2015年中考复习二次函数综合题精选(教师版)

1 中考复习 二次函数的综合 精选 1 如图 二次函数 cxy 21的图象经过点 D 29 3 与 x 轴交于 A B 两点 求 c的值 如图 设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点 直线 AC 将四边形 ABCD 的 面积二等分 试证明线段 BD 被直线 AC 平分 并求此时直线 AC 的函数解析式 设点 P Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点 试猜想 是否存在这样的点 P Q 使 AQP ABP 如果存在 请举例验证你的猜想 如果不存在 请说明理 由 图 供选用 解 抛物线经过点 D 29 3 3 212 c c 6 过点 D B 点分别作 AC 的垂线 垂足分别为 E F 设 AC 与 BD 交点为 M AC 将四边形 ABCD 的面积二等分 即 S ABC S ADC DE BF 又 DME BMF DEM BFE DEM BFM DM BM 即 AC 平分 BD c 6 抛物线为 621 xy A 0 32 B 0 3 M 是 BD 的中点 M 49 2 2 设 AC 的解析式为 y kx b 经过 A M 点 49230k 解得 59103bk 直线 AC 的解析式为 103 xy 存在 设抛物线顶点为 N 0 6 在 Rt AQN 中 易得 AN 43 于是以 A 点为圆心 AB 43为半径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q 连接 AQ 再作 QAB 平分线 AP 交抛 物线于 P 连接 BP PQ 此时由 边角边 易得 AQP ABP 2 已知一次函数 y 12 的图象与 x 轴交于点 A 与 y轴交于点 B 二次函数cbxy 21 图象与一次函数 y 12 的图象交于 C两点 与 x轴交于 D E两点 且 D点的坐标为 0 1 求二次函数的解析式 2 求四边形 BDEF 的面积 S 3 在 x轴上是否存在点 P 使得 BC是以 P为直角顶点的直角三角形 若存在 求出所有的点 若不存在 请说明理由 答案 解 1 由题意知 当 x 0 时 y 1 B 0 1 当 y 0 时 x 2 A 2 0 0cb 解得 231bc 所以 123 xy 2 当 y 0 时 0 x 解得 x1 1 x2 2 D 1 0 E 2 0 AO 3 AE 4 S S 3 CAE S ABD S OBADE 2 13 S 4 5 3 存在点 P a 0 当 P 为直角顶点时 如图 过 C 作 CF x 轴于 F Rt BOP Rt PFC 由题意得 AD 6 OD 1 易知 AD BE CFOB 即 34a 整理得 a 2 4 a 3 0 解得 a 1 或 a 3 所以所求 P 点坐标为 1 0 或 3 0 综上所述 满足条件的点 P 有两个 3 如图 1 抛物线 2yx 与 y 轴交于点 A E 0 b 为 y 轴上一动点 过点 E 的 直线 yxb 与抛物线交于点 B C 1 求点 A 的坐标 2 当 b 0 时 如图 2 AE与 的面积大小关系如何 当 4b 时 上述关系还 成立吗 为什么 3 是否存在这样的 b 使得 O是以 BC 为斜边的直角三角形 若存在 求出 b 若不 存在 说明理由 解 1 将 x 0 代入抛物线解析式 得点 A 的坐标为 0 4 2 当 b 0 时 直线为 yx 由 2yx 解得 12xy 所以 B C 的坐标分别为 2 2 2 2 14AES 14ACES 所以 BAE 利用同底等高说明面积相等亦可 当 b 时 仍有 BACE 成立 理由如下 由 24yx 解得 14xby 24xby 所以 B C 的坐标分别为 b 4b b 作 Fy 轴 Gy轴 垂足分别为 F G 则 BC y xCBAOE y xCBAOE 图 1 图 2 GFyBCQOR 4 而 ABE和 C是同底的两个三角形 所以 AES 3 存在这样的 b 因为 90FG BFECG 所以 所以 BEC 即 E 为 BC 的中点 所以当 OE CE 时 OA为直角三角形 因为 44bbC 所以 2 而 所以 解得 12 所以当 b 4 或 2 时 OBC 为直角三角形 4 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 