2012高考数学二轮专题复习平面向量.doc

平面向量 考纲解读 1 理解平面向量的概念与几何表示 两个向量相等的含义 掌握向量加减与 数乘运算及其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何 意义 2 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量 共线的条件 3 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量数量积与向量投 影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量 积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 考点预测 高考对平面向量的考点分为以下两类 1 考查平面向量的概念 性质和运算 向量概念所含内容较多 如单位向量 共线向量 方向向量等基本概念和向量的加 减 数乘 数量积等运算 高考中 或直接考查或用以解决有关长度 垂直 夹角 判断多边形的形状等 此类题一 般以选择题形式出现 难度不大 2 考查平面向量的综合应用 平面向量常与平面几何 解析几何 三角等内 容交叉渗透 使数学问题的情境新颖别致 自然流畅 此类题一般以解答题形式 出现 综合性较强 要点梳理 1 向量的加法与减法 掌握平行四边形法则 三角形法则 多边形法则 加 法的运算律 2 实数与向量的乘积及是一个向量 熟练其含义 3 两个向量共线的条件 平面向量基本定理 向量共线的坐标表示 4 两个向量夹角的范围是 0 5 向量的数量积 熟练定义 性质及运算律 向量的模 两个向量垂直的充 要条件 考点在线 考点一 向量概念及运算 例 1 2011 年高考山东卷理科 12 设 1A 2 3 4是平面直角坐标系中两两 不同的四点 若 1312A R 1412A R 且 12 则 称 3 4调和分割 1 2 已知点 C c o D d O c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 答案 D 考点二 平面向量的数量积 例 2 2011 年高考海南卷文科 13 已知 a 与 b为两个不共线的单位向量 k 为实数 若 向量 ab 与向量 kab 垂直 则 k 答案 1 解析 由题意知 0abk 即 1 0kab 所以 1 kabk 因为 a 与 b不共线 所以 1 即 k 1 名师点睛 本题考查两个向量垂直的充要条件 向量的数量积 备考提示 熟练向量的基础知识是解答好本题的关键 练习 2 2011 年高考安徽卷文科 14 已知向量 a b 满足 a 2b a b 6 且 a 2b 则 a 与 b 的夹角为 答案 3 解析 6 则 226b 即 2216ab 1ab 所以 1cos ab 所以 3a 考点三 向量与三角函数等知识的综合 例 3 2009 年高考江苏卷第 15 题 设向量 4cos in si 4co s 4in ab 1 若 与 2b 垂直 求 ta 的值 2 求 的最大值 3 若 tan16 求证 b 解析 名师点睛 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关 系式 二倍角的正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 备考提示 熟练向量的基础知识是解答好本题的关键 练习 3 2009 年高考广东卷 A 文科第 16 题 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 2 0 1 求 和 co的值 2 若 cos53 5 求 cos的 值 解析 ab vQ sin2cs0 g 即 sin2s 又 2sinco1 24co1 即 2o5 4i5 又 5 0 si s 2 5co coin 5cos2in 35cos sin 222s1cs 即 1 又 0 co w 易错专区 1 2011 年高考全国卷文科 3 设向量 ab 满足 b 1 ab 1 2 则2ab A B 3 C 5 D 7 答案 B 解析 222 4abab 224ab 14 3 故选 B 2 2011 年高考辽宁卷文科 3 已知向量 a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则 k A 12 B 6 C 6 D 12 答案 D 解析 由题意 得 2a b 5 2 k a 2a b 2 5 2 k 0 所以 k 12 3 2011 年高考四川卷文科 7 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACEF A 0 B BE C AD D CF 答案 D 解析 EDEFC 4 2010 年高考全国 卷文科 11 已知圆 O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条 