2017成人高考专升本《高等数学二》复习教程

1 高等数学二 复习教程 第一讲 函数 连续与极限 一 理论要求 1 函数概念与性质 函数的基本性质 单调 有界 奇偶 周期 几类常见函数 复合 分段 反 隐 初等函数 2 极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3 连续 函数连续 左 右连续 与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质 最值 有界 介值 二 题型与解法 A 极限的求法 1 用定义求 2 代入法 对连续函数 可用因式分解或有理化消除零因子 3 变量替换法 4 两个重要极限法 5 用夹逼定理和单调有界定理求 6 等价无穷小量替换法 7 洛必达法则与 Taylor 级数法 8 其他 微积分性质 数列与级数的性质 2 1 等价小量与洛必达 612arctnlim 21ln arcti 3030 xxx 2 已知 2030 li 6si xffxx 求 解 2030 3 cosli il yfxfx 72 0 6 3216 3cos1lim 2sinlim0 yy xyxxx 洛必达 3 li2 lili 0020 xxf 3 重要极限 11 lim x 4 已知 a b 为正常数 x xba30 2 lim 求 解 令 2ln ln l 2 3 xxxtt 变量替换 2 300 l 3 ll linlimabt abbaxxxx 5 1ln 02coslixx 解 令 ln cos 1l 2 1ln 2 xttx 变量替换 00alimli ettxx 6 设 连续 求 f 0 ff 1 lim02 2 xxdtf 洛必达与微积分性质 7 已知 在 x 0 连续 求 a 0 ln cos 2xaf 解 令 连续性的概念 1 l im2 x 3 三 补充习题 作业 1 洛必达 3cos1lim0 xe xx 2 洛必达或 Taylor in li0tgx 3 洛必达与微积分性质 1li20 xtxed 第二讲 导数 微分及其应用 一 理论要求 1 导数与微分 导数与微分的概念 几何意义 物理意义 会求导 基本公式 四则 复合 高阶 隐 反 参数方程求导 会求平面曲线的切线与法线方程 2 微分中值定理 理解 Roll Lagrange Cauchy Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3 应用 会用导数求单调性与极最值 凹凸性 渐进线问题 能画简图 会计算曲率 半径 二 题型与解法 基本公式 四则 复合 高阶 隐函数 参数方程求导A 导数微分的计算 1 决定 求 52arctn eyxy由 dxy 2 决定 求si l3由 1 0 x 解 两边微分得 x 0 时 将 x 0 代入等式得 y 1yxyco 3 决定 则 xyy 2 由 dxdx 2 ln 0 B 曲线切法线问题 4 求对数螺线 处切线的直角坐标方程 ee 在 解 1 0 sinco2 2 2 yyxeyx 2 5 f x 为周期为 5 的连续函数 它在 x 1 可导 在 x 0 的某邻域内满足 4 f 1 sinx 3f 1 sinx 8x o x 求 f x 在 6 f 6 处的切线方程 解 需求 等式取 x 0 的极限有 f 1 0 1 6 ff或 6 2 1 8 4 13 limsini10sin xyff tfftxtx C 导数应用问题 6 已知 xeffxy 2满 足对 一 切 求 点的性质 0 0 xf若 0y 解 令 故为极小值点 0 0100 xexfx代 入 7 求单调区间与极值 凹凸区间与拐点 渐进线 2 3 1 xy 解 定义域 1 斜 铅 垂 拐 点 及驻 点 200 3 xyxy 8 求函数 的单调性与极值 渐进线 exarctn2 1 解 10 arctn2 2 xyx与驻 点 yxe与渐 D 幂级数展开问题 9 xdtd022sinsin x nnx nnnnxxxdtdt txtxtxdt txtttx0 2 12 62 4732 1417 12 622 si 1 sin i 1 sin i 或 20202 sinsi sinduxdudxutx 5 10 求 0 0 1ln 2 nfxxf 阶 导 数处 的在 解 213l 222 nnxo 2 1 3543 nnxox 2 1 0 nfn E 不等式的证明 1 设 x 21 ln 12l 1 l 2 xx 求 证 证 1 令 0 n gg 得 证 单 调 下 降 单 调 下 降单 调 下 降 时 0 0 1 0 1l 2 xgxgxg 2 令 单 调 下 降 得 证 1 ln hh F 中值定理问题 12 设函数 具有三阶连续导数 且 1 在xf 1 0 ff 求证 在 1 1 上存在一点0 f 3 使 证 2 31 0 xfxfxfx 其中 将 x 1 x 1 代入有 61 0 2 1 021 fff 两式相减 6 21 ff 3 2121 f 13 求证 eba 4ln2abeb 证 fafLgrn 6 令 ln2ln l 2 abxf 令 222 ln 0l1 l eett 关键 构造函数 4ln22abeb 三 补充习题 作业 1 23 0 1ln 2 yxxf求 2 曲线 01 cosi xyteyt 处 切 线 为在 3 ex0 1ln 的 渐 进 线 方 程 为 4 证明 x 0 时 22 1 l 证 令 3 222 1 ln xgxxxg 01 0 1 g 0 1 0 2 gxx 第三讲 不定积分与定积分 一 理论要求 1 不定积分 掌握不定积分的概念 性质 线性 与微分的关系 会求不定积分 基本公式 线性 凑微分 换元技巧 分部 2 定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分 广义积分 会用定积分求几何问题 长 面 体 