cbxy 2的图象与 x 轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 与 y 轴交于 C 0 3 点 点 P 是直线 BC 下 方的抛物线上一动点 1 求这个二次函数的表达式 2 连结 PO PC 并把 POC 沿 CO 翻折 得到四边形 POP C 那么是否存在点 P 使四边形 POP C 为菱形 若存在 请求出此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 当点 P 运动到什么位置时 四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边 形 ABPC 的最大面积 答案 解 1 将 B C 两点的坐标代入得 30cb 解得 2 5 所以二次函数的表达式为 32 xy 2 存在点 P 使四边形 POP C 为菱形 设 P 点坐标为 x 32 x PP 交 CO 于 E 若四边形 POP C 是菱形 则有 PC PO 连结 PP 则 PE CO 于 E OE EC 23 y 32x 解得 1x 0 2 10 不合题意 舍去 P 点的坐标为 23 8 分 3 过点 P 作 y轴的平行线与 BC 交于点 Q 与 OB 交于点 F 设 P x 32 x 6 易得 直线 BC 的解析式为 3 xy 则 Q 点的坐标为 x x 3 EBQPOCABSSCPQBACBP 2121四 边 形 421 8753 2 x 当 23 x时 四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为 415 23 四边形 ABPC 的 面积 87的 最 大 值 为 5 如图 已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上 OC 在 x 轴的正半轴上 OA AB 2 OC 3 过点 B 作 BD BC 交 OA 于点 D 将 DBC 绕点 B 按顺时针方向旋 转 角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F 1 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 当 BE 经过 1 中抛物线的顶点时 求 CF 的长 3 连接 EF 设 BEF 与 BFC 的面积之差为 S 问 当 CF 为何值时 S 最小 并求出这个最小值 答案 由题意得 A 0 2 B 2 2 C 3 0 设经过 A B C 三点的抛物线 的解析式为 2yaxbc 则 4930abc 解得 2342abc 所以 243yx 2 由 243yx 28 1 x 所以顶点坐标为 G 1 83 过 G 作 GH AB 垂足为 H 则 AH BH 1 GH 8 2 3 EA AB GH AB EA GH GH 是 BEA 的中位线 7 EA 3GH 4 过 B 作 BM OC 垂足为 M 则 MB OA AB EBF ABM 90 EBA FBM 90 ABF R t EBA R t FBM FM EA 3 CM OC OM 3 2 1 CF FM CM 73 3 设 CF a 则 FM a 1 或 1 a BF 2 FM 2 BM 2 a 1 2 2 2 a 2 2a 5 又 EBA FBM BM BF 则 21 5 2BEFSBF A 又 11BFCsM A S 5 aa 即 S 2 a 当 a 2 在 2 a 3 时 最 小 值 6 如图 12 已知 ABC 中 ACB 90 以 AB 所在直线为 x 轴 过 c 点的直线为 y 轴建 立平面直角坐标系 此时 A 点坐标为 一 1 0 B 点坐标为 4 0 1 试求点 C 的坐标 2 若抛物线 2yaxbc 过 ABC 的三个顶点 求抛物线的解析式 3 点 D 1 m 在抛物线上 过点 A 的直线 y x 1 交 2 中的抛物线于点 E 那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P 使以 P B D 为顶点的三角形与 ABE 相似 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 说明理由 答案 1 ACB 90 CO AB ACO CBO COAB CO 2 