四年级上册“钟面问题”详解.doc

四年级上册“钟面问题”详解“大自然真是神奇，从来都给我们意想不到的答案。”hcj0131从四年级上册我们学到了人类是如何从实物记数、结绳记数、刻道记数发展到记数符号数字的。虽然人们后来发现有二进制、八进制、十六进制等进位制，但人类与生俱来地适应了十进制不过大自然给了我们许多例外，有音高的12进制、时间的60进制等等。“钟面问题”就是时间的多种进制在数学上的应用之一。1、 研究“钟面问题”的基本知识（1） 钟面的形状及角度计时工具从古代的日晷（根据影子确定时间）、水钟、烧香计时，到现在的机械钟、石英钟、原子钟，虽然计时原理变化、时钟形状因为装饰而发生改变，但若是以指针表盘作为钟面，大都是圆形的。 人们将圆周平均分成360份，并规定每一份的大小称作1度，表示为1。因此我们就有了周角360、平角180和直角90的概念。而钟面被平均分成12个点钟，因此每两个整点数字刻度之间的夹角应该正好是36012=30。每两个整点数字刻度之间的夹角又被平均分成5份（每份是305=6），因此整个钟面被平均分成512=60个刻度，正合每小时60分、每分钟60秒的进制，多么神奇！（2） 指针运动（旋转）规律钟面上一般有3种指针：秒针、分针和时针，三种指针都绕着同一个中心点按照顺时针作旋转运动。秒针每秒运行1个最小刻度，即旋转6，分针每分钟运行1个最小刻度，即旋转6，时针每小时运行一个整点刻度，即30。如果要统一这三种指针同一时间内运行的角度，将形成以下表格。1秒钟1分钟1小时1天秒针636021600518400分针0.1或663608640时针0.5或300.5或3030720 其中，人们规定再将1平均分成60份，每份为“1分”，记作“1”；再将“1”平均分成60份，每份为“1秒”，记作“1”这个可与时间的“分、秒”有所不同为了不导致混乱，我们尽量用作单位来研究。2、 不同类型的典型“钟面问题” 典型的钟面问题不考虑秒针（或是认为这时秒针在12点处，每一分都是完整的），简化了问题，只要求时针与分针的夹角。（1） 整点的时针与分针夹角问题 不考虑24小时制（即将2点和14点下午2点看做相同点钟），钟面上有12个整点，从1点整到12点整（也即0点整）。在这12个整点时，分针指向“12”，时针在各个整点上，因此时针与分针夹角为若干个30。如：但如果时针在7、8、9、10、11点，时针和分针的夹角有2个，我们一般计算不大于180的那个（写210也不是算错误的）。如：7:00或19:00时，时针和分针夹角为7个整点，即307=210，但我们一般计算不大于180的角，即360210=150。（2） 半点的时针与分针夹角问题 不考虑24小时制，钟面上有12个半点，从1点半到12点半（也即0点半）。在这12个半点时，分针指向“6”，时针在两个整点中间（因为时针要随着分针运动而运动，分针走了半小时，时针也要走半小时），因此时针与分针夹角为若干个30再加上1个半点302=15。如：0:30或12:30，时针和分针夹角为5又半个整点，即305+302=165，或者可以看作是平角还少半个整点，即180302=165。 其实可以发现，整点、半点钟的夹角都是15的倍数，正好是三角尺拼角的角度（请自己想象15的各个倍数，各可以是几点钟）。（3） 一般的时针与分针夹角问题如果点钟不是整点和半点，就“比较麻烦”了，因为情况很多，但不变的规律是：分针走了一个小时（一周，即360）的几分之几，时针也要走一个小时（一个点钟，即30）的几分之几。因此，我们只要确定时针和分针各自的位置，再根据他们与指针“12”的角度之差就可以算出他们之间的夹角了。如：3:24或15:24，时针在3点至4点之间，走了“1个小时的”（因为1个小时是60分钟，分针走了24分钟，时针也要走相应部分），即30=12（也可以用表格中的数据来计算0.524=12），因此时针与指针“12”的夹角是303+12=102，而分针与指针“12”的夹角是624=144，因此时针与分针的夹角是144102=42。4:43或16:43，时针在4点至5点之间，与指针“12”的夹角是304+0.543=141.5，而分针与指针“12”的夹角是643=258，因此时针与分针的夹角是258141.5=116.5按照这个规律，我们可以分别用字母表示几点几分，来算出时针与分针的夹角。