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专题三:三角函数余二高 郭华【考点审视】1、 掌握三角函数概念,其中以三角函数的定义学习为重点。(理科:兼顾反三角)2、 提高三角函数的恒等变形的能力,关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等,掌握常见的变形方法。3、 解决三角函数中的求值问题,关键是把握未知与已知之间的联系。4、 熟练运用三角函数的性质,需关注复合问题,在问题转化过程中,进一步重视三角恒等变形。5、 掌握等的图象及性质,深刻理解图象变换之原理。6、 解决与三角函数有关的(常见的)最值问题。7、正确处理三角形内的三角函数问题,主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理,提高边角、角角转化意识。8、提高综合运用的能力,如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、 概念不清例1 若、为第三象限角,且,则( )(A)(B)(C)(D)以上都不对错解 选(A)分析:角的概念不清,误将象限角看成类似区间角。如取,可知(A)不对。用排除法,可知应选(D)。二、 以偏概全例2 已知,求的值及相应的取值范围。错解 当是第一、四象限时,当是第二、三象限时,。分析:把限制为象限角时,只考虑且的情形,遗漏了界限角。应补充:当时,;当时,或。三、 忽略隐含条件例3 若,求的取值范围。错解 移项得,两边平方得即分析:忽略了满足不等式的在第一象限,上述解法引进了。正解:即,由得 四、 忽视角的范围,盲目地套用正弦、余弦的有界性例4 设、为锐角,且+,讨论函数的最值。错解 可见,当时,;当时,。分析:由已知得,则当,即时,最大值不存在。五、 忽视应用均值不等式的条件例5 求函数的最小值。错解 当时,分析:在已知条件下,(1)、(2)两处不能同时取等号。正解: 当且仅当,即,时,专题四:三角函数【经典题例】 例1:点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为( )(A) (B) (C) (D)思路分析 记,由三角函数定义可知Q点的坐标满足,故选(A)简要评述三角函数定义是三角函数理论的基础,理解掌握能起到事半功倍的效果。例2:求函数的最小正周期、最大值和最小值.思路分析所以函数f(x)的最小正周期是,最大值是,最小值是.简要评述三角恒等变形是历年高考考察的主要内容,变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累,在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外,求函数的周期、最值是考察的热点,变形化简是必经之路。例3:已知,的值.思路分析 得 又于是 简要评述 此类求值问题的类型是:已知三角方程,求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程,得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简,变形仍然显得重要,此题中巧用诱导公式、二倍角公式,还用到了常用的变形方法,即“化正余切为正余弦”。例4:已知b、c是实数,函数f(x)=对任意、R有:且(1)求f(1)的值;(2)证明:c;(3)设的最大值为10,求f(x)。思路分析(1)令=,得令=,得因此;(2)证明:由已知,当时,当时,通过数形结合的方法可得:化简得c;(3)由上述可知,-1,1是的减区间,那么又联立方程组可得,所以简要评述三角复合问题是综合运用知识的一个方面,复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点,这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。例5:关于正弦曲线回答下述问题:(1)函数的单调递增区间是;(2)若函数的图象关于直线对称,则的值是 1 ;(3)把函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变),则所得的函数解析式子是 ;(4)若函数的最大值是,最小值是,最小正周期是,图象经过点(0,-),则函数的解析式子是;思路分析 略简要评述正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容,必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。例6:函数(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的最大值及对应的x值。思路分析 (1)x|x (2)设t=sinx+cosx, 则y=t-1 简要评述若关于与的表达式,求函数的最值常通过换元法,如令,使问题得到简化。例7:在ABC中,已知(1)求证:a、b、c成等差数列;(2)求角B的取值范围。思路分析(1)条件等式降次化简得(2),得B的取值范围简要评述三角形中的变换问题,除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外,还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行ABCD互换。例8:水渠横断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为h,梯形面积为S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和达到最小,此时下底角应该是多少?思路分析 CD=, C=,转化为考虑y=的最小值,可得当时,y最小,即C最小。简要评述“学以致用”是学习的目的之一,三角知识的应用很广泛,在复习过程中应受到重视。【热身冲刺】一、选择题:1若,则满足 =0.5的角 的个数是(C) (A)2 (B)3 (C) 4 (D)52为了得到函数的图象,可以将函数的图象(B )(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度 (C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度3已知函数,则下面三个命题中:(1);(2);(3);其中正确的命题共有( B ) (A) 0个 (B) 1个 (C)2个 (D)3个4若是奇函数,且当0时,则当时,为( C )(A) (B) (C)| (D)|5函数是奇函数,则等于( D)(A) (B) (C) (D)6如果圆至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点,则的取值范围是( B )(A) (B) (C) (D)7若,则y 的最大值是( C )(A) (B) (C) (D)8函数在区间上的最小值为-,则的取值为( C )(A) (B)0, (C) (D)9若ABC面积S=则C=( C) (A) (B) (C) (D)10已知向量则与的夹角为( A ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题:11若是以5为周期的奇函数,=4,且cos,则 = -4 .12函数=lg(sincos)的增区间是13用表示不超过实数的最大整数。则= -81 。14设,且,则的取值范围是 ;三、解答题:15(文)求函数的定义域。答案:(理)二次函数f(x)的二次项系数是负数,对任何,都有)=,设M=arcsin(sin4),N=arcos(cos4),讨论M和N的大小。答案: MN 16在锐角三角形ABC中,()求证; ()设=3,求边上的高.略解()证明:所以()解:, 即 ,将代入上式并整理后解得,舍去负值, 设边上的高为.由AB=AD+DB=得CD=2+.17已知,其中,(1) 求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的最大值、最小值。答案:;18在锐角ABC中,已知ABC,且B=,又,求证:略证:由已知得,进一步可求出,得,19(1)已知,证明不存在实数能使等式cos+msin=m(*)成立;(2)试扩大的取值范围,使对于实数,等式(*)能成立;(3)在扩大后的取值范围内,若取,求出使等式(*)成立的值。提示:(1)可化为(2)(3)20设函数= ,其中向量=(2cos,1),=(cos,sin2),R.(1)若且,求;(2)若函数y=2sin2的图象按向量=(m,n)(|m|)平移后得到函数y=的图象,求实数m、n的值.略解:()依题设,=2cos2+sin2=1+2sin(2+).由,得,.()函数=2sin2的图象按向量=(m,n)平移后得到函数的图象,即函数y=的图象.由()得 =2sin2(+)+1. |m|,m=,n=1.
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