则 C 0 2 2 抛物线 2yaxbc 过 ABC 的三个顶点 则 20416cba 3 1 cba 抛物线的解析式为 32 xy 3 点 D 1 m 在抛物线上 m D 1 3 把直线 y x 1 与抛物线 D G H 8 2312 xy联立成方程组 2312xy 65 012yx E 5 6 过点 D 作 DH 垂直于 x 轴 过点 E 作 EG 垂直于 x 轴 DH BH 3 DBH 45 BD 23 AG EG 6 EAG 45 AE 6 当 P 在 B 的右侧时 DBP 135 ABE 两个三角形不相似 所以 P 点不存在 当 P 在 B 的左侧时 DPB EBA 时 2635 BPAE 5 P 的坐标为 23 0 DPB BEA 时 D 36 B P 的坐标为 516 0 所以点 P 的坐标为 23 0 或 516 0 7 如图 1 抛物线 baxy 1经过点 A 1 0 C 0 23 两点 且与 x 轴的另 一交点为点 B 1 求抛物线解析式 2 若抛物线的顶点为点 M 点 P 为线段 AB 上一动点 不与 B 重合 Q 在线段 MB 上 移动 且 MPQ 45 设 OP x MQ 2y 求 2于 x 的函数关系式 并且直接写出自 变量的取值范围 3 如图 2 在同一平面直角坐标系中 若两条直线 x m x n 分别与抛物线交于 E G 两 点 与 2 中的函数图像交于 F H 两点 问四边形 EFHG 能否为平行四边形 若能 求 出 m n 之间的数量关系 若不能 请说明理由 答案 1 23 xy 2 由顶点 M 1 2 知 PBM 45 易证 MBP MPQ 得 图 1 图 2 9 QMBPMQB 2 得 224 1 yx 即 30 521 xxy 3 存在 设点 E G 是抛物线 23xy分别与直线 x m x n 的交点 则2 Em 21 n 同理 251 2 mF 251 nH HF 由四边形 EFHG 为平行四边形得 EG FH 即0 022 mn 由 01 nm 且 因 此 四边形 EFHG 可以为平行四边形 m n 之间的数量关系是 m n 2 0 m 2 且 m 1 8 如图 在 ABC 中 C 45 BC 10 高 AD 8 矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上 E F 两点分别在 AB AC 上 AD 交 EF 于点 H 1 求证 AHAD EFBC 2 设 EF x 当 x 为何值时 矩形 EFPQ 的面积最大 并求其最大值 3 当矩形 EFPQ 的面积最大时 该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀 速运动 当点 Q 与点 C 重合时停止运动 设运动时间为 t 秒 矩形 EFFQ 与 ABC 重叠部分 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 答案 解 1 四边形 EFPQ 是矩形 EF QP AEF ABC 又 AD BC AH EF AHAD EFBC 2 由 1 得 AH x AH8 x10 45 10 EQ HD AD AH 8 x 45 S 矩形 EFPQ EF EQ x 8 x x2 8 x x 5 2 20 45 45 45 0 当 x 5 时 S 矩形 EFPQ 有最大值 最大值为 20 45 3 如图 1 由 2 得 EF 5 EQ 4 C 45 FPC 是等腰直角三角形 PC FP EQ 4 QC QP PC 9 分三种情况讨论 如图 2 当 0 t 4 时 设 EF PF 分别交 AC 于点 M N 则 MFN 是等腰直角三角形 FN MF t S S 矩形 EFPQ S Rt MF N 20 t2 t2 20 12 12 如图 3 当 4 t 5 时 则 ME 5 t QC 9 t S S 梯形 EMCQ 5 t 9 t 4 4t 28 12 如图 4 当 5 t 9 时 设 EQ 交 AC 于点 K 则 KQ QC 9 t S S KQC 9 t 2 t 9 2 12 12 图 2 图 3 图 4 综上所述 S 与 t 的函数关系式为 图 1 11 S 22104 485 9 9 tttt 9 已知抛物线 2 0 yaxbc 顶点为 C 1 1 且过原点 O 过抛物线上一点 P x y 向直线 