会用定积分求物理问题 功 引力 压力 及函数平均值 二 题型与解法 7 A 积分计算 1 Cxxdxd2arcsin 2 4 2 xedeee xtant1tan 222 3 设 求xf l df 解 edfx1ln Cexde xxxxx 1ln l 4 1 1212 2l4lim arctnarctnbdd B 积分性质 5 连续 且 求 并讨论 xf 10 dxf Axf 0 x 在 的连续性 解 x dyfxtyf 0 0 0 2 0 lim2 0 20 Axdffx x 6 xtdfttfd0202 2ydx C 积分的应用 7 设 在 0 1 连续 在 0 1 上 且 f 0 xf 又 与 x 1 y 0 所围面积 S 2 求 23 xa f xf 且 a 时 S 绕 x 轴旋转体积最小 解 102 42 2 acdxfcxffd 25 143yVxaf 8 曲线 过原点作曲线的切线 求曲线 切线与 x 轴所围图y 形绕 x 轴旋转的表面积 解 切线 绕 x 轴旋转的表面积为2 520 yds 曲线 绕 x 轴旋转的表面积为1 y 1 61 8 总表面积为 15 6 三 补充习题 作业 1 Cxxdxcot2sinlcotsinl2 2 1365 3 dxarcsi 第四讲 向量代数 多元函数微分与空间解析几何 一 理论要求 1 向量代数 理解向量的概念 单位向量 方向余弦 模 了解两个向量平行 垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2 多元函数微分 理解二元函数的几何意义 连续 极限概念 闭域性质 理解偏导数 全微分概念 能熟练求偏导数 全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3 多元微分应用 理解多元函数极值的求法 会用 Lagrange 乘数法求极值 4 空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的求法 会求平面 直线方程与点线距离 点面距离 二 题型与解法 A 求偏导 全微分 1 有二阶连续偏导 满足 求 xf sin yefzx zezxyx2 解 uuecff 21 0 2 yxzxyfxz 1 求 3 求决 定由 0 Ffzy dxz B 空间几何问题 4 求 上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和 ax 解 adzy 000 9 5 曲面 在点 处的法线方程 2132 zyx C 极值问题 6 设 是由 确定的函数 z 018206 zyxy 求 的极值点与极值 yx 三 补充习题 作业 1 yxzgyxfz 2 求 2 f求 3 dzxyyxuz 求 arctn ln 2 第五讲 多元函数的积分 一 理论要求 1 重积分 熟悉二 三重积分的计算方法 直角 极 柱 球 Drbaxyrdfdyxyf21 V rzzzbaxyyxdrfdrzfxyzf 21 212 21 sin 会用重积分解决简单几何物理问题 体积 曲面面积 重心 转动惯量 DyxzAyxfz 2 2 曲线积分 理解两类曲线积分的概念 性质 关系 掌握两类曲线积分的计算方法 L ttbaxdrrfr ytxtyxLfdlyxf 22 sin co 1 熟悉 Green 公式 会用平面曲线积分与路径无关的条件 3 曲面积分 理解两类曲面积分的概念 质量 通量 关系 熟悉 Gauss 与 Stokes 公式 会计算两类曲面积分 10 LSSVDxy yxyxzS dFrdtokesEGau dzyzfzf 旋 度 通 量 散 度 1 2 二 题型与解法 A 重积分计算 1 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周与 z 8 2dVyxI 02xy 的围域 解 31024 20802280 zzyx rddzxydI 2 为 与 DDa 422 2 axa 围域 xy 16 I 3 其 他 00 2 2xyxyf 求 49 20 Ddf 2 B 曲线 曲面积分 4 L xx dyaeybeI cos sin 0 2 0 OaA至沿从 解 令 AyO至沿从1 32201 abdxbdxyabI aDL 5 yxdI24为 半 径 的 圆 周 正 向为 中 心 为 以 1 R 解 取包含 0 0 的正向 sinco 1ryxL 1110LLL 6 对空间 x 0 内任意光滑有向闭曲面 S 且 在 x 0 有连续0 2 S xzdyexyfdzxf xf 一阶导数 求 1lim0 x f 11 解 s xdVefxffdVFSd 0 2 11 2 xxeyeyx 第六讲 常微分方程 一 理论要求 1 一阶方程 熟练掌握可分离变量 齐次 一阶线性 伯努利方程求法 2 高阶方程 会求 ypyfxpyxfyfyn 3 二阶线性常系数 齐次 sinco 00 211221122xeyixqqp 非齐次 xnxn eQyandrPxf 2212 非齐 max si cos icos2 jixrxqeyippef nnjix 次 二 题型与解法 A 微分方程求解 1 求 通解 0 2 23 dyxdyx3cy 2 利用代换 化简 并求通解 xuos xeyxy cos3sin ecce5i2 4 1 3 设 是上凸连续曲线 处曲率为 且过 处 xy yx2 1y 1 0 切线方程为 y x 1 求 及其极值 y 解 12 2ln1 2ln1 4cos ln01 max2 yxyy 三 补充习题 作业 1 已知函数 在任意点处的增量 xy 1 0 12yxoy求 4 e 2 求 的通解 e24 xxecey214 3 求 的通解 0 0 ydxy 1 2 xy 4 求 的特解 2 ye e31 第七讲 无穷级数 一 理论要求 1 收敛性判别 级数敛散性质与必要条件 