高考第一轮复习数学：1.1集合的概念与运算.doc

第一章 集合与命题网络体系总览考点目标定位1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.4.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.1.1 集合的概念与运算知识梳理1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：“”或“”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.3.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为AB，即AB=x|xA且xB.（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为AB，即AB=x|xA或xB.（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为S A，即S A=x|xS且xA.4.两有限集合并集元素个数 5.集合的基本运算（1）,(2) (3)(4) (5) (6) (7) 点击双基1.已知集合M=x|x24，N=x|x22x30，则集合MN等于（ ）A.x|x2 B.x|x3C.x|1x2D.x|2x3解析：M=x|x24=x|2x2，N=x|x22x30=x|1x3，结合数轴，MN=x|1x2. 答案：C2.已知集合A=xR|x5，B=1，2，3，4，则（RA）B等于（ ）A.1，2，3，4B.2，3，4 C.3，4D.4解析：RA=xR|x5，而5（3，4），（RA）B=4. 答案：D3.设集合P=1，2，3，4，5，6，Q=xR|2x6，那么下列结论正确的是（ ）A.PQ=P B.PQQ C.PQ=Q D.PQP解析：PQ=2，3，4，5，6，PQP. 答案：D4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_.解析：构造满足条件的集合，实例论证.U=1，2，3，P=1，Q=1，2，则（UQ）=3，（UP）=2，3，易见（UQ）P=. 答案：（UQ）P5.已知集合A0，1，BxxA，x*，CxxA，则A、B、C之间的关系是_.解析：用列举法表示出B1，C，1，0，A，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系. 答案：BA，AC，BC典例剖析【例1】函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）=y|y=f（x），xP，f（M）=y|y=f（x），xM.给出下列四个判断，其中正确判断有（ ）若PM=，则f（P）f（M）= 若PM，则f（P）f（M） 若PM=R，则f（P）f（M）=R 若PMR，则f（P）f（M）RA.1个 B.2个 C.3个 D.4个剖析：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如下图所示.设P=x2，+），M=（，x1，|x2|x1|，f（P）=f（x2），+），f（M）=f（x1），+），则PM=. 而f（P）f（M）=f（x1），+），故错误.同理可知正确.设P=x1，+），M=（，x2，|x2|x1|，则PM=R.f（P）=f（x1），+），f（M）=f（x2），+），f（P）f（M）=f（x1），+）R，故错误.同理可知正确.答案：B【例2】 已知A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0且AB=x|0x2，ABxx2，求a、b的值.解：A=x|2x1或x0，设B=x1，x2，由AB=（0，2知x22，且1x10， 由AB=（2，+）知2x11.由知x11，x22，a（x1x2）1，bx1x22.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.深化拓展1、记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为B.（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围.提示：（1）由20，得0，x1或x1，即A=（，1）1，+）.（2）由（xa1）（2ax）0，得（xa1）（x2a）0.a1，a+12a.B=（2a，a+1）.BA，2a1或a+11，即a或a2.而a1，a1或a2.故当BA时，实数a的取值范围是（，2，1）.【例3】设集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ） A.PQB.QPC.P=QD.PQ=Q剖析：Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，对m分类：m=0时，40恒成立；m0时，需=（4m）24m（4）0，解得m0.综合知m0，Q=mR|m0.答案：A评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.【例4】 已知集合A=（x，y）|x2+mxy+2=0，B=（x，y）|xy+1=0，0x2，如果AB，求实数m的取值范围.剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mxy+2=0与线段xy+1=0（0x2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由得x2+（m1）x+1=0. AB，方程在区间0，2上至少有一个实数解.首先，由=（m1）240，得m3或m1.当m3时，由x1+x2=（m1）0及x1x2=1知，方程只有负根，不符合要求；当m1时，由x1+x2=（m1）0及x1x2=10知，方程有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内.