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20112012学年第一学期测试题高 三 数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的共轭复数是 （ ）ABCD2设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点球面上有两个点，的坐标分别为，则 （ ）AB12CD3已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为 （ ）A B C D4若关于的不等式的解集为，则实数的值为 （ ）A2B1CD5已知：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直则是的 （ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件20 30 40 50 60 70 80 90 100酒精含量频率组距（mg/100ml）0.0150.010.0050.02图16根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款据法制晚报报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 （ ）A2160 B2880 C4320 D86407在中，点在上，且，点是的中点，若，则 （ ）ABCD 图28如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第4个数（从左往右数）为AB C D5u5u5u5u5u5u5u5u5u5u5u5u二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9在等比数列中，公比，若前项和，则的值为 10某算法的程序框如图3所示，若输出结果为，则输入的实数的值是_（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “”或“：=”）11有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为 12已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为 13如图4，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号） 图4ABCDEFOAAA图5ABCDO（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图5,是半圆的直径,点在半圆上,，垂足为，且,设,则的值为 .15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，则（其中为极点）的面积为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中，）（1）求函数的最小正周期； （2）若函数的图像关于直线对称，求的值17（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800600、0的四个球（球的大小相同）参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元18（本小题满分14分）如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，圆的直径为9 （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值 19（本小题满分14分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）求函数在区间上的最小值；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值21（本小题满分14分）设数列的前项和为，且对任意的，都有，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明： 20112012学年第一学期测试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分ks题号1ks5u23ks5u4ks5u56ks5u7ks5u8ks5答案Aks5uCDks5uAks5uBCks5uBks5uB二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题97 10 11 12 1314 153三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：， 函数的最小正周期为 （2）解：函数，又的图像的对称轴为（），令，将代入，得（）， 17（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：设表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0 则的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0 依题意得，则的分布列为ks奖金ks1000ks5800ks5600ks5500400300ks0概率ks5uks5uks5uks5uks5uks5u所以所求期望值为元答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元 18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， 在正方形中，平面平面， 平面平面 （2）解法1：平面，平面， 为圆的直径，即设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， 过点作于点，作交于点，连结，GF由于平面，平面， 平面平面，平面平面， 是二面角的平面角在中， 在中， 故二面角的平面角的正切值为 解法2：平面，平面， 为圆的直径，即 设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， xyz以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为， 则即取，则是平面的一个法向量设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量， 故二面角的平面角的正切值为 19（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：，令，得 若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值 若，则，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值 综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为（2）解：， 由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当， 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而，即方程无实数解 故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直 20（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设，则， 即，即， 所以动点的轨迹的方程 （2）解：设圆的圆心坐标为，则 圆的半径为 圆的方程为令，则，整理得， 由、解得， 不妨设， ， 当时，由得， 当且仅当时，等号成立当时，由得， 故当时，的最大值为 21（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当时，有，由于，所以 当时，有，即，将代入上式，由于，所以 （2）解：由，得， 则有 ，得， 由于，所以 同样有， ，得 所以由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列 故 （3）证明1：由于， 所以 即令，则有即， 即故 证明2：要证，只需证， 只需证，只需证 由于 因此原不等式成立.
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