全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案.doc

全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案班级 姓名一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分）1复数解：2已知直线是圆的一条对称轴，则实数解：直线一定经过圆心，才能是圆的对称轴；而圆心为，代入直线方程，得3某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）解：事件总数：，符号条件的事件数：，所以所求的概率是：4已知，则解：由，得5已知向量，满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为解：由题意可设：，则由与的夹角为可取：；于是可令，；易知，所求的平行四边形的面积等于，而两点关于对称；所以；即平行四边形的面积为6设数列的前项和为若是首项及公比都为2的等比数列，则数列的前项和等于解：由已知可得：，从而，；所以，所以；检验可知：当时，也适合上述等式7设函数若，且，则的取值范围是解：易知：；所以；所以8设为数列中小于的项的个数，其中，则解：是表示在数列：中小于2011的项数，即；从而9一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是解：将等腰直角（）的点与正三棱柱的顶点重合放置，如图所示；正三棱柱的底面是正三角形且侧棱与底面垂直；可设，则；因为；所以；所以，斜边10已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是解：原方程变形为：；即；其中：可取整数，是正整数； 所以，；所以，；所以，当时，；当时，；当时，； 故的所有可能的值是30，14，3（整数分析法，要注意这里有特殊要求）二、解答题（本大题共4小题，每小题20分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数的取值范围解：设公共点，代入抛物线方程：（著名的“三角换元”一换就灵）得：；10分因为，所以20分12设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值解：由题意函数图像为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得；故有，从而且；5分若有实根，则；在区间上，有即；消去，解出；即，这时，且；10分若无实根，则，将代入，解得；综上15分所以，在上是单调递减的；故20分13如图，是内一点；（1）若是的内心，证明：；ABCP（2）若且，证明：是的内心证明：（1）因为内心是内角平分线的交点；所以，8分（2）因为是大于的定角，是定线段；所以点在为弦的圆上，其中，且劣弧与在的同侧；同理，点在为弦的圆上，其中，且劣弧与在的同侧；所以点是这两个圆的公共点；16分由（1）可推知，的内心也是这两个圆的公共点；又点是此两圆的另一个公共点，但不在内，所以点是内心20分14已知是实数，且存在正整数，使得为正有理数，证明：存在无穷多个正整数，使得为有理数证明：设，其中为互质的正整数，则；5分设为任意的正整数，构造：，则20分