综上所述，所求m的取值范围是（，1.评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mxy+2=0与线段xy+1=0（0x2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比的取值范围建立关于m的不等式来解.深化拓展设mR，A=（x，y）|y=x+m，B=（x，y）|x=cos，y=sin，02，且AB=（cos1，sin1），（cos2，sin2）（12），求m的取值范围.提示：根据题意，直线y=x+m与圆x2+y2=1（x1）交于两点，1且01+m.2m2且m.答案：2m2且m.闯关训练夯实基础1.集合A=（x，y）|x+y=0，B=（x，y）|xy=2，则AB是A.（1，1） B. C.（1，1）D.1，1解析：答案：C2.设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b.若AB=2，则AB=_.解析：AB=2，log2（a+3）=2.a=1.b=2.A=5，2，B=1，2.AB=1，2，5.答案：1，2，53.设A=x|1x2，B=x|xa，若AB，则a的取值范围是_.解析：AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a1.答案：a14.已知集合A=xR|ax2+2x+1=0，aR只有一个元素，则a的值为_.解析：若a=0，则x=.若a0，=44a=0，得a=1.答案：a=0或a=15.设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是A.（IA）B=I B.（IA）（IB）=I C.A（IB）= D.（IA）（IB）=IB解析一：A、B、I满足ABI，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的. 解析二：设非空集合A、B、I分别为A=1，B=1，2，I=1，2，3且满足ABI.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的.答案：B6.记函数f（x）=log2（2x3）的定义域为集合M，函数g（x）= 的定义域为集合N.求：（1）集合M、N；（2）集合MN、MN.解：（1）M=x|2x30=x|x；N=x|（x3）（x1）0=x|x3或x1.（2）MN=x|x3；MN=x|x1或x.培养能力7.已知A=xR|x2+2x+p=0且AxR|x0=，求实数p的取值范围.解：AxR|x0=，（1）若A=，则=44p0，得p1；（2）若A，则A=x|x0，即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.设两根为x1、x2，则 0p1. 综上所述，p0.8.已知P=（x，y）|（x+2）2+（y3）24，Q=（x，y）|（x+1）2+（ym）2，且PQ=Q，求m的取值范围.解：点集P表示平面上以O1（2，3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集Q表示平面上以O2（1，m）为圆心，为半径的圆的内部.要使PQQ，应使O2内含或内切于O1.故有O1O22（R1R2）2，即（12）2（m3）2（2）2.解得3m3.评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.探究创新9.若B=x|x23x+20，是否存在实数a，使A=x|x2（a+a2）x+a30且AB=A？请说明你的理由.解：B=x|1x2，若存在实数a，使AB=A，则A=x|（xa）（xa2）0.（1）若a=a2，即a=0或a=1时，此时A=x|（xa）20=，满足AB=A，a=0或a=1.（2）若a2a，即a1或a0时，A=x|0xa2，要使AB=A，则1a，1a.（3）若a2a，即0a1时，A=x|axa2，要使AB=A，则1a2，a.综上所述，当1a或a=0时满足AB=A，即存在实数a，使A=x|x2（a+a2）x+a30且AB=A成立.思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.教师下载中心教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.拓展题例【例1】 设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为MN=x|xM且xN，则M（MN）等于（ ）A.NB.MNC.MND.M解析：MN=x|xM且xN是指图（1）中的阴影部分.同样M（MN）是指图（2）中的阴影部分.答案：B【例2】 设集合P=1，a，b，Q=1，a2，b2，已知P=Q，求1+a2+b2的值.解：P=Q， 或 解得a=0或a=1，b=0或b=1.（舍去）由得a=b2=a4，a=1或a3=1.a=1不合题意，a3=1（a1）.a=，b=2，其中=+i.故1+a2+b2=1+2+4=1+2=0.IMN补充1、已知集合I、M、N的关系如图，则I、M、N的关系为 ( ) C 2、 集合A、B、C满足，则成立的等式是( ) B(A)B=C (B) (C) (D)3、设全集为实数集R， ，集合那么集合等于( ) D(A) (B) (C) (D)4、某班学生共45人，一次模底考试：数学20人得优，语文15人得优，这两门都不得优的20人，则这两门都得优的人数为 。105、已知集合|，若，则实数m的取值范围是 。-11m36、若，那么 。7、已知， 解：，(1)； (2)(3)， 同理. 8、已知正整数集合 ，其中中所有元素之和为124，求A.分析：注意到，且1是正整数集中的最小数，这样，可求出，进而求出，再根据已知条件求出、解：，B中元素满足故必有，又 又设其中之一为，则