54作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 1 求字母 a b c 的值 2 在直线 x 1 上有一点 3 1 F 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 并 证明此时 PFM 为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请求 出 t 值 若不存在请说明理由 答案 1 a 1 b 2 c 0 2 过 P 作直线 x 1 的垂线 可求 P 的纵坐标为 14 横坐标为 132 此时 MP MF PF 1 故 MPF 为正三角形 3 不存在 因为当 t 54 x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 同理 当 t 54 x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 10 如图 以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B 已知 A B 两点的坐标分别为 3 0 0 4 1 求抛物线的解析式 2 设 M m n 是抛物线上的一点 m n 为正整数 且它位于对称轴的右侧 若以 M B O A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数 求点 M 的坐标 3 在 2 的条件下 试问 对于抛物线对称轴上的任意一点 P PA 2 PB2 PM2 28 是 否总成立 请说明理由 12 11 如图 在平面直角坐标系中 顶点为 4 1 的抛物线交 y轴于 A点 交 x轴于 B C 两点 点 B在点 C的左侧 已知 A点坐标为 0 3 1 求此抛物线的解析式 2 过点 作线段 的垂线交抛物线于点 D 如果以点 C为圆心的圆与直线 D相 13 切 请判断抛物线的对称轴 l与 C有怎样的位置关系 并给出证明 3 已知点 P是抛物线上的一个动点 且位于 A C两点之间 问 当点 P运动到什 么位置时 AC 的面积最大 并求出此时 P点的坐标和 P 的最大面积 答案 1 解 设抛物线为 2 4 1yax 抛物线经过点 A 0 3 2 04 1a 4a 抛物线为 22 34yxx 3 分 2 答 l与 C相交 4 分 证明 当 21 0 时 1 26 B为 2 0 为 6 0 231AB 设 C与 D相切于点 E 连接 C 则 90EAOB 9A 9O 又 0BOAB B EC E 6213 8213CE 6 分 抛物线的对称轴 l为 4x 点到 l的距离为 2 抛物线的对称轴 与 相交 7 分 3 解 如图 过点 P作平行于 y轴的直线交 AC于点 Q 可求出 AC的解析式为 132x 8 分 设 点的坐标为 m 4 则 点的坐标为 m 132 2213 24PQm 2137 6 3 4ACPCQSS 当 m时 的面积最大为 7 此时 点的坐标为 3 4 10 分 12 如图 已知抛物线 cbxy 21与 y 轴相交于 C 与 x 轴相交于 A B 点 A 的坐标 AxyBOCD 14 为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面 积最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 答案 解 1 二次函数 cbxy 21的图像经过点 A 2 0 C 0 1 02cb 解得 b 1 c 1 2 分 二次函数的解析式为 12 xy 3 分 2 设点 D 的坐标为 m 0 0 m 2 OD m AD 2 m 由 ADE AOC 得 OCDEA 4 分 ABCEDx yo ABCx yo备 用 图 15 12DEm DE 5 分 CDE 的面积 2m m 24m 41 当 m 1 时 CDE 的面积最大 点 D 的坐标为 1 0 8 分 3 存在 由 1 知 二次函数的解析式为 12 xy 设 y 0 则 12 x 解得 x 1 2 x2 1 点 B 的坐标为 1 0 C 0 1 设直线 BC 的解析式为 y kx b k 解得 k 1 b 1 直线 BC 的解析式为 y x 1 在 Rt AOC 中 AOC 90 0 OA 2 OC 1 由勾股定理得 AC 5 点 B 1 0 点 C 0 1 OB OC