《勾股定理》典型练习题

第 1 页 总 18 页 1 勾股定理 典型例题分析 一 知识要点 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 也就是说 如果直角三角形 的两直角边为 a b 斜边为 c 那么 a 2 b2 c2 公式的变形 a 2 c2 b2 b 2 c2 a2 2 勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC 的三边长分别是 a b c 且满足 a2 b2 c2 那么三角形 ABC 是直角 三角形 这个定理叫做勾股定理的逆定理 该定理在应用时 同学们要注意处理好如下几个要点 已知的条件 某三角形的三条边的长度 满足的条件 最大边的平方 最小边的平方 中间边的平方 得到的结论 这个三角形是直角三角形 并且最大边的对角是直角 如果不满足条件 就说明这个三角形不是直角三角形 3 勾股数 满足 a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 注意 勾股数必须是正整数 不能是分 数或小数 一组勾股数扩大相同的正整数倍后 仍是勾股数 常见勾股数有 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 4 最短距离问题 主要运用的依据是两点之间线段最短 二 考点剖析 考点一 利用勾股定理求面积 1 求阴影部分面积 1 阴影部分是正方形 2 阴影部分是长方形 3 阴影部分是 半圆 2 如图 以 Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆 试探索三个半 圆的面积之间的关系 第 2 页 总 18 页 2 3 如图所示 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形 其面积 分别是 S1 S 2 S 3 则它们之间的关系是 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S31 那么它的斜边长是 1n2 A 2n B n 1 C n 2 1 D 1n2 7 在 Rt ABC 中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A B C D 以上都有可能22abc 22acb 22cba 8 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24 B 36 C 48 D 602cm2cm2c2cm 9 已知 x y 为正数 且 x 2 4 y 2 3 2 0 如果以 x y 的长为直角边作一个直角 三角形 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5 B 25 C 7 D 15 考点三 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例 如图 1 所示 等腰 中 是底边上的高 若 求 AD 的长 ABC 的面积 考点四 勾股数的应用 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 最大 最小角的问题 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 3 下面的三角形中 第 4 页 总 18 页 4 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 若三角形的三边之比为 则这个三角形一定是 1 2 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 不等边三角形 5 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a 2 b 2 a2 b2 c 2 0 则它的形状为 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7 若 ABC 的三边长 a b c 满足 试判断 ABC 的形状 22abc01a6b20c 8 ABC 的两边分别为 5 12 另一边为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形为 例 3 求 1 若三角形三条边的长分别是 7 24 25 则这个三角形的最大内角是 度 2 已知三角形三边的比为 1 2 则其最小角为 3 第 5 页 总 18 页 5 考点五 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图 3 所示 其中 米 因某种活动要求 铺设红色地毯 则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六 利用列方程求线段的长 方程思想 小强想知道学校旗杆的高 他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米 当他把绳子的下 端拉开 5 米后 发现下端刚好接触地面 你能帮他算出来吗 2 一架长 2 5 的梯子 斜立在一竖起的墙上 梯子底端距离墙底 0 7m 如图 如果梯子的顶端沿墙下滑 0 4 那么梯子底端将向左滑动 m 米 3 如图 一个长为 10 米的梯子 斜靠在墙面上 梯子的顶端距地 面的垂直距离为 8 米 如果梯子的顶端下滑 1 米 那么 梯子底端 的滑动距离 1 米 填 大于 等于 或 小于 8 6 A BC 第 6 页 总 18 页 6 4 在一棵树 10 m 高的 B 处 有两只猴子 一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处 另外 一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 试 问这棵树有多高 5 如图 是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图 根据图中标出尺寸 单位 mm 计 算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 6 如图 有两棵树 一棵高 8 米 另一棵高 2 米 两树相距 8 米 一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢 至少飞了 米 7 如图 18 15 所示 某人到一个荒岛上去探宝 在 A 处登陆后 往东走 8km 又往北走 2km 遇到障碍后又往西走 3km 再折向北方走到 5km 处往东一拐 仅 1km 就找到了宝藏 问 登陆点 A 处 到宝藏埋藏点 B 处 的直线距离是多 少 60 120 140 B 60 A C 第 5 题图 7 8米 2米 8米 第 6题 图 1 5 3 2 8 B A C A D B 第 7 页 总 18 页 7 考点七 折叠问题 1 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边 AC 6 BC 8 将 ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 CD 等于 A B C D 425324735 2 如图所示 已知 ABC 中 C 90 AB 的垂直平分线交 BC 于 M 交 AB 于 N 若 AC 4 MB 2MC 求 AB 的长 3 折叠矩形 