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天津新华中学2013届高三年级寒假复习质量反馈数学试卷（理科）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知,则复数=（ ）（A）-1+3i（B）1-3i（C）3+i（D）3-i2. 设动点满足，则最大值是（ ）（A）50（B）60（C）70（D）1003. 的展开式中的常数项为（ ）（A）1（B）3（C）（D）4. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）（A）（B）（C）（D）5. 已知，则的值为( )（A）（B）（C）1（D）26. 设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）（A） （B）（C）（D）37. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）（A）152 （B）126 （C）90 （D）548. 如图，用四种不同的颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种（A）72（B）86（C）106（D）120二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)把答案填在题中横线上.9. 设f(x)则f(f(2)_.10. 圆的圆心到直线 (t为参数)的距离是 11. 如果执行下面的程序框图，输入正整数n=4，m=3，那么输出的p等于 12. 如图，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆O于两点。且，是圆O上一点且使得，则 . 13. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是 14. 某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛，顶层一个，以下各层均堆成正六边形，且逐层每边增加一个花盆（如图）设第层共有花盆的个数为,则的表达式为_ _三、解答题：(本大题共6小题，共80分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分13分） 设函数() 求的值域；() 记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，求a的值16. （本小题满分13分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定其工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯中选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力 ()求X的分布列； ()求此员工月工资的期望。17. （本小题满分13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.18. （本小题满分13分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成角的余弦值；（）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。19. （本小题满分14分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.()求曲线C的方程；()是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知数列的前项和（为正整数）()令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；()令，试比较与的大小，并予以证明.【试题答案】一、选择题题号12345678答案BDCABCBA二、填空题：9. 2 10. 11. 24 12 13. 14. 三、解答题：15. （本题13分）解：（I）因此的值域为（II）由得，即，又因，故。解法一：由余弦定理，解得或2。解法二：由正弦定理得当时，从而；当时，从而。故a的值为1或2。16. 解：（I）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4即X01234P （II）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500所以新录用员工月工资的期望为2280元.17. 解：（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.（）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），即的分布列是02468的期望是.18. （I）证明：PA平面ABCD，CDPA。ABCD、DAB90，CDAD。由CDPA、CDAD、PAADA，得：CD平面PAD，平面PAD平面PCD。（II）解：过点B作BECA，且BE=CA，连接AE则PBE是AC与PB所成的角，可求得AC=CB=BE=EA= 又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，BEAE，PA底面ABCDPABE，BE面PAEBEPE，即PEB=90在RtPAB中，得PB=在RtPEB中，cosPBE=BE/PB= 19. 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力。解：（I）设P是直线C上任意一点，那么点P（）满足：化简得（II）设过点M（m，0）的直线与曲线C的交点为A（），B（）设的方程为，由得，。于是 又又，于是不等式等价于 由式，不等式等价于 对任意实数t，的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于，即由此可知，存在正数m，对于过点M（，0）且与曲线C有A，B两个交点的任一直线，都有，且m的取值范围是20. 解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，. 又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由（I）得，所以 由-得 于是确定 的大小关系等价于比较的大小由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上述验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有证法2：当时，综上所述，当，当时
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