切线 A B 为两切点 那么 PAB 的最小值为 A 2 B 32 C 42 D 32 答案 D 解析 如图所示 设 PA PB x 0 APO 则 APB 2 PO 21x 21sinx cosPABP 22 1sin x 2 1 x 42x 令 PABy 则 421xy 即 42 0y 由 2是实数 所以2 261y 解得 32y 或 32y 故 min3PAB 此时 x 5 2010 年高考全国卷 文科 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若 C a b a 1 b 2 则 C A 13a 2b B 23a b C 35a 4b D 45a 3b 答案 B 解析 CD 为角平分线 12BDA ABCab 23ADBab 133Cba 6 2010 年高考四川卷文科 6 设点 M是线段 的中点 点 在直线 外 21C AB 则 A A 8 B 4 C 2 D 1 答案 C 解析 由 2 16 得 BC 4 ABACB 4 而 ABM 故 2 7 2011 年高考江西卷文科 11 已知两个单位向量 1e 2的夹角为 3 若向量12be 1234be 则 12b 答案 6 解析 要求 1 2 只需将题目已知条件带入 得 1b 2 1e 2 2 3 1e 4 2 21283 ee 其中 21 1 21e 60cos21 1 1 21 2 带入 原式 3 1 2 2 8 1 6 8 2011 年高考福建卷文科 13 若向量 a 1 1 b 1 2 则 a b 等于 答案 1 解析 因为向量 a 1 1 b 1 2 所以 a b 等于 1 9 2011 年高考湖南卷文科 13 设向量 ab 满足 25 1 b 且 ab 与 的方向 相反 则 a 的坐标为 答案 4 2 解析 由题 15b 所以 2 4 ab 10 2011 年高考浙江卷文科 15 若平面向量 满足 1 且以向 量 为邻边的平行四边形的面积为 12 则 和 的夹角 取值范围是 答案 5 6 ab 1212 eke 2211 ke 2 1 cos3k 0 解得54k 高考冲策演练 一 选择题 1 2010 年高考山东卷文科 12 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对 任意的 amn bpq 令 abmqnp A 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则 0 B A C 对任意的 R 有 ab A D 222 ab 答案 B 解析 若 与 共线 则有 ab mq np0 A 故 A 正确 因为 bapn qm A 而ab mq np A 所以有 故选项 B 错误 故选 B 2 2010 年高考天津卷文科 9 如图 在 ABC 中 ADB 3C D 1AD 则 CA A 23 B 32 C 3 D 3 答案 D 解析 CD A cosA cosAC sinBAC sinB 3 sinB 3 故选 D 3 2010 年高考福建卷文科 8 若向量 x 3 aR 则 x4 是 5a 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由 x4 得 a 3 所以 5a 反之 由 5a 可得 x4 4 2010 年高考福建卷文科 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 213y 的中心和左 焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 P A的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 0 xy 则有 20143xy 解得22003 1 4xy 因为 0 1 FPxy 0 OPxy 所以 200 1 OPFxy 0O 234 03 此二次函数对应的抛物线的对称轴 为 02x 因为 0 x 所以当 02x 时 PF 取得最大值 2364 选 C 5 2010 年高考北京卷理科 6 a b 为非零向量 ab 是 函数 fxabx A 为一次函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若 ab 则有 2 fxabxab A不一定是一次函数 当 时不是一次函数 反之 成立 故选 B 6 2010 年高考安徽卷文科 3 设向量 1 0 1 2 则下列结论中正确的是 A ab B 2ab A C D 与 垂直 答案 D 解析 1 2 ab 0ab A 所以 ab与 垂直 7 2010 年高考辽宁卷文科 8 平面上 OB三点不共线 设 OAaBb 则OAB 的面积等于 A 22 ab B 22 ab C 221 D 221 答案 C 解析 22111 sin cos 22 OAB abSababab 21 a 8 2010 年高考宁夏卷文科 