ABCD 的一边 AD 点 D 落在 BC 边上的点 F 处 已知 AB 8CM BC 10CM 求 CF 和 EC 4 如图 在长方形 ABCD 中 DC 5 在 DC 边上存在一点 E 沿直线 AE 把 ABC 折叠 使点 D 恰好在 BC 边上 设此点为 F 若 ABF 的面积为 30 求折叠的 AED 的面积 D CB A F E 图 18 15 A B C E D A B C E F D 第 8 页 总 18 页 8 5 如图 矩形纸片 ABCD 的长 AD 9 宽 AB 3 将其折 叠 使点 D 与点 B 重合 那么折叠后 DE 的长是多少 6 如图 在长方形 ABCD 中 将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置 CE 与 AD 交于点 F 1 试说明 AF FC 2 如果 AB 3 BC 4 求 AF 的长 7 如图 2 所示 将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠 顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处 已知 CE 3cm AB 8cm 则图中阴影部分面积为 8 如图 2 3 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠 使点 C 落在 C 的位 置上 已知 AB 3 BC 7 重合部分 EBD 的面积为 第 9 页 总 18 页 9 9 如图 5 将正方形 ABCD 折叠 使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合 折痕交 AD 于 E 交 BC 于 F 边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 如果 M 为 CD 边的中点 求证 DE DM EM 3 4 5 10 如图 2 5 长方形 ABCD 中 AB 3 BC 4 若将该矩形折叠 使 C 点与 A 点重合 则 折叠后痕迹 EF 的长为 A 3 74 B 3 75 C 3 76 D 3 77 2 5 11 如图 1 3 11 有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 10cm 宽为 4cm 将你手中足够大的直 角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点 P 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若 不能 请说明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一 直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2cm 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请你说明理由 第 10 页 总 18 页 10 12 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 13 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上 沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速 度为 18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 考点八 应用勾股定理解决勾股树问题 1 如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中 2 最大的正方形的边长为 5 则正方形 A B C D 的面积的和为 2 已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形 以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边 画第二个等 腰 Rt ACD 再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边 画第三个等腰 Rt ADE 依此类推 第 第 11 页 总 18 页 11 n 个等腰直角三角形的斜边长是 A B C D E F G 考点九 图形问题 1 如图 1 求该四边形的面积 2 如图 2 已知 在 ABC 中 A 45 AC AB 1 2 3 则边 BC 的长为 3 某公司的大门如图所示 其中四边形 是长方形 上部是以 为直径的半圆 其中 2 3 2 现有一辆装满货物的卡车 高为 2 5 宽为 1 6 问这辆卡车能否 通过公司的大门 并说明你的理由 4 将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 高为 12 的圆柱形水杯中 设筷子露在杯子 外面的长为 h 则 h 的取值范围 4 312 13 BCD A 第 12 页 总 18 页 12 5 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA 垂直 AB 于 A CB 垂直 AB 于 B 已知 AD 15km BC 10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E 使得 C D 两村 到 E 站的距离相等 则 E 站建在距 A 站多少千米处 考点十 其他图形与直角三角形 如图是一块地 已知 AD 8m CD 6m D 90 AB 26m BC 24m 求这块地的面积 考点十一 与展开图有关的计算 1 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 的表面上 求从顶点 A 到顶点 C 的最 短距离 2 如图一个圆柱 底圆周长 6cm 高 4cm 一只蚂蚁沿外壁爬行 要从 A 点爬到 B 点 则最 少要爬行 cm 3 国家电力总公司为了改善农 第 13 页 总 18 页 13 村用电电费过高的现状 目前正在全国各地农村进行电网改造 某地有四个村庄 A B C D 且正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路 他 们设计了四种架设方案 如图实线部分 请你帮助计算一下 哪种架设方案最省电线 考点十二 航海问题 1 一轮船以 16 海里 时的速度从 A 港向东北方向航行 另 一艘船同时以 12 海里 时的速度从 A 港向西北方向航行 经过 1 5 小时后 它们相距 海里 2 如图 某货船以 24 海里 时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处 在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向上 该货船航行 30 分钟到达 B 处 此时又测得该岛在北 偏东 30 的方向上 已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正东方向航行 该 货船有无暗礁危险 试说明理由 3 如图 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心 沿 BC 方向以 15km h 的速度向 D 