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河南科技大学第三届高等数学竞赛(卷二)评分标准三、解答题(本大题共8个题,满分为100分)21 (本题满分10分)求极限解:令 ,原式可以转化为 4分即原式 3分 3分22 (本题满分15分)设函数在()上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.【详解】()当,即时, 2分.4分()由题设知 . 2分 2分.2分令, 得. 2分即当时, 在处可导. 1分23.(本题满分10分)求通过点的直线中,使得为最小的直线方程。解:设过点的直线为 2分 1分 2分 = 1分 2分 故所求直线方程为 2分24 (本题满分10分) 求曲面夹在二曲面之间的部分的面积。解:该曲面在平面上的投影区域为(如右图所示)3分所以所求面积为2分=2分=3分25 (本题满分15分)计算 ,其中是沿着椭圆的正向从到的一段弧。解:设 , 4分则 3分设, 2分 3分 2分 1分26 (本题满分10分)设为可微函数,且,试求解:由于,2分故1分 4分 3分27 (本题满分10分)设在上连续,在内可导,证明存在使 【证明】由题设知,在上满足拉格朗日中值定理条件,故存在, 使 3分又,在上满足柯西中值定理的条件,故存在,使 4分即1分因此存在使 2分28 (本题满分20分)已知曲线的方程为()讨论的凹凸性;()过点(-1,0)引的切线,求切点,并写出切线的方程;()求此切线与(对应于的部分)及轴所围成的平面图形的面积。解:(I)2分 2分 2分(II)切线方程为, 1分设, 1分则 2分得 2分点为(2,3),切线方程为 1分(III)设L的方程则1分,1分由于(2,3)在L上,由 1分 1分 1分1分 1分
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