 PC 是切线 PB 是割线 PC 2 PA PB 2 PB PD 是割线 PA PB PC PD 11 关于两圆的性质定理 1 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 2 如果两圆相切 那么切点一定在连心线上 1 2 几何表达式举例 1 O 1 O 2是圆心 O 1O2垂直平分 AB 2 1 2相切 O 1 A O 2三点 一线 12 正多边形的有关计算 1 中心角 n 半径 RN 边心距 rn 边长 an 内角 n 边数 n 2 有关计算在 Rt AOC 中进行 公式举例 1 n 360 2 182 A B C D A B C D E F P A B O A B CP A B C DP A B O1 O2 A O1 O2 n n A BC D E O a rnn n R A BC D P A B C PO EF AB A B O 几何 B级概念 要求理解 会讲 会用 主要用于填空和选择题 一 基本概念 圆的几何定义和集合定义 弦 弦心距 弧 等弧 弓形 弓形高 三角形的外接圆 三角形的外心 三角形的内切圆 三角形的内心 圆心角 圆周角 弦 切角 圆的切线 圆的割线 两圆的内公切线 两圆的外公切线 两圆的内 外 公切线长 正多边形 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的边心距 正 多边形的中心角 二 定理 1 不在一直线上的三个点确定一个圆 2 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 3 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 三 公式 1 有关的计算 1 圆的周长 C 2 R 2 弧长 L 180Rn 3 圆的面积 S R 2 4 扇形面积 S 扇形 LR1360n2 5 弓形面积 S 弓形 扇形面积 SAOB AOB 的面积 如图 2 圆柱与圆锥的侧面展开图 1 圆柱的侧面积 S 圆柱侧 2 rh r 底面半径 h 圆柱高 2 圆锥的侧面积 S 圆锥侧 21 L 2 r R 是圆锥母线长 r 是底面半径 四 常识 1 圆是轴对称和中心对称图形 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心 4 直线与圆的位置关系 其中 d 表示圆心到直线的距离 其中 r 表示圆的半径 直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相离 d r 5 圆与圆的位置关系 其中 d 表示圆心到圆心的距离 其中 R r 表示两个圆的半径且 R r 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r 两圆内切 d R r 两圆内含 d R r 6 证直线与圆相切 常利用 已知交点连半径证垂直 和 不知交点作垂直证半径 的方法加辅 助线 7 关于圆的常见辅助线 O CA B 已知弦构造弦心距 O A B C 已知弦构造 Rt OA B C 已知直径构造直角 O A B 已知切线连半径 出 垂直 O B C A D P 圆外角转化为圆周角 O A C D B P 圆内角转化为圆周角 O D C PA B 构造垂径定理 O A C D PB 构造相似形 M 01 A NO2 两圆内切 构造外公 切线与垂直 01C NO2 D E A B M 两圆内切 构造外公切 线与平行 N A M 02O1 两圆外切 构造内公 切线与垂直 C B M N AD E O1 02 两圆外切 构造内公 切线与平行 C E A D B O 两圆同心 作弦心距 可证得 AC DB A C B O1 02 两圆相交构造公共弦 连结圆心构造中垂线 B A C OP PA PB 是切线 构造 双垂图形和全等 O A B C DE 相交弦出相似 O P A B C 一切一割出相似 并 且构造弦切角 O B C E A DP 两割出相似 并且构造圆 周角 O A B CP 双垂出相似 并且构造 直角 B A C D E F 规则图形折叠出一 对全等 一对相似 F ED BA C O G H 圆的外切四边形对边 和相等 A B O C D 若 AD BC 都是切线 连结 OA OB 可证 AOB 180 即 A O B 三点一线 E A CB O D 等腰三角形底边上的 的高必过内切圆的圆 心 和切点 并构造相 似形 E F C D B A O Rt ABC 的内切圆 半径 r 2cba O 补全半圆 A B C o1 o2 AB 221 rR O CA B o1 o2 AB 221 rR O A C D PO B PC 过圆心 PA 是切线 构造 双垂 Rt B C D OAP O 是圆心 等弧出平行和相似 D E M A B C F N G 作 AN BC 可证出 AF