2 a b 为平面向量 已知 a 4 3 2a b 3 18 则 a b 夹角的余弦值等于 A 865 B 865 C 165 D 165 答案 C 解析 由已知得 3 18 2 8 12 ba 所以 cos ab 4 5 2615 9 2010 年高考广东卷文科 5 若向量 a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条 件 8a 解析 60abm A 所以 6 11 2010 年高考湖北卷文科 8 已知 ABC 和点 M 满足 0ABC 若存 在实 使得 MC 成立 则 m A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 由 0MABC urr知 点 M 为 ABCV的重心 设点 D 为底边 BC 的中 点 则 2 D3 1 ru 1 3 ru 所以有 3AM urr 故 m 3 选 B 12 2010 年高考湖南卷文科 6 若非零向量 a b 满足 2 0ab 则 a 与 b 的夹角为 A 300 B 600 C 1200 D 1500 答案 C 二 填空题 13 2010 年高考江西卷文科 13 已知向量 a b满足 2 a与 b 的夹角为 60 则 b 在 a上的投影是 答案 1 解析 01 cos62 14 2010 年高考浙江卷文科 13 已知平面向量 1 2 则2a 的值是 答案 10 16 2010 年高考陕西卷理科 11 已知向量 2 1 12 cmba 若 ba c 则 m 答案 1 解析 2 1 1 cba 由 ba c得 012 三 解答题 17 2010 年高考江苏卷试题 15 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 OCtAB 0 求 t 的值 解析 1 方法一 由题设知 3 5 1 AC 则 2 6 4 ABC 所以 0 2 AB 故所求的两条对角线的长分别为 42 10 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC 2 AD 0 2 由题设知 O 2 1 3 5 BtOCt 由 CtAB 0 得 3 5 1 从而 51 所以 15t 或者 2 Ot 3 AB 25 OCt 18 2010 年高考福建卷文科 18 设平顶向量 ma m 1 nb 2 n 其中 m n 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 ma nb 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生 的概率 19 2009 年高考湖北卷理科第 17 题 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上 作答无效 已知向量 cos in cos in 1 0 aabc 求向量 的长度的最大值 设 a4 且 bc 求 os 的值 解析 1 解法 1 1 in 则22 cos in cs b2 0 4 b 即 0 2 b w w w c o m 解法 2 若 4 则 2 a 又由 cos in b 1 0 c 得22 cos1 in iabc 0ab 即 cos1 0 sin1cos 平方后化简得 w 解得 0或 1 经检验 cscs或 即为所求 20 山东省烟台市 2011 年 1 月 十一五 课题调研卷理科 如图 平面上定点 F 到定直线 l 的距离 FM 2 P 为该平面上的动点 过 P 作直线 l 的垂线 垂足为 Q 且 0 FQ 1 试建立适当的平面直角坐标系 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 过点 F 的直线交轨迹 C 于 A B 两点 交直线 l于点 N 已知1212 NAB 求 证 为定值 解析 1 方法一 如图 以线段 FM的中点为原点 O 以线段 FM所在的直 线为 y轴建立直角坐标系 xOy 则 0 2 分 设动点 P的坐标为 则动点 Q的坐标为 1 x 1 Fxy 01 y 3 分 由 Q F 得 24x 5 分 方法二 由 0PPPF 得 2 分 所以 动点 的轨迹 C是抛物线 以线段 M的中点 为原点 O 以线段 FM所在的直线为 y轴建立直角坐标系 xOy 可得轨迹 C的方 程为 24xy 5 分 2 方法一 如图 设直线 AB的方程为 1 ykxAy Bxy 6 分 则 1Nk 7 分 联立方程组 24 1xyk 消去 得 240 xk 2 4 160k 8 分 故 12 4 x 9 分 由 1NAF 2B 得 12xk xxk 1 0 分 整理得 112kx 2kx 1212 1240k 12 分 方法二 由已知 NAF B 得 12 7 分 于是 12B 8 分 如图 过 A 两点分别作准线 l的垂线 垂足分别为 1A B 则有 NB 1 F 10 分 由 得 120 12 分