BCO 45 0 当以点 C 为顶点且 PC AC 5时 设 P k k 1 过点 P 作 PH y 轴于 H HCP BCO 45 0 CH PH k 在 Rt PCH 中 k2 k2 5 解得 k1 2 k2 10 P 1 0 P2 10 分 以 A 为顶点 即 AC AP 5 设 P k k 1 过点 P 作 PG x 轴于 G AG 2 k GP k 1 在 Rt APG 中 AG2 PG 2 AP2 16 2 k 2 k 1 2 5 解得 k 1 1 k2 0 舍 P 3 1 2 11 分 以 P 为顶点 PC AP 设 P k k 1 过点 P 作 PQ y 轴于点 Q PL x 轴于点 L L k 0 QPC 为等腰直角三角形 PQ CQ k 由勾股定理知 CP PA 2k AL k 2 PL k 1 在 Rt PLA 中 2k 2 k 2 2 k 1 2 解得 k 5 P4 7 12 分 综上所述 存在四个点 P 1 20 1 P2 10 2 P3 1 2 P 4 25 7 13 如图 1 已知抛物线经过坐标原点 O和 x轴上另一点 E 顶点 M的坐标为 2 4 矩形 ABCD的顶点 A与点 O重合 AD AB 分别在 x轴 y 轴上 且 AD 2 AB 3 1 求该抛物线的函数关系式 2 将矩形 ABCD以每秒 1个单位长度的速度从图 1所示的位置沿 x轴的正方向匀速平 行移动 同时一动点 P也以相同的速度从点 A出发向 B匀速移动 设它们运动的时 间为 t秒 0 t 3 直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N 如图 2所示 当 t 25时 判断点 P是否在直线 ME上 并说明理由 设以 P N C D 为顶点的多边形面积为 S 试问 S是否存在最大值 若存在 求 出这个最大值 若不存在 请说明理由 17 答案 解 1 xy42 2 点 P 不在直线 ME 上 依题意可知 P t N t t42 当 30 t时 以 P N C D 为顶点的多边形是四边形 PNCD 依题意可得 CDSAA O 21 BCP 31 22 t 3 t 4 2 t 抛物线的开口方向 向下 当 t 且 20 t时 最 大S 41 当 03或 t时 点 P N 都重合 此时以 P N C D 为顶点的多边形是三角形 依题意可得 ABCDS矩 形21 32 3 综上所述 以 P N C D为顶点的多边形面积 S存在最大值 41 14 已知 如图 把矩形 O放置于直角坐标系中 3 O 2BC 取 A的中点 M 连结 M 把 沿 x轴的负方向平移 的长度后得到 D 1 试直接写出点 的坐标 2 已知点 B与点 在经过原点的抛物线上 点 P在第一象限内的该抛物线上移动 过点P 作 Q 轴于点 连结 若以 O 为顶点的三角形与 AO 相似 试求出点 P的坐标 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点 T 使得 TB 的值最大 图 2 BC O AD E My x P N 图 1 BC O A D E M y x 18 A O x B C M y A O x D B C M y E P T Q 答案 解 1 依题意得 2 3D 3 分 2 OC B 抛物线经过原点 设抛物线的解析式为 bxay 2 0 又抛物线经过点 2 3B与点 2 3D 2349 ba 解得 32 94ba 抛物线的解析式为 xy942 5 分 点 P在抛物线上 设点 x394 2 1 若 PQO DA 则 OQP 239 42x 解得 01 x 舍去 或 1652 x 点 64153 7 分 19 2 若 OQP DA 则 OPQ 239 4xx 解得 01 x 舍去 或 29 x 点 6 29 9 分 存在点 T 使得 TB 的值最大 抛物线 xy3942 的对称轴为直线 43 x 设抛物线与 x轴的另一个交点为 E 则点 0 3E 10 分 点 O 点 关于直线 4 x对称 T 11 分 要使得 B 的值最大 即是使得 TBE 的值最大 根据三角形两边之差小于第三边可知 当 三点在同一直线上时 TBE 的值最 大 12 分 设过 E两点的直线解析式为 bkxy 0 k 23 b 解得 2 34bk 直线 BE的解析式为 xy 当 43x时 143 存在一点 T使得 TOB最大 13 分 H QP E B M A D C