移动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 100km 那么台风中心经 过多长时间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破 D B C A 东 东 30 60 BA C MD 第 14 页 总 18 页 14 坏的危险 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 考点十三 网格问题 1 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无 理数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 3 如图 小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形 ABCD 的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 B C A A B D C B A 图 1 图 2 图 3 4 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫格点 以格点为顶 点分别按下列要求画三角形 使三角形的三边长分别为 3 在图甲中画一个即可 85 使三角形为钝角三角形且面积为 4 在图乙中画一个即可 第 15 页 总 18 页 15 甲 乙 课后练习 一 填空题 每题 3 分 共 24 分 1 三角形的三边长分别为 a2 b 2 2ab a 2 b 2 a b 都是正整数 则这个三角形是 A 直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 2 若 ABC 的三边 a b c 满足 a2 b 2 c 2 十 338 10a 24b 26c 则 ABC 的面积是 A 338 B 24 C 26 D 30 3 若等腰 ABC 的腰长 AB 2 顶角 BAC 120 以 BC 为边的正方形面积为 A 3 B 12 C D 47316 4 ABC 中 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长为 A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 33 5 直角三角形三条边的比是 3 4 5 则这个三角形三条边上的高的比是 A 15 12 8 B 15 20 12 C 12 15 20 D 20 15 12 6 在 ABC 中 C 90 BC 3 AC 4 以斜边 AB 为直径作半圆 则这个半圆的面积等于 A B C D 25 258 254 2516 7 如图 1 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 则 CD 等于 A 2cm B 3 cm C 4 cm D 5 cm A C B E 图 1 D 16cm 18cm 图 2 B A 第 16 页 总 18 页 16 8 如图 2 一个圆桶儿 底面直径为 16cm 高为 18cm 则一只小虫底部点 A 爬到上底 B 处 则小 虫所爬的最短路径长是 取 3 A 20cm B 30cm C 40cm D 50cm 二 填空题 每小题 3 分 共 24 分 9 在 ABC 中 若其三条边的长度分别为 9 12 15 则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面 积是 10 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已 知这种草皮每平方米售价 a 元 则购买这种草皮至少需要 A 450a 元 B 225a 元 C 150a 元 D 300a 元 11 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 6cm 2 B 8cm 2 C 10cm 2 D 12cm 2 12 已知 如图 一轮船以 16 海里 时的速度从港口 A 出发向东北方向航行 另一轮船以 12 海里 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行 离开港口 2 小时后 则两船相距 A 25 海里 B 30 海里 C 35 海里 D 40 海里 13 一个长方体同一顶点的三条棱长分别是 3 4 12 则这个长方体内能容下的最长的木棒为 14 在 ABC 中 C 90 BC 60cm CA 80cm 一只蜗牛从 C 点出发 以每分 20cm 的速度沿 CA AB BC 的路径再回到 C 点 需要 分的时间 15 如图 3 一艘船由岛 A 正南 30 海里的 B 处向东以每小时 20 海里的速度航行 2 小时后到达 C 处 则 AC 间的距离是 16 在 ABC 中 B 90 两直角边 AB 7 BC 24 三角形内有一点 P 到各边的距离相等 则这个 距离是 17 如下图 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马 而他的小屋 位于他的南 7km 东 8km 处 他想把他的 马牵到小河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最短路程是多少 A B 小河 东 北 牧童 小屋 150 20m 30m 第 10 题图 A B E F D C 第 11 题 图 北 南 A 东 第 12 题 图 第 17 页 总 18 页 17 18 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 19 如图 公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇 点 A 处有一所中学 AP 160 米 点 A 到公路 MN 的距离为 80 米 假使拖拉机行驶时 周围 100 米以内会受到噪音影响 那么拖拉机在公 路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到影响 请说明理由 如果 受到影响 已知拖拉机的速度是 18 千米 小时 那么学校受到影响的时 间为多少 20 如图 矩形纸片 ABCD 的边 AB 10cm BC 6cm E 为 BC 上一点 将矩形纸片沿 AE 折叠 点 B 恰好落 在 CD 边上的点 G 处 求 BE 的长 变式 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ADC 沿直线 AD 翻折 点 C 落在点 C 的位置 BC 4 求 BC 的长 21 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 已知 A P QM N 第 18 页 总 18 页 18 DA 15km CB 10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E 使得 C D 两村到 E 站的 距离相等 则 E 站应建在离 A 站多少 km 处 22 如图 P 是等边三角形 ABC 内一点 PA 2 PB PC 4 求 ABC 的边长 23 23 如图 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 E F是BC上的点 且 EAF 45 试探究 间的关系 并说明理由 22BC A D E B C 第 21 题图