快乐课堂学数学-多余老师趣讲“平面向量”-高中数学必修.doc

快乐课堂学数学-多余老师趣讲“平面向量”-高中数学必修4 一、本单元概述向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及将要学习到的电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。向量的方法经过逐步完善，成为了一套优良的数学工具。向量，是一个非常好的数学工具，使用向量解决问题的方法称为“向量法”。向量法的数学思想，仍然是“数形结合思想”。要使用好这个工具，就要：1、知道工具的构造原理。2、工具的操作规则。3、工具的使用范围。二、向量的有关概念 在数学与物理中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。向量有方向与大小，分为自由向量（可平移）与固定向量（不可平移）。数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中常称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。向量的表示：1代数表示：一般印刷用黑体小写字母、或a、b、c 等来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头表示。2几何表示：向量可以用有向线段来表示。具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个）有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。向量的大小也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作0。长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。3坐标表示（数形结合）：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。模和数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。注意：1向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)， |a|=根号下（x2+y2）。2因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB向量CD”是没有意义的。各种向量零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直。单位向量：长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。某方向上的单位向量：与向量a同向或反向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。负向量：如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作a=b。特别规定：所有的零向量都相等。当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量：始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。数学中只研究自由向量。滑动向量：沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量：作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。位置向量：对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。方向向量：直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有 -（-a）=a，零向量的相反向量仍是零向量。平行（或共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量。向量a、b平行（共线），记作ab。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行，即0/a。平行于同一直线的一组向量是共线向量。若a=(x,y)b=(m，n)。a/b=ab=xn-ym=0。在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 共面向量：平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。空间中的向量有且只有以下两种位置关系：共面；不共面。注意：只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量。三、向量运算1、向量的加法向量加法的定义已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC。向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点） 同样，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，连接DC，因为ADBC，且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连）。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a|-|b|a+b|a|+|b|。（即：三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当共线时，取等号）向量的加法满足所有的加法运算定律。（加法交换律、加法结合律）2、向量的减法AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，指向被减） c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，(a)=a，a+(a)=(a)+a=0，ab=a+(b)。0的反向量为0。3、向量的数乘实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。当0时，a与a同方向；当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍当0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足乘法运算定律：结合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。4、坐标运算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2,y1+y2）a-b=（x1-x2，y1-y2）这就是说， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。由此可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。根据上面的结论又可得若a=(x,y),则a=(x,y)这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。由坐标运算可知：向量的加法、减法、数乘，属于“线性运算”，即符合实数的运算法则。4、向量的数量积（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=叫做向量a与b的夹角。并规定0 （2）数量积的定义：已知两个非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a与b的数量积或内积，两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作ab，是a与b的夹角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。若a、b不共线，则ab=|a|b|cos（依定义有：cos=ab / |a|b|）；若a、b共线，则ab=ab。（3）数量积几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2（4）向量的数量积的性质：aa=a20ab=ba（交换律）k(ab)=(ka)b=a(kb) (关于数乘法的结合律)a(b+c)=ab+ac（分配律）ab=0aba=kba/be1e2=|e1|e2|cos| ab|a|b|。（该公式证明如下：|ab|=|a|b|cos| 因为0|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。2向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac (a0)，推不出b=c。3|ab|与|a|b|不等价4由 |a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。说明：向量的数量积，是专为物理的矢量积定义的，物理中，两个矢量的积，是标量（即数量）。所以，向量的数量积与向量的其它运算，不完全不同类型的运算，在做有关数量积的判断时，要用物理的角度来进行。相关练习1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0. 2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0 错（当ab时，a b=0）3若a 0，a b =0，则b=0错（当a和b都不为零，且ab时，a b=0）4若a b=0，则a b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当ab时，a b=0成立）5若a0，a b= b c，则a=c错（当b=0时）6若a b = a c ,则bc,当且仅当a= 0时成立 错（a0且同时垂直于b，c时也成立）注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。四、向量的应用三角形不等式1、a-ba+ba+b 当且仅当a、b反向时，左边取等号 当且仅当a、b同向时，右边取等号。2a-ba-ba+b。 当且仅当a、b同向时，左边取等号 当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点定比分点公式（向量P1P=向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数且不等于-1，使 向量P1P=向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1（x1,y1），P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+OP2)/(1+)；（定比分点向量公式）x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理：已知0是AB所在直线外一点,若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式：在ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心向量共线的条件若b0，则a/b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件：ab的充要条件是ab=0，即x1x2+y1y2=0。平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底五、向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，主要是运用向量法来分析，解决一些相关问题.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中。常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？