如设点钟为X（X范围在0至11）而分钟为Y（范围在00到59），则X点Y分时，时针与指针“12”夹角为30X+0.5Y，而分针与指针“12”夹角为6Y，它们之差为30X5.5Y，即此时时针与分针夹角为|30X5.5Y|（绝对值，如是负数则取其相反数）或这个角度与360的差值。如：如左图，8:16或20:16，时针与分针的夹角为3085.516=24088=152。如右图，11:36或23:36，时针与分针的夹角为30115.536=330198=132。可以用这个“公式”来验证整点和半点的时针与分针夹角。如果还要考虑秒针的位置，则道理相同，X：Y：Z点钟（即X点Y分Z秒）时，也有相应的“公式”：X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30X+0.5Y+0.5Z，分针与指针“12”的夹角是6Y+0.1Z，秒针与指针“12”的夹角是6Z。3、 其他“非典型钟面问题”（1） 求一天有几次三针合一（时针、分针和秒针在同一位置）有人会认为1点5分时时针与分针重合，但其实这时时针已经再走了一些。根据上面整理而成的公式30X5.5Y可以很容易知道，当这个值是0的时候时针与分针重合。而其他值则需要用上面的公式来推导。X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30X+0.5Y+0.5Z，分针与指针“12”的夹角是6Y+0.1Z，秒针与指针“12”的夹角是6Z。因此，这三个指针与指针“12”的夹角必须完全相同才算重合。而X取值只有011这12种情况，分别代入求得以下解：方法：先都转化单位为，统一消去，得方程组 1800X+30Y+0.5Z=360Y+6Z 360Y+6Z=360Z 由可得1800X=330Y+5.5Z 由可得360Y=354Z 由可得 1800X=330Z 将X=0，1，10，11代入求得相应的Z，再用求得相应的Y。当X=0时，Y=0，Z=0，即0点0分0秒；当X=1时，Y=5，Z=5，即1点5分5秒；当X=2时，Y=10，Z=10，即2点10分10秒；当X=3时，Y=16，Z=16，即3点16分16秒；当X=4时，Y=21，Z=21，即4点21分21秒；当X=5时，Y=26，Z=27，即5点26分27秒；当X=6时，Y=32，Z=32，即6点32分32秒；当X=7时，Y=37，Z=38，即7点37分38秒；当X=8时，Y=42，Z=43，即8点42分43秒；当X=9时，Y=48，Z=49，即9点48分49秒；当X=10时，Y=53，Z=54，即10点53分54秒；当X=11时，Y=58=59，Z=59=60，即11点59分60秒，也就是12点整，与0点0分0秒重合了。因此，从0点0分0秒开始，每经过1小时5分5秒三针就重合一次，每12个点钟，时针、分针、秒针只重合11次，一天之内三针（头尾重复不计）只重合22次哦！（2） 三针互相垂直的问题来自百度知道：http:/zhidao.baidu.com/question/559159615.html?qbl=relate_question_3&word=%D6%D3%C3%E6%CE%CA%CC%E2原题：一昼夜中（24小时），是否存在这样的时刻，使得钟面上的时针、分针、秒针分别垂直（不包括重合），即三针中任意两针在一条直线上，另一针垂直于这条直线？解法：这题也可以通过三个指针的位置关系来解决。已知X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30X+0.5Y+0.5Z，分针与指针“12”的夹角是6Y+0.1Z，秒针与指针“12”的夹角是6Z。当X在0至11时，Y都有2种情况使得分针与时针垂直（分别是分针与指针“12”夹角比时针与指针“12”夹角多90和270的情况），而相对应的Z又都有2种情况使得秒针与时针或分针垂直（分别是秒针与指针“12”的夹角比分针与指针“12”的夹角多90或180以及少90或180）。而再细分一下发现，时针在不同位置时，分针与秒针与指针“12”的夹角公式可能会差一个周角，因此具体问题具体分析，结合图像来解答为宜（其实是觉得用绝对值的方法会把问题复杂化）。