常数项级数 几何级数 p 级数敛散条件 正项级数的比较 比值 根式判别法 交错级数判别法 2 幂级数 幂级数收敛半径 收敛区间与收敛域的求法 幂级数在收敛区间的基本性质 和函数连续 逐项微积分 Taylor 与 Maclaulin 展开 3 Fourier 级数 了解 Fourier 级数概念与 Dirichlet 收敛定理 会求 的 Fourier 级数与 正余弦级数 l 0 l 第八讲 线性代数 一 理论要求 1 行列式 会用按行 列 展开计算行列式 2 矩阵 几种矩阵 单位 数量 对角 三角 对称 反对称 逆 伴随 矩阵加减 数乘 乘法 转置 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件 会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换 初等矩阵 矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念 性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 3 向量 理解 n 维向量 向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关 线性无关的判别 理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式 过渡矩阵 施密特方法 13 了解规范正交基 正交矩阵的概念与性质 4 线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次 非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 5 二次型 二次型及其矩阵表示 合同矩阵与合同变换 二次型的标准形 规范形及惯性定理 掌握用正交变换 配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法 第九讲 概率统计初步 一 理论要求 1 随机事件与概率 了解样本空间 基本事件空间 的概念 理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减 乘 全概率与贝叶斯公式 2 随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念 理解分布函数 离散型随机变量 连续型变量的概率密度 掌握 0 1 二项 超几何 泊松 均匀 正态 指数分布 会求分布函 数 3 二维随机变量 理解二维离散 连续型随机变量的概率分布 边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布 了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 4 数字特征 理解期望 方差 标准差 矩 协方差 相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征 会求随机变量的数学期望 5 大数定理 了解切比雪夫不等式 了解切比雪夫 伯努利 辛钦大数定理 了解隶莫弗 Laplace 定理与列维 林德伯格定理 6 数理统计概念 理解总体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差及样本矩 了解 分布 t 分布 F 分布的概念和性质 了解分位数的概念2 了解正态分布的常用抽样分布 7 参数估计 掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性 有效性与一致性的概念 会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8 假设检验 掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 第十讲 总结 1 极限求解 变量替换 作对数替换 洛必达法则 其他 重要极限 微积分 1 性质 级数 等价小量替换 1 几何级数 2 1 2 limaxnxnaxn 14 2 对数替换 2 10 arcos2 lim exx 3 2 tn1lix 4 2 1 63 li xx 5 2 1 limaxnnax 6 求 0 cos 4 s 02xtdxfx lim0 xf 2 导数与微分 复合函数 隐函数 参数方程求导 1 bax 2 求 dy dx0 sinrct yxy 3 决定函数 求 dy textio 4 已知 验证1ln2 y0 124 yxy 5 求bxvueysin 3 3 x 3 一元函数积分 1 求函数 在区间 上的最小值 0 xdttI021 2 2 1 dx 3 02 3 4 dx 1 5 2t 6 dx241 15 4 多元函数微分 1 求 2xyefz yxz 2 由 给出 求证 0 Fxyzxzy 3 求 在 O 0 0 A 1 1 B 4 2 的梯度 xyyxu2 2 4 求 ln si u 6 证明 满足2xyfz nzyzx 7 求 内的最值 18 4 22 Df 在 5 多元函数积分 1 求证 brotatbadiv 2 DyxyxI 2 2 3 4 改变积分次序 201 xdyfd 5 围域 DxyI 1 2 6 常微分方程 1 求 通解 01ln122 dyxd 2 求 通解 ey35 3 求 通解 x26 4 求 通解 0 2 dydyx 5 求 特解 2cos14 x 6 求 特解 1 yeyx 高等数学考研题型分析 填空题 极限 指数变换 罗必达 求导 隐函数 切法线 不定积分 二重积分 变上限定积分 选择题 等价小量概念 导数应用 函数性质 函数图形 多元极限 计算题 中值定理或不等式 定积分几何应用 偏导数及几何应用 常微分方程及应用