当X=0时，时针在0到1之间，分针夹角有2种情况（比时针夹角多90和270），秒针夹角根据分针各有2种情况（分别是比分针多90和180，以及比分针少180和少90）。用秒针和分针比较，因为两者公式相近，且不牵扯到X。因此X=0就有4种情况（详见下面表格）。由第一种，有：30X+0.5Y+0.5Z+90=6Y+0.1Z （其中X=0）6Y+0.1Z+90=6Z解得X=0，Y=15，Z=31。即在0点15分31秒时“三针垂直”。其他解法类似，解决过程略（有兴趣、有毅力的同学们可以借助计算器尝试一下）。得到如下表格。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间0多90多90015310点15分31秒0多90多180015460点15分46秒0多270少180048190点48分19秒0多270少90048340点48分34秒1多90多90121361点21分36秒1多90多180120511点20分51秒1多270少180154241点54分24秒1多270少90153391点53分39秒2多90多90226422点26分42秒2多90多180226572点26分57秒2多270少180259.5302点59.5分30秒2多270少90259.25452点59.25分45秒算到这边，出现了一个问题。“2点59.5分30秒”和“2点59.25分45秒”，秒针的指向非常精确，而同时的时针和分针却还差那么“一点”，是时间不可分割还是三个指针的角度公式有误？请大家继续解释，补充完善吧。下面的部分类似，每3个点钟的情况相似。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间3多90多90331473点31分47秒3多90少18033223点32分2秒3少90多1803-0.530？2点59.5分30秒？3少90多2703-0.7545？2点59.25分45秒？4多90多90437534点37分53秒4多90少18043884点38分8秒4少90多18044354点4分35秒4少90多27044504点4分50秒5多90多90542585点42分58秒5多90少180543135点43分13秒5少90多180510405点10分40秒5少90多27059555点9分55秒可以发现，3点的2种情况正指向2点相应的2种情况，是完全相同的，因此产生的问题也一样。待解答。接下来是6点到8点的部分。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间6少90少9061616点16分1秒6少90多180615466点15分46秒6多90少180648196点48分19秒6多90少27064946点49分4秒7少90少9072167点21分6秒7少90多180720517点20分51秒7多90少180754247点54分24秒7多90少27075497点54分9秒8少90少90827128点27分12秒8少90多180826578点26分57秒8多90少180859.5308点59.5分30秒8多90少270859.75158点59.75分15秒同样的问题出现在8点多近9点时，这时的秒针应该也距离“30”和“15”差一点而不是正好在上面？跳过同样的问题，继续9至11点的部分。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间9少90少90932179点32分17秒9少90少18093229点32分2秒9少270多909-0.2515？8点59.75分15秒？9少270多1809-0.530？8点59.5分30秒？10少90少9010372310点37分23秒10少90少1801038810点38分8秒10少270多901052010点5分20秒10少270多1801043510点4分35秒11少90少9011432811点43分28秒11少90少18011431311点43分13秒11少270多9011102511点10分25秒11少270多18011104011点10分40秒 综上所述，一天之内有88次（不计首尾重复）时针、分针、秒针“互相垂直”（即三针中任意两针在一条直线上，另一针垂直于这条直线）。（3） 其他待补充Edited by hcj01312014年11月18日